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11D.1 aus der Linearfaktorzerlegung den Graphen einer Polynomfunktion ablesen


CC-BY-NC-SA 3.0

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einpaar Aufgaben zum Einstieg in die Polynomenversuchen Sie mal folgendeAbhängigkeitenzu skizzierenund zu skizzieren wo sind null Stellen wie sehen die Nullstellen auswie geht's ins unendlicheich die genauen Werte zugesicherte Y Achse die genauen Werte auf der x-Achse die Werteder prinzipielle Verlauf wie sieht im Prinzip aus wie gehen wir durch null Stellen durch wo sind null Stellen wie gehen wir ins unendlichedurch eine grobe Skizzedererstealso nicht rein fallen und stellen sie nicht bei plus eins und minus Weisungen und Stellen sind bei minus eins und plus zwei Bezieher minus eins einsetzen wieder minus als Bus einfach nur mal irgendwas mit zwei Einsätzen wieder irgendwas mal zwei minus zwei also der erstehat null Stellen beiminus eins und bei zweiund wenn sie aus modifizieren ?? größtenteils gemachtnun sich nicht eigentlich ausmultiplizierenaber kann sicher vorstellen was passiert wenn ich ausmultiplizierenX war ratlos in was man X plus irgendwasoffensichtlich eine nach oben geöffnet habe und sie müssen dividiert durchsie gehen dadurch eine nach oben geöffnete Parabelaber nicht mehr allzu viel Chancen sowas muss es werdender kleinste Wert sitzt nicht auf der y-Achse das hier ist nicht der kleinste Wert der kleinste Wert muss symmetrischsitzenes ist also rechts neben der y-Achsewir könnten noch ausrechnen was der Wert auf der Y-Achse ist dieses aber null eins null plus eins mal null zwei sind minus zweiLeertaste geht auf der Höhe minus zwei durch die y-Achse durch werden dann aber noch ein Stückchen kleinerwegen der Symmetrie muss das seinsoll symmetrisch sein wollten und als grobe Skizze haben insbesondere sehen Sie wenn X sehr groß wird wird der Wert der Funktion sehr groß ins Quadrat gewinnt wenn ich sehr negativ wirdder Funktionswertauch sehr positiv wiedererster der zweiteich addiere drei dazuhatte hingekriegt die schieben also drei nach oben das heißtich gehe nicht auf der Höhe minus zwei durch die y-Achse sondern die auf der Höhe einsdurch die y-Achseund der Rest hochgeschobenund weiterhin ist der kleinste Wert reicht dann eben sound wir haben offensichtlich keine Nullstelle mehralles um drei nach oben das ist der nach der zweiten Funktionund kann es eingefallen das die können jetzt die Nullstellen eben auch nicht mehr ablesen diese eins und die minus zwei seinen jetzt nichts über die Nullstellen bei der Post drei dahinter steht sie können die Nullstellen ablesenwenn dieses Polynomkomplett aktualisiert ist hier und hier und da und da sind die komplett Faktorisierungsobald er noch plus irgendwas dahinter steht haben sie keine Chance die Nullstellen abzulesengeliefert auch in die anders ausbrechen aber es geht nicht mehr so einfach das Nissan kann das den Fluss eins A Nullstelle bei minus eins minus zwei als Nullstelle plus zwei die nicht mehr in das dazu addiert ist das zu den ersten beiden manchmal weiterenderdritte hierdreimaldie oberste Funktion haben Sie gemerkt dann strecken sie von der x-Achseweg die Nullstellen bleiben da wo sie warendreimalnull ?? das bleibt auch nur aber der Rest wird eben weg gestreckt insbesondere diese minus zwei bitten mir bei der minus sechs landenund so weiter und so weiterdie dritte Kurve wird alsowohl sowas aussehen?? das Minimum ist übrigens ein halb ?? müssen ja auf der halben Strecke sein zwischen minus eins und zweiein halb wenn Sie wissen wollen wie tief die Funktion runter geht Punkt einfach sich der Funktionswertbei ein halb an das muss weniger werden als minus zwei und jeder das dreifachedeiner so weit unten für den drittenden vierten jetzt zeigt das doch mal auf einer neuen Seite als X plus eins mal X minus zwei ins Quadratoffensichtlichesweiterhin spannendX gleich minus eins und X gleich zweiweiterhin aber eine Nullstellebei minus einsund wir haben eine Nullstelle bei zweikönnen Sie sofort sehen in dem sie einsetzen zwei Einsätzen erschienen was man null minus eins einsetzen nur mal irgendwas bereits Mark und null Rausknochenursprungsjazwotes Heike wenn sie keine Idee haben wie die Funktiondurch die Nullstellendurchgehtwie sie die unter dem Mikroskop eine null Stellen aus könnten sie sich zum Beispiel erst mal klarmachen wie sie uns unendliche denn geht wenn sie sehr groß X einsetzeneine Million und einsmal neunundneunzigtausend hundert achtundneunzigins Quadrat wird eine sehr große positive Zahl die Kurve muss nach rechts oben weg gehen wenn sie ein sehr negativesX einsetzen was passiert hier ein sehr negatives X einsetzensodie erste Klammer wird stark negativwenn sie für etwas Tag Negatives einsetzen ob sie eins drauf eingehen macht den Braten nicht fett die zweite Klammer wird stark positivwenn sie für X verstärkt negatives einsetzeneine stark negative Zahlder minus zwei Quadrieren ist eine stark positive Zahl minus mal bloß wieder minus also da müssen wir nach links unten verschwinden mit unserem Graphenund jetzt sehen sie eigentlichin dem sie die Punkte verbindet sie müssenbei der minus eins von unten nach oben durchund bei der zwei müssen sie oben bleibenodernajaes könnte ja auch so aussehen so sieht es aber nicht auspersönlichen und jetzt mal das so nicht aussiehtsie bieten nicht bei der minus eins nach unten ab Asphaltist es leicht an der zweitsich klarzumachenhier an der zwei wenn ich in der Größenordnung von zweiGesetzen eins Komma neun einsetzen zwei Komma eins eins irgendwo was um die zwei haben sicher hinten in den ersten Ignorierenersehnten schöne Parabelnur der Ausdruck hinten machte schöne Parabelwenn ich dich bei der zweiten nicht genau aber wenn ich dich bei der zwei bindet das eine schöne Parabel es machte erste Ausdruck hier mit plus eins wenn ich dich bei der zweitensoalso keine Auffälligkeiten der Sim ungefähr dreider zweite Faktormachte hübsche ParabelbeziehungsweiseQuadrate nicht bei der zwei bin und der erste Faktor ist einfach ungefähr drei geschieht also ungefähr dreimaleine Parabel an dieser Stelle kriege ich dreimalmeine Parabelund zwar eine nach oben geöffnete Parabel dreimal eben nicht minus drei dreimal eine nach oben geöffnete Parabel Beistrich eine Stelle zweieine Stelle minus einsdann ist der zweite Term hier minus eins Minusweise minus eins Quadrat der zweite ist praktisch neunund der erste Term machte schöne glatte Nullstelle sozusageneine gerade geht durch die x-Achse durch unter Mut beziehe ich noch mit neunSteine geradesogerade mit der Steigung neun und jetzt sehen sie AH als es muss so aussehen anders kann ich das nicht miteinander verbindenKomma das einmal gesehen hat weiß man auch okay wenn in dieser Linearfaktorzerlegungsteht X plus eins hoch eins denn geht meine Kurveglatt bin jadurch die x-Achse durch Rinder steht hoch zweimacht den Parabeldie muss sie nicht unbedingt von oben machen die können Sie auch von unten machengenauso bei der X plus eins das hätte auch so aussehen können je nach dem was von einer Fachfirma Beistrich sie wissen von der Form der Nullstellen her hoch eins wird im Jahr unter dem Mikroskop hoch zwei wird quadratisch unter dem Mikroskopmal irgend ein Faktor Klammer zu noch vorsichtig sein so sieht er also ausSorten zu diesen Werte noch was sagen sie sehen das ist doch sehr buschig eingezeichnetwenn sie X gleich null einsetzennullplus einsmal null minus eins Quadratminus zwei ins Quadrat sind vier einmal vier Gegenwert auf der Höhe vier durch die y-Achse durch?? müssen sich überlegen was passiert denn hier eigentlichalso müssen wir auf der Höhe vier durch die Sanktion durch irgendwas wird passieren Komma wieder runterstecken da mal einen Mantel des Schweigens zur es wird schon recht glatter durchgehenaber eigentlich wissen wir nur dieses wegkommen von links untengehen bei der minus eins glatt durch die x-Achse durchgehendann bei der vierdurch die y-Achse durch kommen von obenBeistrich zwei an die x-Achse und biegen dann wieder nach oben und gehen jetzt endlich das weiß man jetzt zumindest direkt von der Form der Gleichung her um sich die beiden letzten andervorletzterdie gleichen null stellen die bisheraber jetzt kriegen wir ein Parabelstückchenhier bei der minus eins und so einen wie X hoch drei komisches Parabelstückchenbei der Zweitagesin welche Richtungwir müssen wieder für sehr positive X was sehr positives rauskriegen wenn X eine Million es steht hier und da was sehr positives ?? steht auch ein sehr positiveses muss weiterhin so gehenaber jetzt bei X gleich zweimal zum Stückchen gut ParabelLeertaste gehen hier sodurchMänner horizontalenTangentewohntBeistrich minus eins quadratisch?? müssen von unten kommenso muss das Aussehenbei minus einsund wir gehen ins negativ unendliche dann natürlichsie haben hier Zwischensummesaubere Verbindung gezeichnetschwer vorsichtig dann können alle möglichen Träumereien passieren das dennoch irgendwelche Hin und her Effekte da drin hat das kann man an den Nullstelle nicht ablesensicher passiert irgendwas wir wissen wie der Graf eine null Stellen aussieht alles andere ist schwierigwir wissenwas wir sehr groß X passiert was ist der kleine X passiert sie können hier noch ausrechnenwo wir durch die x-Achse durchgehen sitzen null ein aber wie genau die Kurve aussiehtist ?? andere Sache der Welt vorsichtigich ?? mal sagen warum jetzt diese Figuren entstehenbei der zweides Aufsätzen auf die x-Achsewenn X in der Größenordnung von zwei istmacht der zweite Term hier der zweite Faktorsonst Schöndurchganghier die Website ?? X hoch drei aber versetzt das macht der zweite Faktorder erste Faktor ist gleich zwei ist erste Faktor der Sache ?? zwei plus eins ins quadratserste vergiss ungefähr neun hier steht wenn X ungefähr zwei ?? neunmalso eine komische ParabelAH so herum wenn X gleich minus eins istnach der erste Ausdruckeine nette quadratische ParabelX ungefähr gleich minus eins ?? von minus eins Komma eins bis minus null Komma neun sich in schöne quadratische Parabelund der zweite Faktor hier minus eins Minusweise minus drei hoch drei sind minus sieben zwanzigdieses hiermal minus siebenundzwanzigdas heißt die Parabel wird so aussehendiese Parabel die Eigentümer nach oben aufgegangen ist von dem bei minus sieben zwanziggeht als dann ganz schwer nach unten auf das ?? hier und sie sehen auch was ich eingezeichnet habe das überhaupt bestimmen es muss ganzheftignach unten weg gehen so ihralso Vorsicht wenn ihr steht Quadratheißt das nicht dass es eine nach oben geöffnete Parabel ist sind von den anderen Faktoren ab ja besser ein DWD schwer negativ besser geht die Parabel nach untenhätte ich gar nicht ausrechnen müssen gesehenich hab mir einfach zu Beginn angeguckt ?? sehr positive X Krise positive Y und dann sehe ich A der muss also eine kubisch Parabel sein die von unten nach oben geht dann muss der eine Quadratsparabelsein die von unten kommt wieder nach unten gehen und das natürlich nur unter dem Mikroskop als wenn sie jetzt mit der Lupe auf ihre Funktion gucken dann sieht es hier aus wie X hoch dreiverschobenund skandiertund das hier sieht aus wie X Quadratverschoben und skandiert unter der Lupe näherungsweisewenn ich dicht an der zwei wenn bei der minus einsund der letztevertrautenzu zeichnen Punkt es warder letzte Weg gegen eine weitere Nullstellebei vierso viel kriegen wir noch eine weitere Nullstelleund durch die Nullstelle geht es unter der Lupegerade durchund zwar von links unten nach rechts obendas könnte zum Beispiel dann Sinn wenn sie sehr positiv X einsetzenX vertrat ?? zu dreimal X sind Ixus sechs wir müssen sehr positive ?? zum ausklingen für sehr positive X deshalb müssen wir hier durch diese Nullstelle von links unten nach rechts oben gehen wäre eine Möglichkeit sich das überlegen wickelt sich das noch überlegen dass diese dieses kleine Stückchen gerade sozusagen näherungsweiseeine gerade das die nach oben verläuft die können sich das noch überlegendieSteigungdieser Näherung Weisensgradenwelcher Faktor steht vor diesem Xwenn X gleich vier ist gucken sich einfach das da vorne an das ist der Faktor der von ihrem X steht wenn X ?? vier ist wie großwerden diese beiden hier vier plus einsins Quadratsprojektvier plus eins ins Quadratmal vier minus zweizwei drei vier plus fünf ins Quadratmalvier minus zwei mal zwei hoch dreifünftes Vorabauswahldrei fünf mal zwei sind zehnhundert zwei hundertFaktor zwei hundert diese gerade hier hat Steigungzwei hundertplus zwei hunderthätte man ausrechnen können noch mal zu mitdenken warum hat diese näherungsweise gerade jetzt die Steigung zwei hundert und zwei plus zwei hundert ?? minus zwei hundert die gucken sich an was die anderen Faktoren in ihrer Gleichung hier Funktionsgleichungbringen X minus vierist dieser prinzipieller Verlauf meiner geradenmöchte wissen was passiert an der Stelle X gleich vierBecherfaktor steht davor wenn X gleich vier ist das es sich einfach ein diese beiden hier vier plus eins ins Quadrat mal vier minus zwei hoch dreimacht zusammen zwei hundertmich nicht verrechnet habe ?? überlegen fünf ins Quadrat mal die Minis weisen zweimal zwei hoch drei fünf hundert mal zwei hoch dreifünf hundert mal zwei ins Quadrat mal zwei Leertaste ?? zwei hundert gestiegen Faktor zwei hundert Bindestrich vier ist zwei hundert mal X minus vier Grad die sie einzeichnen könnten eine Gerade mit der Steigung zwei hundert offensichtlich viel steiler als sie gerade die hier eingefangen habe könnte man sich das auch überlegenan der Stelle zwei brauche ich wieder sowaswas aussieht wie X hoch drei sind das muss jetzt andersrum sein die Musik nach unten gehen um hier von unten kommen zu können das muss andersrum sein das heißt wenn sie zwei einsetzenund sie gucken sich diesenGerman und den Termander müsse was negatives rauskriegenKomma nachrechnen aber lohnt sich nicht ?? Wissens muss was negatives sein und hierbei der minus einswieder was quadratischeskommen hier von oben das heißt das muss so aussehen und natürlich wird wahrscheinlich noch steiler sein als das Wasser eben hatten so muss das Aussehen und hier passiert irgendwas was ich weiß und wir gehen danach plus unendlich für sehr negative X kommen sehr positive Y rausPunkt es ?? X Quadrat X hoch drei X X aus sechs Gewinns Ixus sechs ist aber so ein Verlauf natürlich viel steilermüssen Links wieder ins Positive gehendas mal so als Ideen was ich jetzt an den Nullstelleund einigen Potenzen der Linearfaktorenablesen kann