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25A.4 Schwerpunkt eines Flächenstücks mittels Integral


CC-BY-NC-SA 3.0

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der – erste Job für heute Morgen ist ein Stück der Normalparabel – zu nehmen – hätte gerne – das von X gleich null bis X gleich zwei – sowas das Stück der Normalparabel – von dem wüsste ich gerne – wo der Schwerpunkt ist – den sie sich dieses Stück aus Gattung ausgeschnitten vor – diese Stückchen hier – aus Karton ausgeschnitten – oder aus Blech gestanzt was auch immer – und die Frage ist wo ist der Schwerpunkt – irgendwo – in der Ecke müsse der Schwerpunkt sein – ?? jetzt relativ einfach mit integralen ausrechnen – am ?? das zeige ich an dieser Stelle – weil es netterweise – von der Schwerpunktrechnung – einen Querbezug zu den Mutationskörpern – gibt – das er soll die Kurve sein Y – X Quadrat – gesucht ist der – Schwerpunkt – dann – befangen das man ganz vorsichtig an mit der Fläche – erinnern wie das integral ging – wie groß ist hier die vierte Fläche ✂ also das ist eine geradlinige Anwendung des Integral sich in die Tiefe von null bis zwei X gleich null bis X gleich zwei – innen drin steht meine Funktion – X Quadrat TX – das gerade der Job des bestimmten Integralfläche – unter der Kurve zu bestimmen mit Vorzeichen – aber netterweise ist diese Kurve ja so das sie nicht unter die x-Achse geht insofern – ein Problem – haben – müssen nach Schema F irgend eine Stammfunktion – zu zwei drittel – zu zwei Drittel ?? dreizehn gerne eine Stammfunktion und soll ich mir den Aufwand machen – einen X hoch drei – von null – bis zwei integrierenden – Krieg natürlich aus zwei hoch drei – X Entsetzens bei hoch drei durch drei minus null hoch drei – durch drei macht acht Drittel – Komma gleich – uns aber nebenbei schon mal das – integral – für den heutigen Tag wiederholt – so – sollte um die Schwerpunktberechnung – gehen – und überlegen wie denn ein Schwerpunkt funktioniert – ähm – wenn sie – auf – wenn sie einen – dickes Gewicht von drei Kilogramm – und ein dünnes Gewicht – von einem Kilogramm – so an einer – gedachten masselose Stange bauen – wo ist der Schwerpunkt – von der Konstruktion ✂ sinnvollerweise – beim ersten Beistrich stellt sich das auf der Waage vor – weiteren bisschen größer stellen sich darüber nicht ?? Wagener – Wippe – im Kindergarten – ständiger Sattel bevor – ähm – drei Kilogramm auf dieser Seite ein Kilogramm auf der Seite des ein Kilogramm Brauch einen dreimal so langen Hebel – wie das drei Kilogramm damit sich ausbalancieren – und wenn sie mit Drehmomenten – rechnen – drei Kilogramm Gewichtskraft – hier ist dreimal – so groß wie die Gewichtskraft – hier – das Drehmoment hier auf der Seite – der – die Länge des Arms – dreimal so lang – mal – diese Gewichtskraft – auf dieser Seite des Drehmoments – des Abends – wird immer so lang aber dafür ist ihm die Gewichtskraft dreimal so lang dass sie sich dann auf ?? links und Rechtsdrehmomente – die sich aufheben – was wäre der allererste Gedanke zum Schwerpunkt – haben – mit anderen Worten sei seine Schwerpunkt wo kann ich meine Konstruktion so unterstützen – das in der Balance ist – nun – und – aus dieser Überlegung kann man sich schon herleiten die man im allgemeinen – einen Schwerpunkt – berechnen kann wenn sie nicht nur zwei Punkte haben sondern von mir aus die Sonne und die Planeten – einem – oder – zwei Trillionen Atome in irgend einem Festkörper wie berechne ich den Schwerpunkt – wenn ich weiß – was die einzelnen Massen sind drei Kilogramm ein Kilogramm – und wenn ich deren Position weiß wie kann ich aus diesen Angaben in Position und den Massen den Schwerpunkt berechnen – um – der Trick ist einfach – ?? Positionen – mit den passenden – Gewichtungen – zu addieren – ich brauche anscheinend diese drei Kilogramm – mit dem Anteil von – drei und diese ein Kilogramm mit einem Anteil von eins in der Gesamtbilanz – als wenn sie hier den Schwerpunkt ausrechnen danke der hier sitzt einer – im Ortsvektor X eins – lang der Sitz beim Ortsvektor X zwei – Ortsvektor vom Schwerpunkt wäre dann – passend gemischt – ich muss – den – dreifachen Anteil hier von denen – eins haben und den einfachen Anteil von den X zwei – damit das hinhaut – muss das sowas sein wie – fünfundsiebzig Prozent von X eins – und fünfundzwanzig – Prozent – von X zwei dann haben Sie die richtige Mischung – aus diesen beiden Ortsvektor – ich brauche von dem hier das dreifache – wie von dem andern – das dreifache Gewicht – damit das mit den Drehmomenten hinkommt – muss diese Strecke hier – ein drittel so kurz sein – wie die andere Strecke das Gewicht von Demos – dreimal so groß sein das Gewicht in der Summe Gewichtung in dieser sonst einmal so groß sein wie die Richtung von dem von siebzig zu fünfundzwanzig – oder – viel einfacher ist – dann – drei Kilogramm durch die Gesamtmasse – vier Kilogramm und hier habe ich ein Kilogramm – durch die Gesamtmasse vier Kilogramm – kommt das ein er dann – als ich nehme – den Ortsvektor – von jeder dieser Massen – an dem sie sagen Schwerpunkt jeder dieser Massenort – mal – ein passendes Gewicht schon so viel Prozent als ob sie sich einen Drink mixen fünfzig Prozent Kinder und fünfundzwanzig Prozent – so oder was auch immer ähm jetzt eben fünfundsiebzig Prozent von der Koordinate – und – ?? und hier fünf und zwanzig Prozent von der – anderen Koordinate – das es jeweils die Einzelmasse – durch die – Einzelmasse – durch die Gesamtmasse – und allgemein wenig Sonne Punkt Folge habe – ?? weiterhin nicht allgemein sein Punkt Volker habe – dann habe ich das die – Leertaste Ortsvektor der Schwerpunkt ist Turniere über alle Punkte – die Masse – des jeweiligen – ?? Punkt – mal dessen – Koordinate – durch die Gesamtmasse – des Außenseiters etwas klarer schreiben hier steht die Masse die Teilmasse durch die Gesamtmasse – mal – so – ein Ortsvektor für den jeweiligen Punkt – das ist die – allgemeine Art – den Schwerpunkt auszubrechen nicht – zu mir über alle Ortsvektoren – von meinen Teilen – und Gewichte die jeweils im Verhältnis – wie viel Masse sitzt da im Verhältnis zur Gesamtmasse – sowie hier fünfundsiebzig – zu fünfundzwanzig habe – null Komma sieben fünf null Komma zwei fünf – die das auch allgemein – wenig Millionen und Milliarden Punkten haben – so – und – da ist jetzt der Job – das auf diese Kurve zu übertragen – ?? Weiher – am ✂ das denn so halbwegs – einleuchtend – tätowieren – und dass sie zu übertragen – auf diese Kurve – habe ich keine Massenpunkte – mehr – dieses hier funktioniert – nicht nur mit Massenpunkten – wenn sie hier ausgedehnte Objekte haben eine Sammlung ausgedehnter – Objekte haben – dann können Sie jeweils – den Ortsvektor der Schwerpunktseinsätzen – für die X ihn und für die NI – die Masse von den jeweiligen Objekt – müssen keine unfairen Objekte sein dürfen ausgedehnt sein – und da wird jetzt allmählich – einfacher das auf diese Situation zu übertragen – wir schon ganz viele Balkenmaß – stellen Sie sich – diese Stückchen Karton – zerlegt vor – ?? – in dünne Streifen – dass wir einen – so ein Streifen und noch so ein Streifen noch so ein Streifen und so weiter – die schneiden – dieses Parabelstück – aus Karton aus sagende Fläche unter der Parabel aus Karton aus und erscheint sie noch mal quer – in – ganz dünne Streifen – und jetzt kann ich versuchen – die Schwerpunkte – dieser einzelnen Streifen miteinander zu verrechnen – und den Schwerpunkt des ganzen Dingen zu kriegen habe ich nicht ?? – Punkt Wolke – und auch nicht – ?? ja sowas wie in Sonnensystem – in der Mitte die dicke Sonne und Planeten drumherum sondern ich habe ziemlich ausgedehnte – Teile – dicke Teile – trotzdem funktioniert diese Art zu rechnen – sie nämlich von jedem dieser dicken Teile – den – einzelnen Schwerpunkt – ie ecks ie – und die Masse von den jeweiligen Teil und verwirren das im Verhältnis – und gegen den Schwerpunkt des Ganzen das kann man jetzt verwenden – ganz viele kleine Teile – ich weiß wo die Schwerpunkte jeweils liegen sicher das ganze rechte nehmen denn es erscheint jeder Schwerpunkt von den ganz rechts – das dann eben das hat seinen Schwerpunkt wohl hier und dass seine Schwerpunkt dar und so weiter – immer auf der halben Höhe – müssen praktisch Rechtecke – mit eingezeichnet habe sogar genau Rechtecke – quasi – ganz viele Streichhölzer hier nebeneinander gelegt – alle ?? sind abgeschnitten oder ganz doll abgeschnitten – um die Parabel zu bilden – und weiß von jedem Streichholz – den Schwerpunkt des anderen auf der halben Höhe – dem Trick soll es nun gelingen – den Schwerpunkt – der – Wasser ?? seine Schwerpunkt der Parabel zu brechen sondern den Schwerpunkt dieses Flächenstücks – unter der Parabel – zu berechnen – wie kann ich jetzt diese Schwerpunkte miteinander – zusammenbringen – um den Schwerpunkt – der Parabel zu kriegen die X Koordinate – erst mal ?? und dann auch noch die Y Koordinate vom Schwerpunkt dieses Rechenstücks unserer Rate von null bis zwei – versuchen Sie das mal zu übertragen – gegen den Schwerpunkt als – Schwerpunkt – jedes Teilstücks – mal Masse des Teilstücks – durch Gesamtmasse – auf summiert – sie das hierauf übertragen – müssen in der Lage sein X Koordinate und Dixon Koordinate vom Schwerpunkt des Flächenstücks ✂ unter der Parabel zu kriegen – bei dem Schwerpunkt habe ich immer hiervon Masse geredet – das integral der Gastronomieflächen – zu tun – stellen sich folgendes vorstellen sich vor dass dieser Karton – eine Dichte hat – von einem Kilogramm – pro Quadratmeter – in der Karton eine Dichter hat von einem Kilogramm pro Quadratmeter – und sie haben acht dritte Quadratmetern – Fläche darunter ✂ was wäre die Masse – genauso – wenn ein Kilo ein Quadratmeter – entspricht oder umgekehrt ein Quadratmeter ein Kilogramm entspricht und sie haben acht drittel Quadratmeter – unter der Kurve heißt dass diese Fläche – das Flächenstück eine Masse von achtzig – Kilogramm – wenn sie einfach ganz dreist so was man annehmen die Dichte ist einfach – ein Kilogramm pro Quadratmeter – dann ist die Zahl Jazz welche rauskriegen – in Quadratmeter – auch gleichzeitig – die Zahl der Kilogramm wenn sie das Ding aus Karton Ausschneiden sind schwerer Karton ?? – werden – also ich rechne jetzt einfach mit der Fläche – statt mit der Masse – das ist der Trick an der Stelle – der Schwerpunkt hängt ja nicht davon ab ob sie dieses Ding aus Blei ausschneiden – oder – aus ganz ultradünnem Papier ausschneiden die Lage der Schwerpunkt wird immer dieselbe sein – Material ab wenn es homogen ist das ganze insofern kann ich dreißigmal sagen wir rechnen in der Dichte von ein Kilogramm pro Quadratmeter – dann acht drittel – Quadratmeter – nicht nur die Fläche sondern automatisch – auch die Masse – Kilogramm – also da wo ich eben was von Masse erzählt habe dürfen sie auch ganz einfach Fläche sagen ✂ wenn das erst mal tausend Rechtecke während ?? stimmte nicht ganz genau aber schon relativ – gut ?? Voss ein tausend Rechtecke – sind hier nur – gerundet – haben – ich sie mir über meine tausend Rechtecke – und dann müsste ich jetzt summieren die Teilfläche – des jeweiligen Recht Text durch die Gesamtfläche – mal – die – X Koordinate – des jeweiligen Rechtecksteilfläche – des jeweiligen Rechteck – durch die Gesamtfläche – eine Gesamtfläche hatten war acht drittel – mal die – X Koordinate – schreibt es mal so Teilfläche I dass jede dieser Rechtecke – anderer ein tausend dass sie diese Rechtecke welche Fläche hat das mal die X Koordinate – jeweiligen – diese Teilfläche – ist die Breite – mal die Höhe – wenn ich sage die sind alle – ermittelter X bereits – Breite mal die Höhe – ?? stellte Exner hinten – die Höhe – wirklich einig die Höhe von diesem Rechteck ✂ die Höhe hat ja mit meiner Funktion zu tun wenn ich bei dem Liedchen dieser Rechtecke an der Stelle gibt Ihnen – wäre die Höhe – X die – Quadrat – das wäre die Teilfläche – nehmen sich hier – das Rechteck mit der Nummer I raus – sei Breite von der X Komma das einmal relativ schmal – und wenn das an der Stelle ie ecks ie genommen ist das soll dessen X Koordinate sein wenn das eine stellig genommen ist es das ist die Höhe von wegen der Parabel im Quadrat – schaffen sie es das hier – in ein integral umzuformen – Fragezeichen – was ✂ zu dem X die sagen hier – X – weil mich die X Koordinate ?? oben der Schwerpunkt interessiert – haben – wie kriege ich die X Koordinate – ich – eher addiere die X Koordinate der Einzelteile – mit den passenden – Gewichtungen – für die Y Koordinate an die richtigen Y Koordinaten der Einzelteile – jährlich die X Koordinate – hatte sogar gar nicht dumm sofort hinzu schreiben was mit Y passieren wird für Y welche natürlich die ?? sein Koordinate – des – jeweiligen – Teils hinschreiben als hier die Teilfläche – Teilfläche – durch acht drittel mal – hier kommt die – Y Koordinate – des Ebenstücks rein wenn ich die – Elternkoordinate – Schwerpunkt haben wir – schon Koordinaten passend – gewichtet addiere und die Y Koordinate – jetzt einen gesehen die Y Koordinate sind natürlich – rassistisch sein Koordinate der Schwerpunkt ✂ die Y Konzerte Schwerpunkt von dem Stück ist – Extrakoordinate – verliert halbiert – die Gesamthöhe – ist X die Quadrat – das hier X die Quadrat aber der Schwerpunkt liegt auf der halben Höhe – dieses Ding hier ist die – Quadrat halbe – also einige Leute wollten gerade schon die Y Koordinate vom Schwerpunkt ausrechnen – aber – bei dem der oben – was steht hier – das ist die Suche über alle I – X I Quadrat – delta X – X I – acht drittel – da steht er zum Schluss – das ist in guter Näherung die X Koordinate – meines Schwerpunkt – und da müsste ein nun – vorsichtig – die Analogie auffallen – dass das schon fast ein integral – das vorstellen wie das üblich integral so funktioniert – einiges integral wissen will die Fläche wissen will ein kann ich das ja auch – in üblichen Funktionen – mit solchen – Streifen bauen – und diese Streifen auf summieren habe ich jeweils – als Fläche so eines Streifens – delta ?? X – in der Breite – und den Funktionswert – in der Höhe – und die gesamte Fläche wird dann werden von A bis B von X – die X – ihrer auf – die Funktionswerte – mal delta X – und das heißt dieses hier wird werden – das integral – Leertaste von null bis zwei in X wird neuer – X Quadrat mal X – durch acht drittel – die X das Integralwitz – werden – die Physiker und Ingenieure der hemmungslos – die sagen einfach das Delta Exit immer kleiner wird immer kleiner – ich konsumiere zum Schluss kontinuierlich – das Dell der X Sitzung die X – und die Summe – wird zum integral – kommt auch historisch her das Integralzeichen – ist eigentlich ein ?? es – eigentlich war das hier mal ein ganz langes es – die ursprüngliche Vorstellung vom integral ist eine Summe die immer feiner immer feiner immer feiner wird – dann kommen Sie von dieser Summe hier – eine Funktion – mal – Streifenbreite – auf summiert – zu dem integral – dieselbe Funktion und die Streifenbreite – ist denn hier dieses – abstrakte – die X – für die Physiker und Ingenieure ist das hier gar nicht abstrakt wie für die Mathematiker – ähm – die stellen sich wirklich vor die Physiker nennen – dieses delta X kleiner und kleiner wird ?? sein wird und entweder hinten das die X – das integral wird es werden – das es also offiziell jetzt – die X Koordinate vom Schwerpunkt – und sie sehen was dann Zutaten drin steht – das es meine Funktion – da steht einfach X – und hier steht die Gesamtfläche – größter Stuss zustande gekommen – als ich integriere – für die X Koordinate vom Schwerpunkt – eher von X mal X – durch die Gesamtfläche – Gesamtfläche natürlich auch ausziehen können – das Center steht das Integralabsatz – offiziell – Ansammlung mäßig wäre das X Koordinate vom Schwerpunkt der Fläche unter einer Kurve ist – ich integriere – über die ?? über das entsprechende Flächenstück – eher von X – mal X das SEO eher von X mal X die X und teile durch die Gesamtfläche – habe bis B – von X – die X das mir die acht dritte Presse und die Gesamtfläche – das ist die – X Koordinate vom Schwerpunkt – unter seinem Flächenstück – vom Sammlung technisch – am – Aussehen – ?? auf andere Weise hingekriegt – das jetzt doch hoffentlich auch ausrechnen – was wird das integral wenn sich ausrechnen ✂ äh – an – ich würde der Einfachheit halber die acht drittel – Aussehen – achtete raus ziehen eins durch acht drittel – sind drei durch acht vorne drei achtel mal – das integral von null bis zwei – gesamteinige Leute versuchte sich Quadrat einzeln zu integrieren und das X eins und – das ?? wird leider nicht – ähm – wenn wir sowas probieren würden – schaffte es von ?? hin X mal X und so weiter mit ?? zu probieren würden die einzelnen zu integrieren – sind X hoch drei drittel – X Quadrat halbe hätten – wenn sie dann – pro berechnen – stellen wir fest sie müssen mit der Produktregel ableitenden – Listen den ersten ableiten mal den zweiten – los den ersten stehen lassen meine zweiten ableiten – schon zwei Sachen – nicht ein Ding schon deshalb funktionieren – die einzelnen zu integrieren – Punkt sie fassen die einfach zusammen X vertrat mal X – Wasser einfach zusammen drei achtel mal das integral – von null bis zwei X hoch drei – die X – und jetzt ist alles in Ordnung drei achtel Malik sucht vier – Werte – von null bis zwei – macht – also drei mal – zwei hoch vier sind sechzehn – drei mal sechzehn – durch – acht mal vier – sind zweiunddreißig – nicht nur eine tägliche null raus zwei hoch vier Viertel minus nur noch vier Viertel angeregt einmal sechzehn zwei dreißigste – in Kürze noch sechzehn zweiunddreißig – begründen die zwei – drei halbe – X Koordinate vom Schwerpunkt muss drei halbe sein – was nicht – völlig unplausibel ist – drei halber – hier den Schwerpunkt – auf dieser Linie finde ich nicht schlecht – X gleich drei halbe – immer noch nicht die Y Koordinate – jetzt muss Y Koordinate anders ist ja derselbe Trick – besteht nicht X trennen sollen besteht – Y drinnen also mein Funktionswert – halbe – weitere mal die – offizielle Form unterschreiben – ich teile durch die Gesamtmasse – Gesamtfläche – ändert sich ja nicht – ?? habe ich ?? die – die X – so – die Gewichte – Gewichtungen soll ich sagen – ?? waren proportional zur Höhe F von X wird Dieter eben nicht mehr X sondern hier muss Y – halbe Stellen – die Höhe des Schwerpunkts – jeweils Linkskoordinate – des Schwerpunktzimmers – ist die Höhe der Schwerpunkt sein – Y halbe – also mit anderen Worten – F von X – halbe – Diät von Y sind und eine sogar noch zusammenfassen – hier steht also eher von X Quadrat – einhalten – das wäre die Y Koordinate des Schwerpunkts – setzen hier für das X nicht das X ein sondern die Funktion – der Fusionswert durch zwei – können zusammenfassende – Quadrat halbe – das wäre die – offizielle Form – war – er gerade mal basteln – sehen wo's herkommt – ?? es wieder finde wo's herkommt ?? es muss also sowas sein – Teilfläche hier bei X Quadrat – mal delta X – hier kommt nochmals Quadrat halbe der zum Schluss X hoch vier – halbe – im integral stehen – oder – an sie direkt sie sind X zu vier halbe – ausrechnen – von unserem Flächenstück – bei uns – die Y Koordinate des Schwerpunkts – ergibt was ✂ okay – den Teil unter dem Bruchstrich hin war ja schon die Gesamtfläche – waren acht drittel – einhalb steht davor und hier steht das integral von null bis zwei – meine Funktion verlieren X Quadratsquadrat – Komma wo das hergekommen ist offiziell das es eher die allgemeine Formel – ähm – muss es offiziell hergekommen – eben – da waren wir – diese Teilfläche – ist die Höhe mal Breite – X Quadrat – mal – delta X und hier hinten – habe ich die Höhe des Schwerpunkts – der Teilfläche – X vertrat halbe – also zusammen X Quadrat – mal X Quadrat X hoch vier halbe – mal delta X – durch die acht drittel da kamen diese Bestandteile – her – X Quadrat mal X Quadrat halbe durch acht drittel – an – wie ein halb die acht drittel ?? nach vorne dann sind's drei achtel – mal und jetzt kommt hier das integral von null bis zwei X hoch – vier D X – bin ich bei drei sechzehntel – Stammfunktion – X hoch fünf – fünftel – von null bis zwei – das macht – zwei hoch fünf – fünftel – minus – nur noch fünf fünftel im Sommer hinschreiben muss also zwei fünf fünftel insgesamt ich habe – drei sechzehntel – mal zwei ?? fünfzehn zweiunddreißig – Potenzen kann man dann irgendwann in Informatik auswendig – durch – die fünf – Ohm – Komma darum noch kürzen und dann sind wir bei drei mal zwei Fünftel sind sechs fünftel – Höhe des Schwerpunkts muss bei sechs fünftel sein – Komma gucken in dem Bild hier – also die X Koordinate bei drei halbe und die Höhe bei sechs fünftel hier in der Ecke Schwerpunkt liegt – was wieder nicht total unplausibel ist – so kann man das machen an – meinen sie die Tendenz geht wahrscheinlich dazu sich diese Formen aufzuschreiben – aber mir wäre ehrlich gesagt lieber mit verstehen was dahinter steckt hinter den Formen – am – dann haben sie auch sonst – irgendwelche Fehler zu finden und sich einfach nur blöd einsetzen – Unsinn raus und fragen sich – dann eben nicht ob es Unsinn ist – wenn sie verstehen was sie rechnen anfangs – auch – zu durchdringen was sie da tun ?? Fehler zu finden insbesondere oder ganz neue Modelle zu finden als andere Arten zu finden es auszurechnen – wenn sie Formen es bei dir sieht's mit dem Quadrat – ein halb – hat man sich ?? wirklich was kann in das nun sein – Komma – denken Sie einfach dran – wo's herkommt – ?? schon geschrieben – degradiert mit dem Y doch wo kommt es her – hier steht die Funktion – X vertrat ich die die Funktion halbiert – für die Höhe des Schwerpunkts – bei Fläche hier – steht – schon wieder die Funktion – mal Breite – habe ich also zum Schluss die Funktion zwar miteinander deshalb das Quadrat der Funktion halbiert – und auch das bei dem Y auf und bei dem X – steht – einfach das X ich – werde die Summe über alle X Koordinaten – mit passenden Gerichten nur das X hier nicht die Funktion – sondern nur – und – ähm hier das Gewicht ist dann eben – Höhe – war die Breite und die Höhe ist die – Koordinate – sichert aber noch mal sagen was ich hiermit Y hingeschrieben habe war die Höhe des Schwerpunkts – ihr – diese Höhe soll Y I sein – ?? nicht der Wert – der Funktion auf der – Kurve – hatte das hier wäre der Fusionswert – halbiert – ist Y was da steht – und nicht das Y auf der Kurve sondern nur die Hälfte als X Quadrat halbe