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16C.1 Beispiel für Fourier-Analyse im Komplexen


CC-BY-NC-SA 3.0

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sozu den Foyer rein eine alte Klausuraufgabeunnormalanzufangen?? ich wüsste gerne die Foyerkoeffizientendie Koeffizientender Nummernullund zwei und minus zwei zehn null C zwei C minus zweiC soll schon mal heißen komplexe Foyerkoeffizientennächste Woche kommen auch die Rebellen Sinus und Kosinusdie hiermitC mit E hoch I mal irgendwas sind die natürliche ?? sozusagendiese drei Fourierkoeffizientenwüsste ich gernefür folgende Funktionnämlich die Funktionenmit der EigenschaftF von TTweißman meist um Zeit geht im wahren Leben deshalb hier nicht von X ?? C die Funktion soll so seinsie sollenNull seienfür C zwischen null und zwei genauer gesagtab null eins schließlichbiszwei ausschließlichsoll sie Null sein und diese Funktion soll gleich T seinfür Cab zweibisdreiausschließlichder dreiund diese Funktion soll die Periode drei habenoder drei habendamit müssten sie jetzt rezeptmäßigdie Foyerkoeffizientenausrechnen könnenund während dessen nur so mal an was denn das nun alles zu bedeuten hatdiese drei Fourierkoeffizientenausrechnen??ich probier das auch mal zu zeichnenein Koordinatensystembesten Koordinatensystemin dem offenbar Perioden Platz habenähmeins zwei drei ?? ist die einst als die drei vier fünfsechs sieben acht neun??auf der y-Achsesind die Funktionswertejetztdas kommt aus der Funktion rauszwischen null und zwei Komma null aus der Funktion rausab null eins schließlichbis zwei ausschließlichvon null raus?? sieht vor sich sein zwischen zwei und drei drei ausschließlich kommt die raus das heißt an der Stelle zwei kommt zwei raus nicht nur an der Stelle zwei kommt zwei raus an der Stelle zweieinhalbkommt zweieinhalb raus an der Stelle drei nicht mehr ganz gerade weggeschnitten an der Stelle zwei Komma neun neun neun kommt zwei Komma neun neun neun raus so muss das Werdenund jetzt geht es periodisch weiter an der Stelle dreimusste dasselbe raus Komma der vorne rausgekommen istvier fünf an der Stelle fünf geht's hier oben weiterund so weiter so sieht diese Funktion ausdas ich hier die Löcher ausdrücklich Dranmale das ist für Foyertransformationenbisschen nervigdas ist natürlich auch in der ?? im wahren Leben bisschen nervig auf dem Teleskopsind sie nie sowas auf dem Ostteleskop haben sich immer eine ernsthafte Flankeund nie wirklich einenSprungegalalles was man streng mathematisch diese Fusion hin gemaltwie sie die Funktionlinks aus für negative Zeitennicht gespiegelt Vorsicht nicht gespiegelt wenn sie die gespiegeltenmalen das jetzt falsch was ich in Male Vorsicht was ich ihm alles jetzt falsch?? hätte sie nicht die Periode dreiist dieser Teil nicht derselbe wie der Verständnis ist da nicht gespiegeltsondern damit die Periode drei hatten sie so weitergehenin dieser Form dann hat sie die Periode drei ?? immer dieselbe Muster das ist ja mein Muster immer wieder dasselbe Musterder Länge drei besitzen endlich wiederholt das es Periode dreies gibt auch ?? war spiegelsymmetrischeFunktion diese ?? dieperiodische?? im sie den Kosinusdes natürlich auch spiegelsymmetrischaber das ist jetzt sozusagen zuverlässiggroßen Respekt Spiegel symmetrisch ist erst mal hatte die Periode diese sich gut gelungen erstmals periodische Funktionso sieht also die Funktion ausamwas die Foyerreihemachtetwas mehr die komplexe heute was die Foyerreihe macht es diese Funktion zu zerlegen?? zu schreiben als Summe von anderen FunktionennunFunktion dieerste bisschen umständlich sind ins komplexe gehenich schreibe diese Funktion als Summe einer Funktiondie bei einer Periode so das komplexe geht RealteilImaginärteilund eine Funktiondie Pro Polyrodeso durchs komplexe geht zweimal rumund eine Funktiondiepro Periodedreimal rum geht'sund eine Funktion die pro Periode von mir aus fünfmalfalsch rum geht und so weiter und so weiterund eine Funktiondie die ganze Zeit bei der eins stehen bleibtGleichspannungsanteilalle anderen sind richtig schöne Wechselspannungenmit den sich zu Nullund die eine einzige Funktion die bei der eins stehen bleibt die Macht in Gleichspannungsanteildiese Funktiondirekt als Faktor der vor zehn null sie können direkt hierablesen was sie Null ist der Gleichspannungsanteilwenn sie das hier als Spannung an ein Voltmeter anschließendein klassischesVoltmeter das bisschen langsam istdann wird der Zeiger etwas zappeln aber im Mittel bleibt bei dem zehn null stehen den Gleichspannungsanteilwas ist hier der Gleichspannungsanteilrein optischsind das hier auf dem Oslo Score und jetzt schließen Sie an dieselbe Spannungsquelleein Voltmeter an ein ganz klassisches altes Voltmeter wo steht der Zeiger von dem Voltmeterist ?? sie das einer mal sagen ich sage altes Wort mit der ich meine ein Voltmeter das darauf gleich Spannung stellen kann und dass ?? gleich Spannungen misstmittlere Gleichspannungist nicht Effektivwerte misst das einer Geschichte alsoeine mit der Gleichspannung möchte ich messendass ein guter Gedanke ich gucke mir nicht diese Wellenforman sondern ich gucke mir oder SignalformKomma Schwingungsform ich gucke mir diese hier anganz gut getroffenwas ich möchte mein Drittelauf dem Wert drei haben und dann wieder zwei auf dem Wert null und dann wieder ein Drittel auf dem Erdreich gucke mir das andas offensichtlich immer mehrwird dieserote Schwingung habensollte offensichtlichals Gleichspannung mehr rauskommenals bei der blauen Schwingungsformenwas kommt als Gleichspannung bei der roten rausgenau sie haben ihren Stapel von drei Volt in einem Drittel der Zeit in zwei Dritteln der Zeit haben sieNull wollte Liam sie gestreift und gestapelt für ein Drittel der Zeit bis ich mir nur vorstelle ist was ist denn das hier einfachEis wäresinnvolleswenn ihr Eiswürfelsie bilden diese Funktion aus Eis was passiert wenn das schmilztdann ist das das Niveauwas rauskommt wenn der schmilztdas sonder gleich Spannungsniveau daswäre zehn null für die roteFunktion nicht für die blauediese Orange hier auf der Höhe eins wird sie Null für die gute Funktionwenn die ganzen roten Eisberge ??ich aber nicht die rote Funktion ich hab dieblaue Funktion der Seite muss ein bisschen runterC null der Gleichspannungsanteilder muss etwas kleiner sein als eins was Schein ist das schonzu kleinsind ?? gleich was exakt rauskommt??es kann sie das exakt berechnenC nulles ist einfach der Mittelwertder Mittelwert über eine Periodekriegen sie C nulldas Rechenzimmer ausPunkt diese bilden teilweise Mittelwert echt grafisch das finde ich lustig das ist ?? schöne Idee fünf sechstel kommt also raussie können wirklich den Mittelwert grafisch bilden indem sie hier Dreiecke zählenähm warum nichtdas es bei dieser Funktion natürlich möglich stellen sich vor jetzt hätten sie Sonnefunktionhier Sinus für mich angeschnitten da oder sodann ?? es vorbei mit drei Zähneallgemeindie null ist also der Mittelwertüber eine Periodeallgemeinwickle ich den Mittelwertwie man das im regulärenFall wenn sie Bauwerte haben sie haben Bewährtes aber hundertund drei hundertund dreizehnich will den Mittelwert von hundert und drei hundert dreizehn hatähm dann addiere ich die Urteile durch dreialle auf summieren durch drei das ist das üblicheübliche Arztmittelwertzu bilden arithmetischeMittelund was ich hier mache istverdächtig ähnlich?? ich integriereIntegral ist auch ?? Summe sozusagenzumindest für Ingenieure und für Physiker ist Integral auch sowas wie eine Summeüber ganz kleine Streifenich integrieremeine Funktionüber eine Periodenlängeschreibt man null bis drei das war ja eine Periodenlängeund Teile durch die Periodenlängedas im Endeffekt dasselbe was hier passiertwenn sie drei Zahlen haben Mittelwert bilden die drei Zahlen addieren durch drei teilen sich hier machen ist sie integrieren die Funktionund teilen durch drei das ist quasi die Funktionswertedie männlichen Funktionswerte auf summierendrei ist nicht wirklich die Anzahl der Funktionswertesind die unendlich viele aber dreist schon ein Maß für die Anzahl der Funktionswertedas verhält sich wie der übliche Mittelwertzum Beispiel wenn Sie die Funktion überall verdoppelnkonnte das Doppelte rausoderwenn die Funktion die ganze Zeit nur lässtwenn sie hier null rausund so weiter und so weiter das istgenau was ich erwarte vermitteltwie würden Sie dieses jetzt ausrechnendas jetzt für diese Funktion nicht nötig das haben wir eben auch geometrische gerichtete Fusion wird es nicht nötigwenn sich die schlimmere Funktion vor der müsste man es Integral ausreichendals einfach mal als Fingerübung wie würde man dieses integral für dieseFunktion ausrechnenjetzt kommt eine fundamentale Eigenschaft von integralzu Erinnerungwenn ich irgendeine Funktion habe und ich möchtedieses integral wissen das mal Funktion F ich möchte das integral wissendas integral von A bis C von meiner Funktiondiese Flächen hat ?? was ist diese Fläche das ist die Fläche von A bis Bplus die Fläche von B bis Cintegral ist additivwenn sieden Integrationsbereichzerlegenvon A bis Z Indikationsbereichzerlegen von A bis B und von B bis Szenewie das integrale Sprechen zerlegt das integral von A bis C diese Gesamtfläche darunterist die Fläche zwischen A und Bdurch die Fläche zwischen B und Classen sich jetzt ausdieses integralist das integral von null bis zwei?? von TDTplus das integral von zwei bis dreier von TDDich zerlegendas integral in zwei Teile einen linken Teil einen rechten Teiles weiß ich ?? was die Funktion zwischen null und zwei und ich weiß was die Funktion zwischen zwei und drei istwas mache ich hiergenaujetzt um die stückweise Definition ich zerlegen das integral ja wegen dieser Stück weißen Definitionnicht integriert über Dental und ich integriere über den Tagim linken Teil von null bis zwei ist die Funktion nulldas heißt hier steht schlicht und ergreifendnullmal DTim rechten Teil von zwei bis drei das die Funktion Cintegral von zwei bis drei T DTdas können sie ausgerechnetals ich verwende die stückweise Definitionum das integral passend zu zerlegenund auf den Stücken jeweils als die Funktion ja bin ich einmal sinnvoll und einmal ist sie auf ?? ist die einfach Teekriegt jetzt also das ist ein Drittelsind integral null bleibt null ?? das hinter integralzwischen zwei bis dreibot eine Stammfunktion für Täter nämlich natürlich die Quadrat halbeund Kriege raus es ist ein Drittel maldrei Einsätzen neun halbe minus zwei Einsätzen vier halbeoder sind wir bei neun minus vier halb sind fünf halbe sind fünf sechstel wussten wir schon aber jetzt muss noch mal schwarz auf weiß grün auf weißbei dieser Funktion wird raffiniertes geometrisch gemacht zu haben ständig vor der Spinne nicht jeder wird das ganze ungemütlich so geht es in diesem Fall müssen stückweise Definition habe zähle ich einfach das integral passendund für jedes Stück habe ich hoffentlich eine einfache Stammfunktionso würde man es offiziell rechnenmir ehrlich gesagt viellieber wenn sie das sehen können einfach in dem sie hier Dreiecke zählen ein Dreiecknoch ein Dreieck noch ein Dreieck und hier noch zwei Dreieckefünf Dreiecke auf drei Einheiteneinige nicht besser wenn Sie das so sehen können als wenn sie das integral ausrechnenaberfür dieseFunktion hat man deines integralso das ist der Gleichspannungsanteilfünf sechstelschön auf dieser Höhe hierden ist bisschen tief geratene müsse etwas dichter an der eins sein sollte ?? meine eins dran schreiben hierzurdass er sicherlich alles meiner Funktion etablierte Gleichspannung beschrieben jetzt möchte ich anfangendie Sprengung tatsächlich zu beschreibenich wollte nicht alles ausrechnenwas ich hier ausrechnen will C zweiistwie viel von der Funktion ist drinnendie pro Periode zwei Umdrehungen macht das ist sie zweiund zehn minus zwei wie viel ist drin von der Funktion ?? die pro Periodeminus zwei Umdrehungen macht diese von den beiden ist Grenze zwei und zehn minus zwei ?? das gilt natürlich für alle anderen analogzum bisschen Rechenaufwanddieses C zweidas sieht man etwas schwieriger aus dieses C zwei ist etwas wie ein Skalarproduktschreibt das man das Ergebnis hin nicht das Ergebnis die Frauen ein Drittelüber eine Periode integrierener und das jetzt fürchterlich aus immer das erste Mal sieht jedoch minus zwei Pimalzwei mal CDrittel die FunktionDTdas eszumersten Mal sieht haarsträubend zugegebenermaßenwarum minus gute Fragegerade einen Gedanken wie man das vielleicht erklären kann in diesem eher von Thema steckt da drin steckt das wissen wir jetzt schon fünf sechstel Stecker drin als Gleichspannungsanteilmüssen ?? jetztplusplus irgendwas fürchterlichesund so weiter was normales drin stecken mag und eine von den Funktionendieser in dem er von T drin steckt ist irgend eine Konstanteähmirgend eine Konstantemal E hoch zweiPi I mal zwei C drittedas hier ist die Funktiondiein einer Periodezweimal?? umgehtdas es diese Funktion hiergroß und ganz viel anderewie können Sie das sehen dass diese Funktion hierin einer Periodezweimalden Einheitskreis machtinder komplexen Ebene woran sehen Sie das hiereh hoch wie wissen sie sowieso okay das macht die Bewegung ?? auf dem Einheitskreistheoriemal irgend was soll ich sagen macht die Bewegung auf dem Einheitskreisdass es Eulerkommt im Massiv der Euler vorjetzt guck ich welchen Winkel mache ich denn auf dem Einheitskreisjedoch nie mal den Winkel welche Winkel wird das werden in einer Periode geht T von null bis dreidas ist eine Periode T geht von null bis dreiT Drittelgeht von null Drittel bis drei viertel T Drittel geht von null bis einsin einer Periode der hinten geht von null bis einszweimalC Drittel geht also von null bis zweijetzt noch mal zwei Pi zwei Pi drei hundert sechzig Grad eine volle Umdrehung malzwei in eine Periode gehe ich von nullbis zwei volle Umdrehungen zwei Pimal zweipro Periode zwei Umdrehungenistdiese Bewegung hierLeertaste genauer mit Euler an wenn sie hier den Winkel vier habendie komplexe Zahl mit Winkelviehund Länge eins ist jedoch die Fi sagt Eulerder Kosinusist der Realteil von dem Ding und der Sinus ist immer genervt davon denkich gucke mir dann was macht der Winkel hier der Winkel geht von null T gleich null das alles nur der Winkel geht von null biszweiPi mal zwei mal dreiDrittelder Winkel geht von null bis zwei mal zwei Pibis zwei Umdrehungendiese Funktion macht wenn C von null bis drei gehtzwei Umdrehungengegen den Uhrzeigersinnso komme ich auf diese Funktion das ist eine von denen die vielen Funktionen in die man das ganze zersplittertund jetzt Komma wenn ich zu dem minus zwei Pi wenn sich vorstellen sie rechnen jetzt dieses integral Aussehen rechnen aus das integral von null bis drei ein drittelhier stehteh hoch minus zwei Pi I mal zwei T Drittel mal fünf sechstel plus fürchterliche Geschichtenplusirgendwasmal E hoch zwei Pi I mal zwei CDrittelplusfürchterlicheweitere GeschichtenDT wenn Sie dieses integral ?? tatsächlich ausrechnenwürdenT Drittelwaswürde dann passierengenau das integrieren eine Summe von Funktion dann können Sie die Integrale summieren das ist also ein drittel mal das integral nur bis drei Jungen zwei Pizwei CDrittelmal fünfSechstelDTfür den ersten ja bloß und so weiterJetzt kommt unser hier ein drittel malintegral von null bis dreijedoch minusbla?? ist immerhinmaldie Zahl ich in ich kenne eh hochzwei Pi?? soll's doch in Schreiben jedoch minus zwei Pi niemalszweimal C Drittel und hier steht zwei Pi mal zweimal C dritteDTder mal denplus und so weiterich produziere ausund zieht integrale Einssein bildet Integrale einzelndas erst Integralis müsse er nicht sagen können sofort was passiert bei dem ersten Tag Radio Minis wirklich immer zweimal die dritte mal fünf Sechstel von nullbis drei integriertdas erste integraldieses I hochminusund so weiter der Machtumdrehungmit dem Uhrzeigersinnsovon null bis drei macht diese erste Funktion hier zwei ?? mit dem Uhrzeigersinn RealteilImaginärteilmal fünf sechstel mal ein Drittel was ist der Mittelwert Business sie wieder Mittelwert mal fünf Sechstel wasist der Mittelwert von dieser Kistegenau nullwenn Sie das hiermit können Sie gehen einmal rum und gehe noch mal um was ihre mittlere Position nullsechs ?? von ?? das könnte man mit Stammfunktion ausrechnen was total langweilig ?? Zustand und so die vorne muss nun rauskommenzwei Umdrehungen um den Ursprungim Uhrzeigersinndavon der Mittelwert mal fünf sechstelist nur zwangsläufiggenausoüberlegt man sich etliche sich vorführen gelaufen so überlegt man sich das die ganzen andern alle null werden sie haben soundsoviel Umdrehungen um den Ursprung die ganzen anderen werden alle nullist auf einen einzigen und das ist dieser hierwas passiert mit demminus Blaire Plusplanzusammenfassen gibt es auch Neugier steht also im Jahr ein drittel mal integral null bis dreiKlecks war irgend eine Zahl ich noch nicht kenneDTmal eins jedoch nur die beiden fast zusammen zu null mal einsund was ist dasja das kann sie nach Schema F machen die von Stammfusionskonstantemal Teereinsetzen und einsetzen durch drei Tages kommt die Konstante raus sie können sich auch überlegen passiert dann Mittelwerte wieder nicht das der Mittelwert über eine Periode einer konstanten Funktion ist der Mittelwert eine ganze Funktion die Konstantehier kommt die Konstante rausund das ist der Schlüsselzu der Fourieranalyseoder Schlüsse waren der minus stehtKomma sicher bilde ich nehme meine Funktionmit dieser komischen Funktion mit dem minus zusammen ins integralüber eine Periode integriertdurch die Periodenlängewas ich rauskriege wenn ich das hier ausrechnen istdiese Konstantedie vor der Funktion E hoch zwei Pi zweite Drittel steht in dem ich dieses komische integral ausrechnen kann ?? durch drei teilensich diese Zahl aus welcher Koeffizientsteht vor dem eo zwo Pi zwote Drittel wie viel von dieser Funktionnoch zwo Beamer zweite Drittel wie viel von dieser Funktion ist in meiner Originalfunktiondrin das kriege ich raus diesen Anteil ?? ich rausindem ich dies Integralbildungdurch drei Teil deshalb jetzt gerade hier sehr Hände weder gesehensie brauchen da dieses jedoch minus zwei Pimal zweite Drittel und das Ego plus zwei Pi loszuwerdendeshalb da die minusdamit sie hier zum Schluss eh hoch Null stehen habenwenn sie Plus hättenhätten sie hier eh hochvier Pi und so weiter und das ganze würde sich wieder weg eben im Mittel die brauchen da ein Minus und das bloß weg zu kriegen das die Lösungder Fragedie Antwort auf die Frage warum dein Minus stehen mussgenau dieser Term hier ist das komplex kandidierte der Funktiondie ich eigentlich suchedas hatte ich in den Videos erklärt ?? ist bisschen abstrakt was man hier eigentlich bildet es Nat Skalarproduktsie bilden als Skalarproduktes wird ein professioneller Weise nicht mit Dingen Punkt geschrieben sondern mit spitzen Klammern geschriebenist abereigentlich auch in Skalarproduktdas Kind von den Vektoren ein Skalarproduktaus zwei Sachenes werden zwei Sachen miteinander modifiziert die Funktion jetzt kein Vektor im dreidimensionalenSong die Funktionund vorne steht eine andere Funktion ja nicht in sie die Fusion nicht zerlegen wird und verschicken von steht eine andere Funktionnämlichdie Funktion die CA bildet auf E hoch zwei Pi I mal zwei Cdritte diese Fusion steht davon und diese Skalarproduktfunktioniert sodas gleich dem was darum schickte Skalarprodukt fusioniert so das es von dem vorderen Termdas Komplex kandidiertenimmtist totalüber Candidateam Ziffer mitsehr viel Ruhe anguckenwenn man diese Übertragung verstanden hat dass das hier eigentlich ein Skalarproduktist dann ist der Rest mit Foyer total einfach ich zerlegen meine Funktion in eine Basisdieses hier ist eine Basisfunktionsowie sonst ein Vektor der Länge eins entlang der x-Achse und ein Vektor der Länge eins entlang der y-Achsedieses Spiel dieselbe Rolleich zerlegte einRektordie Funktion hat die Rolle eines Rektors hierin Basisvektorund das hier ist eine der Basisvektorenund diese Skalarproduktsagt mir wie viel von den jeweiligen Basisvektor drin ist das ist die abstrakte Deutungsie können das auch die Physiker machen das dann gerne sie können auch gerne so machen Udacity geschrieben habe wenn Sie diese Funktion schon zerlegt hättenüberlegen Sie sichokay aus diesem integral kommt nur noch diese Zahl raus und alle anderen Zahlen fliegen rausdieses integral sagt mir welche Zahl vor dieser Funktion steht diese Zahl vor der Funktion ?? C zwei was ist der Anteil dieser Funktionin meiner Mischungaus der danach ?? Effekt stehtdiesezwei positiv weich nach C zwei gefragt habe C zwei ist der Anteil von dieser Funktion alle der Funktiondie zweimal gegen den Uhrzeigersinnpro Periode umgeht ?? ich hätte auch fragen können nach dem Anteil der Funktiondie zweimalim Uhrzeigersinnumgeht als ich im Minus stehen hat denn hätte ich nach zehn minus zwei gefragt und hätte jeder plus zwei schreiben müssendamit sie das wieder Weg lebtals wenn sie Einflussschreibender Gries IC minus zwei rausso das eine sieht das alles mal aus dieses integral rechnet sich jetzt tatsächlich mal aus nach demMotto wir eben dieses integral zerlegen mithilfeder Stück weißen Definition der müsstest ausrechnen könnengeht das immer verwirrend also was sich am blauen geschrieben habe ist mein Wunsch Zustand ich möchte diese Funktion zerlegenGleichspannungsanteilSchwingungenmal irgendwas und so weiterdas ist mein Zieldahin möchte ich die Funktion zerlegtdas will ich es aber nicht einsetzen und C zwei ausrechnen kriege nur raus dieser Text ist C zwei gerade ebenjene mich jetzt die Originalfunktionwie ich sie habe ihr setzt sich diesen Zacken Funktion ein wie ich sie habe und rechne C zwei ausweist sie zwei sechs sechs ich kenne den Anteildieser Schwingung an meiner Funktion Fnormal hinC zwei ist also einst durch die Periodenlängeüber eine Periode integrierennebenbei wenn ich sage meine Periode integriert sie können auch von eins bis vier integrierenoder von minus zwei bis plus eins integrierenHauptsache über eine Periodejetzt kommt diese Analysefunktionsozusagen jedoch minuszwo Pimal zwei CDritteldie FunktionDTdieses integral zerlegen ich ebenwie eben das integral zunächst einmal das integralvon null bis zwei bla blaplus das integral von zwei bis dreibla blaaber ich weiß es integral vorne istnull weil die Funktionnull istjedoch irgendwas mal null von null bis zweiundsiebzig?? toll kommt null rausund ich weiß hiervon zwei bis drei ist die FunktionThier kann sie also T reinschreiben statt ?? von Tee kann ich Tee reinschreiben und kriege damit das ist ein Drittel das integral von zwei bis dreiWochen minus zwei Pimal zwei CDrittelmal TeeDTjetzt kann ich vernünftig weiterarbeitenbei INT steht wenn ihr so abstraktes F stehtkomme nicht weiter weil wie soll ich jetzt bei der Integration oder was auch immer machen wie soll ich eine Stammfunktion finden habe ich jetzt etwas konkret Wasser steht T zwischen zwei und drei steht ATzwischen hundert zwei stand dann nur keiner weglassenes euch also partielle Integrationoffensichtlichteewilligableitendas heißt musste dem ersten Termin Stammfunktion habensie das fürchterlich außer Wasser gar nicht so schlimm es ist eh hoch irgendwas mal sehenwie hoch irgendwas mal zehn ?? das bleibt im wesentlichen ja eh um irgendwas mal sehenProbeableitungwenn sie nach C ableiten muss das darum rauskommen wenn sie das T ableiten kriegen sie eh hoch dieses Ding hier aber noch weitere Faktor minus zwo Pi zwei Drittelden Weg beseitigen den Faktor also durch minus zwei Pimal zweiDritteldann eine Stammfunktiondieser Fakt untenmacht in der Kettenregelwir als heile sozusagensowas auf die partielle Integrationdie partielle Integrationsagt etwa ein Drittel groß Klammerdie partielle Integration sachlich kriege einenRand der in den Grenzen von zwei bis drei was ist daran Term alles was ich nicht abgeleitet habe diesesmonströse Teil hiereh hoch minus zwei Pi I mal zwei C Drittel durch minus zwei Pi mal zwei drittelmal Teewas ist daran Term Minusvon zwei bis drei das integral abziehenmit vertauschten Rollen Wasion stehtals Musik kann ich hinschreiben?? steht also wie hoch minus zwei I mal zwei C Dritteldurch minus zwei Pi mal zweiDritteljetzt etwasunübersichtlicheinsehennahmdie ersten der Nummer auseinander ein Drittelder erste ihr sie setzen drei ein die hochminus zwei Pi mal zweimal drei Drittelwie hoch minus zweiImal zwei maldreiDrittel was halten Sie von demSodadrittelkann ichwegnehmenkürzen es bleibt minus zwei Pi mal zwei das ist also zwei Umdrehungenmit dem Uhrzeigersinnschon wieder eins raus hier kommt einfach wieder eins raussie haben einen Winkel vonsieben hundert zwanzig Grad im Uhrzeigersinndann kommt wieder eins rausals wenn sie da die drei Einsätzen sind sie einsimmerhin etwas einfacher geworden mal dreialso dreidurch minus zwei Pimal zwei Drittelich habe die drei eingesetzt einmal drei Krieges muss ich die zwei Einsätze und abziehenminuswie hochdas ist fürchterlichminus zwei Pi mal zwei mal zwei Drittel also minusacht Drittel Pi minus acht DrittelPinicht vergessenzweimal zwei mal zweidurch drei macht die achtminusdie Eder noch dabeimal zweiin die habe ich auch nochMeyer ist nicht schön aber irgendwie eine Zahl?? bei den hier hinten nochminusjetzt baue ich eine Stammfunktionzu den ?? hinten und das in den Grenzen von zwei bis dreiwickeln sie von dem hinten jetzt eine Stammfunktionenorme defekte Nenner Quadrierenich kriege noch mal denselben Faktor den ichbesang den Sam packte dich wieder gutmachen musswenn ich den hier ableite muss ich denselben Fakten aber wieder gutmachen Idioten minus zwei Pi zwei Drittelins Quadratkönne Probe rechnen wenn siehier ableiten den Zähler ableiten sattereoirgendwas steht in Ableitung minus zwei Pi I mal zwei Dritteldas hebt sich weg mit einem von diesen beiden Faktoren im Nenneruntersteht das wiederkönne man es einsetzt und ausrechnen das wir jetzt noch nicht wie man Anton und so weiter und so weiter Sie sehen jetzt Komma soweit alles einsetzt und ausrechnet wird mehr oder minder fürchterlichdie Zeit will ich jetzt doch lieber anders verwendenwenn das eine Klausuraufgabewäre denn ?? hätte ich gerne noch dass sich hier die drei und die zwei Einsätzendas jetzt zum Schluss zusammenfassenes wirklich zu happigwürde ich an der Stelle nicht erwartenwas ich sehen will ist dass sie wissen was er noch niemand irgendwas ist das muss mit sitzenhier jetzt sich damit den ganzen dies umzuschlagen ist ein mittleres Dramasodas hat C zwei also man könnte sich diese integral ausrechnenBeistrich hier eine mehr oder minder fürchterliche komplexe Zahlauf jeden Fall irgendeine komplexe Zahl und die komplette Zeit die man der Gerichtdie steht an dieser StelleKonstantegesagt welchen Anteil ?? zwei Pi mal zweimal die drittean dieser Funktion hat das ist das Seewasser ausrechnen hierwas mehr oder minder fürchterlich wirdaber zum großen Ganzen zehn minus zwei das manche auch noch was passiert beim See minus zwei wenn ich wissen willähmwelcher Faktor vor der Funktionsteht die in einer Periodezwei Umdrehungenin die Richtung des Uhrzeigersinnmachtwas passiert wenn ich zehn minus zwei wissen willdas ?? muss man sich merken es ändert sich einfach immer von ihm das Vorzeicheneine stetig ?? minus zwei dann wenn ich zehn minus zwei wissen will sie die minus zwei ?? davon steht Pluszeichen das eben auch begründet von steten Plus Hauptsache im Exponent steht ein Minus der Bits istes reicht wenn sie das minus zu den nie schreibenman könnte das zu der zwei Schreiben so steht er in der Formel CNist nun ähm mal Tee durch die Periodenlängesie können das minusdavon hinsetzen dass dieses Minuten Plusvirtuosindes minus zu dem die ist egal zu wem sie das Minus nimmtexterne hiermeine Funktion ist reellzum Schluss einfach komplex konjugiertich legitim minus zwei dem ich überall bei C zweinie durch minus I ersetzedas heißt hier Stättenminus jeder steten minus wie hier im Nenner steht das Minus ehda und da und da und daund da und daund da und da da muss überall minus I stehendas heißt sitzt sie minus zwei kriege ich geschenkt wenn ich C zwei weißsie minus zwei ist das komplex können wir die scheinbar so C zwei querwenn die FunktionKomma so wenn F reellwenn die Funktion reell istnormalerweise ans ideelle Signalvirtuelle Signalebrauchen Sie nurzehn null vier eins vier zwei C drei und so weiter Sie kriegen die mit negativenNummern mit negativen Indices einfach durch Komplex korrigierendie vom Surrealistenbin ich hier komplex korrigieredie Fusion bleibt dann sie selbst wenn siereell ist und hier ändert sich das Vorzeichendas wollte ich auch noch mal gesagt haben also zehn minus zwei steinig eingeschenkteine Sache noch aus diesem Zusammenhangwird angefangen mit dem Durchschnittswertzehn nullder GleichspannungswertDurchschnittswertMittelwert soll sagen was ist der Mittelwert der Funktion C null oder Gleichspannungswertsie null mal einssteckt nach ?? der Foyerreiterinder Gleichspannungswertist eine Art wie diese Funktion zusammenfassenkann das aber nicht die Art diese dann in Elektrotechnik sehen werden das schon mit dem Effektivwertder Effektivwertist typischerweisewas anderes als zehn nulldavon nicht durcheinander werfenEffektivwertheißt folgendesEffektivwertheißt sie nehmen das Signalmit angenehm dieses Signal hier schließen das an einen Widerstandan und gucken welche Leistung dieser Widerstand abgibtdas es nur andere Geschichtedenndie Leistung der Widerstand abgibt mit dem Quadratvon dem Strom zusammen oder nehme sowas jawo gleich er mal dieRessourcen Kleinbuchstaben?? machen egalähm sie haben die Leistung ist Roman jede Leistung ist alsoeher mal Quadratdie Leistung hängt mit dem Quadrat des Stroms zusammen und damit endlich auch mit dem Quadrat der Spannung zusammenwenn ich mich für den Effektivwertinteressieredann habe ich mich für das Quadratim Mittel zu interessieren ich hab mich nichtfür den Gleichspannungswertinteressierenkann sein dass er zufällig was hin kommtaber der Gleichspannungswertist ?? andere Geschichtestellte sich die normaleWechselspannung aus der Steckdose vorder Gleichspannungswert ist nullaber der fiktive Islamisten will nicht nur damit kann ich sehr gut heizenalso Effektivwertkriege ich mit Quadrierenda drinnenruht Minsk wer seine englischen die Wurzel aus dem mittleren Quadratder Effektivwertersetze für heute immer noch der Effektivwertist ich ermittle das Quadratalso Sie integrieren von null bis dreidas Quadratder FunktionDTsollte sicherheitshalberdas mit Betragstriche schreiben man tut immer so als ob es ?? komplexe Zahl stehen könnten das Quadrat der Funktiondavon ein Drittel das ist der Mittelwert des Quadratsind das keine für mich stimmt von den Einheiten herwollt Quadratsmahlzeitdurch Zeitdas Auto nicht in hier die Wurzel draus das ist der Effektivwertund das ist im allgemeinennicht C null zumindest im allgemeinen schreibt man so dahinter allgemeindie beiden nicht durcheinander werfensie nur ist der Gleichspannungsanteildes bei dem was aus der Steckdose kommt nullder Effektivwertistwelche Gleichspannungschließlich an einen ohmsche Widerstand an oder produzierteMittel dieselbe Leistunghier muss was mit dem Quadrat stehenweshalb ich den alten wie es auch erzähltdiese Geschichte kann man auffassen als die Länge einer Funktiondie Norm einer Funktion der Betrag einer Funktiondieses Ding hier verhält sich wie der Betrag einer Funktionwas wirhier hattendiese Geschichte die die Foyerkoeffizientenausrechnen das es naht verallgemeinertesSkalarproduktund was da rauskommt hierim Effektivwertdas es nach Art zu algemeinteLänge oder Betrag??Botschaft die beiden auseinanderhaltendie Stimm im allgemeinen nicht über ein