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24C.2 Flächeninhalt einer Schnecke; Polarkoordinaten


CC-BY-NC-SA 3.0

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nuneine zu Polarkoordinatenfolgende FigurindexY Ebenesoll die Zahl zwei sein Dasein ?? drei sein?? die gerne folgende Figur eine Figurerfasse eine Schnecke eine Schnecke die größer wird sie startet hier auf der x-Achsebeim Radius zweiund dieser Radius soll Ihnen ja größer werden hier bis dreißig ganz gelungen sie ein was ich machen willals dieser Abstand hier soll zwei sein dieser Abstand hier soll zwei ein viertel sein dieser Abstand soll zweieinhalbsein dieser Abstand soll zwei dreiviertel sein und dann solche bei drei seinder Radius hiersollten die ja Anwachsenvon zwei bis dreiRadiusbin ja mit Winkel schreibe ich malund die Frage istwas ist dieFlächedie rechnen Sie mal ausdie Fläche dieser Figurist geschlossenfür die zu einer Schneckedes für die Grundidee wie hier zu einem integral über zwei veränderliche Komma stellen Sie sich eine Torte vordie das hier als Grundfläche hat eine Torte der Höhe einsMethodezur perspektivisch noch heftiger zu zeichnensich so eine Torte vorund das ist die Höhe eins das Volumen dieser Torteist zahlenmäßigdas selbe wie die Flächedie ich hier habedas Volumen dieser dortige gesehen als Doppel integral und das Schreiben sind PolarkoordinatendesVolumens wird heuteals die Funktion ich integriere dies sozusageneinsdas ist der TrickKomma die Analogie zu X Y oder zu machen für sie eben statistische Koordinaten natürlich sagen ?? X läuft vonminus zweieinhalbbisplus drei?? würde ich jetzt für jedes dieser Echse ausrechnen Y läuft von bisY läuft von bis zum ?? von bis es werden fürchterlicheFormeln könnte man machen aber die Formen werden fürchteich den Polarkoordinatenund überlege mir das mit Winkeln undAbständender Winkel läuftvon bisund wenn sie einen bestimmten Winkel habenund wo bis wo läuft der Radiusimmer ?? mit X und Y sondern mit Winkelund Radiusanalog zu dem Wasser eben mit X und Y hattenvon wo bis wo laufen Winkel und Radius so beschreiben Sie diese Grundflächeund das mit Polarkoordinatenwesentlich einfacher her als mit statistischen Koordinatengehen die Winkel durch von null bis drei hundert sechzig Grad oder besser von null bis zwei Ki lässt sich besser integrierensie Winkel durchgehend von null bis zwei Kidann soll der Radius sein von zwei bis dreiLineal der Radius Server zwei anfangenund beieiner Stimm jetzt nichtin Gestaltder Radius Server zwei anfangen und bei drei aufhörenmir soll der Radius anfangen und da solle aufhörengesagt in diesen Rades den maximalen Radiusder Winkel von null bis drei hundert sechzig Gradzwei dieder Radius geht immer von null bis hin zu einemmaximalen Radius ja mit den maximal?? gleich der maximaleRadiusbis zwei und so weiterbis drei wenn sie diese gerade eben schreiben könnenFragezeichenalsoich rechne dieses Volumen aus das es gleich der Fläche ?? mich diese Grundfläche mal eins in der Höhewerden Einheiten an der Stelle ignoriereneinDoppel integralam einfachstenist daswie nach außen zu nehmender Winkel läuft von null bis zwei Pi besser nicht drei hundert sechzig Grad was habe ich Ärger mit den Stammfunktionähmzwei Pi von null bis zwei die läuft der Winkel innen drin steht derdas integral über den Radius der Radius läuft von null biszu diesem maximalen Radius und hängt vom Winkel abgeraden Gleichungihr stets zwei plusder Winkel durch zwei Piin der Regel nur istsie zwei raus wenn der Winkelzwei PSkriegen sie drei raus und das Ding ist Linealund die Funktion isteinsund jetzt jedoch für die Polarkoordinatender Korrekturfaktoreherelementarder Götter rein werde er die Viehkennen alt wie das vorgeführt warum der nötig ist Business schon allein von den Einheitendie Fläche muss Quadratmeter habenMeter mal Meter der Winkeleinheitloswerden Quadratmeterohne dieses eher haben sie nicht mehr Quadratmeterschon deshalb geizig funktionierenwas es mit dem ganzes Leben istdie Funktion ich integriere ist banalaber die Grenze wird kompliziert das es hier Patrickich integriere eine simple Funktion mit komplizierten Grenzenwarum ich es funktioniertund jetzt geht's eben nach Schema F weitererrechnet es wirklich mal ausdasinnere integraleher ist meine Funktion?? Fördermaßnahmeneralso StammfunktionR Quadrat Halbe sinnvollerweisein den Grenzen von null bis zwei tausenddividiert durch zwei Kieinsetzenalsozwei plus die durch zwei PiQuadratHalbeObergrenzeminus null schreibt versichert habe meinendas alles in Japan gedacht null einsetzenund abziehendamit ist diese Fläche das integral von null bis zwei Pidass es jetzt mein neunte Grand ein halb mal zwei Plusnie durch zwei Pi Quadratsfidavon eine Stammfunktionin den Grenzen von null bis zwei Piein halb ein konstanter Faktorla ins Quadrat davon eine Stammfunktionich vermute ein drittel bla hoch dreizwei Plusnie durch zwei Titel des Viertelsdeutlicher machenTestableitungwenn ich den ableiteein halb ein konstanter Faktor ein drittel bla hoch dreidrei Komma Frau Nickels sie ein drittel zu zweiso weit so gutmal die innere Ableitunginnerer Pleiten ist eins durch zwei Pi die muss ich noch rückgängig machen mal zwei Pi so hart sindjetzt setze ichBoje nach vorne Platz in nächste Zeilegesetzlich zwei Pi ein also ein Sechstelmalzwei plus zwei Pi durch zwei Pi drei?? kann man an mir ein sechsten mal drei hoch drei mal zwei Pizwei die ein Gesetz in der Klammer steht zweites zwei Titel zwei bis drei Wattminus die null einsetzenein Sechstelmal zwei plus nullzwei die hoch drei als achtmal zwei Pi?? mitnehmendann habe ich insgesamtsiebenundzwanzigminus acht sind neunzehndurch sechs mal zwei Pi neunzehnsechste Mai zwei Piso die kürzlich noch die sechs und die zwei dann bin ich hier also beineunzehndurch drei mal Pietwas mehrals sechs Pieinmal alles erledigt etwas mehr als sechs Pi wenn sie diese Figur hier habenkönnen jaMinimum und Maximum sozusagenangebendiese Kreisscheibemit Radius zweidies garantiert in der Fläche kleinerund die Kreisscheibeund ?? die Kreisscheibe mit Radius drei ist garantiert in der Fläche größerwas in die beiden Flächen die Grünen hieruns dieMagentafarbenwas in die Flächen der KreisscheibenVideo vier Pi und neunRadius ins Quadrat mal Pialso zwei Zweirad Marquis und bei der größeren sechs neunwas wir ausklingen ?? muss auf jeden Fall zwischen vier Pi und neun tägigenKriegen ausirgendwas bei sechs Pi insofern plausibel?? Geschichte??auch hier kann ich wiederRadiusund wie die beiden Variablen vertauschendas ist interessanteGeschichtemir gerade aufgefallenkönnen dieselbe Fläche auch ausrechnenindem sie außen den Radius habenund ihnen den Winkel habenund hier steht einmal er sie serienmäßig das eherne Umdenken haben Ersteres filigrane Konstante des ?? rausholensoso geht es auchwas sie da die Grenzenfür den Radius versetzen die für den Radius als Grenzen einig maximal?? einneues Rider Radiusso der Ärger ist gefährlicher mit dem Winkel nicht von null bis zwei Pi gehendann hätte ich ja wirklich ein Vollkreismit Radius drei die ganze Kreisstadt mit Radius Streich muss es mit dem Winkel aufpassenähmvon wo bis woläuft der Winkel abhängig von dem Radius ich hab einen bestimmten Radiusdiesen Rades zum Beispieldiesen Rades zum Beispieldiesen alles über zwei Komma fünfvon wo bis woläuft der Winkelwenn die Anreise zwischen null zwei habegeht jeder Ringsradiuszwischen null und zwei Kriterienzur ??beim Radius zwischen zweiunddreißignicht mehr jeder Winkel beim Radius zwischen zweiunddreißig?? nichtregedit nicht irgendwann tauche ich einpaar dass jederGast beim Radius von zwei bis drei ?? gehen diese Winkelals ich gehe immer bis drei hundert sechzig Grad bis zwei Piaber ich fange nicht immer mit null an sondern sie nach Radiuskann ich mit den anderen Winkel an diesen Rades hier zwei Komma fünfzum Beispiel bei zwei Komma fünfhier an mit hundert achtzig Gradsowas brauche ichalso einen minimalen Winkel schreibt MariaFimingabhängig vom Radiusdie Medienfür Radien zwischen zwei und dreihabe ich immer den gesamten Kreis fangen mit null an sodazwischen gibt's hier Lineal raufbeim Radius von zwei Komma fünffang ich mit einem Winkel von Pi an den bis zwei Pi ein Radius von zwei Komma fünf ich fangejetzt Beistrichdas müsste man jetzt als Funktionrein stecken es wird fürchterlich ist jeder weiß Beistrich??