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24A.2 Volumen unter Paraboloid, Doppelintegral in Polarkoordinaten


CC-BY-NC-SA 3.0

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jetztgucken wir uns was in Polarkoordinatenan was kann ich dann aber sogar sinnvoll malenich hätte gernedieses ParabolantenneliedZ ist gleich X Quadrat plus Y Quadratdas dümmste Programm und von allennunmal das mal so einenHub skizzieren hierdie Achsen nur für mich gerade skizziertX außer weise mal nach vorneerkennen kann??das funktioniert ja so dieses Baubiologie dass der Schnitt entlang der x-Achseden Dank der y-Achseschöne Parabel istdie übliche Normalparabelwenn ?? Y schneide hiernajawenn ich in Sankt X Schneider sie hiervorne Hintenspannungen?? das gelingt wenn ich entlang X schneidetsicher auch die Normalparabelaber jetzt in diese Richtung hierund insgesamthaben sie Sonnenvulkankraterdas jemand mal genannt hatin einem der letztenSeminareanmich interessiert das Volumenunter dem Vulkankratereine Kreisscheibeganz gelungen hier eine Kreisscheibemit Radius einskriegen Sie hier jaeinsQuadratfußnullhierausund hier kriegen Sie null plus eins Quadrat raus und so weiterdie Höhe hier ist einshier unten habe ichdas malhier und schreibe mit Radius einsum den Ursprung in der Extensionsebeneund was ich gerne wüsste ist das Volumenwas ist das Volumenunterhalbdes Para Boliviensdas möchte ich gerne wissenwo man unterhalb des Barvolumensirgendwie ist es flach geworden?? er sie anherzlichem Malen willeinen Vulkankratermit Radius einsund ich wüsste gernedas Volumenwirklich des Gesteins hier das Volumen des Gesteins vom Vulkankraterrings herumdas könnte man jetzt ja mit XXL rechnen mit atheistischen Koordinatenwie das Ding von ebenIdeen hierdie Schreiben aufdie Schreiben auf zum Beispiel X läuft vonhinten minus eins bis davon plus eins und überlegen Sie sichwieder Y jeweils laufen mussfür jeden Wert von Xgibt es fürchterliche Formen der Quadratwurzeldie eindrücklich nervtstattdessen mit Polarkoordinatenich sage okay wies der mit dem Abstandvom Ursprung hierher und dem Winkel zur x-Achsewies mit den beidenkann ich die Flächegesehendas Integrationsgebietdiese Grundfläche kann ich die beschreibennunmöchte Integrierenüber herund ich möchte integrieren über Fiwas wären die Grenzenfür R und Phiundwelche Funktion wird integrierteigentlich ist das danndas Muster zum Ausfüllen von wo bis wo läuft viel von wo bis wo läuft er oder andersrum auch wieder jeweils mies geschickt istund welche Funktion wird integriertdie Frage müssen Sie beantwortenich möchte hier diese gesamte Einheitskreisscheibeab grasenmaximal von obendie gesamte Kreisscheibemöchte ich abblasendas heißt ich gehe die Radien durch von null bis eins von null bis eins von null bis eins von null bis ein er wird nie negativ das ?? jetzt bei einigen gesehenbitte bitte er nicht negativ er ist immernull oder mehr die Wurzel aus X fordert das Y Quadrat ist null oder positivdann der Radius fängt bei Null anund geht bis eins für die Einheitskreisscheibebei nullalle Punktebis Radius einsund dann die Winkeldie fangen zum Beispiel bei null andiebis zwei P alle Winkel von nullbis zwei Pioder alternativwelche anderen Dinge kann ich auch nehmengenau je nachdem wie dieser Ausdruck hier wird ist es leicht praktischer von Minus Babys die zu arbeitenimmer wiederPlatzdie Einheitskreisscheibekönne Aussagen unbefangen bei minus Pi annullund gehendes Plus Piist ?? dieselbe Figuroder sie fangen bei zweien vierzig Piano und Herrn bei vielen vierzig Pi auf ?? glaube dass das nicht gerade sehr effizient sein wird Hauptsache sie überstreichen ihr zwei Pinannte die gesamte Figur das ist dieser Ärger dass dieser Winkelja nicht eindeutigistsoan?? gab'sfragenwas denn der jetzt als Funktion rein kommtdas es ja nicht ganz so leichtnicht ganz offensichtlichebenfalls offensichtlich was da rein kommt in Cadiz Koordinaten kommt die Funktion dareinunter der ich das Volumen haben willda habe ich aber auchsalamimäßigkorrekt geschnitten irgendwie ein Indikationsgebietdas ich soauf die groß Schneidemaschinelegen oder soda kann nichts schief gehenjetzt bin ich aber in Polarkoordinatendas macht das ganzeschwierigerich gehe alle Radien durchdir alle Radien durchund dann gehe ich alle Winkel durch?? sieht das dann ja aus was ich kriegenkein Millimeter PapierSonnenlicht sich so eine Figurunterteilt nach Radien und winken den Winkels zwar stimmten die Vorsitzende mit ein Grad Schritten durchdas in lauter solche Strahlen kriegen aus dem Ursprungund sie gehen den Radius in Millimeterschrittendurchdie so eine Figur sein Polardiagrammeben?? und der Ärger istdas diese Flächen die ich hier kriegewenn Sie hier den Radius in Millimeterschrittendurchgehenund den Winkel in Gradschritten durchgehen den sie dass der Radius hier ineine relativ kleine Fläche erzeugte eine Millimeter zur Seite erzeugt jede kleine Fläche hier draußen solch derselbe Schritt im Radius eine große Flächedas muss man berücksichtigen?? das hatte ich in den alten Videos vorgeführt das ist ein Faktor eher der hier noch dazu kommt was ist dieserominöse Korrekturfaktorsie können nicht einfach die Fidi errechnendas wäre falschweil siedann so tun als ob alle diese Flächenstückchengleich groß sind sind sicher nicht die äußeren sind viel größer als die inneren ?? ein Faktor eher dazusieht man auch an den Einheiten schon dass es ohne den Faktor ?? nicht gehen kann wie sehen Sie das an den Einheitenam besten einfach an was hier für diesen Teil alsEinheit rauskommen muss Quadratmetergroße Fläche sein diese Fläche wird mit der Funktion in die Höhe multipliziertdiese Fläche muss das sein hier müssen Quadratmeterstehen MeterMeterQuadratmeterohne dass er haben sie keine Quadratmeterfür die Physiker ist es ?? sofort ?? gehört ein er hin man das Problem ja das Lösen der vorne muss ein er hin was sie danach nicht wissen ist ob das drei er sind oder vier er oder zweiundvierziger aber des ehrlichen Inhalten des Volumens wirklich einfach nackt ein Faktor Erde dazugehörtund rechnen sie nicht das Volumen außen in irgendeinen Blödsinndavor kommt unsere Funktion die zu integrieren istX Quadrat plus Y Quadratdas dann aus was für das Volumen seindie gerade wie ebendie DDR oder andersrumje nach dem Biss geradegut passtdie Funktion die zu integrieren ist und dann kommt eben auch dieser KorrekturfaktordazuähmBrigadeebene sind Vorsicht mit dem Korrekturfaktorwenn sie erstdas integral über DR bilden und dann das integral über die Viehweltendann gehört der Korrekturfaktornatürlich innen reinsie können Korrekturfaktornicht außen reinschreibenhier ist das integral über er ja schon erledigt wir haben kein R mehrals die dass er hier quer in der Gegend und keiner kann was damit anfangenals es ist am einfachsten zu machen die Physiker das gernenehmen sie immer RTR zusammen als ein Blockwerde erdann kann es sich schief gehensodas nach den Vorbemerkungenandas integral sieht etwas unhandlich aus X Quadrat Y Quadrat eher Fiwas machen sie mit X Quadrat plus Y Quadratdas ist der Sinn der ganzen Sache hier steht also eher QuadratX oder Position Quadrat ist er Quadrat und so weiter und so weiter rechne das mal aus der sollte jetzt gradlinig seinderdie Frage aufkam also das Internet durch den Trick die Funktion die zu integrierenistdie muss ich in Polarkoordinatenausdrücken als bisher nicht integriertwie hängt X von R und Phi abgehängt Y von R und vierwenn sie gar keine Chance sehen hier dann schreiben Sie im Xmit Polarkoordinateneher mal KosinusPhiQuadratund Y mit Polarkoordinateneher mal SinusfiquadratPythagoraszusammenfassengibt er Quadratodersie nehmen direktPythagorasX hundert und siebzehn Quadrat ist eher Quadrat als die Funktion die ich integriere die Musik natürliches überlagernhinschreibenwas haben wir Ihnen steht R hoch dreidie Vieh von null bis zwei Piund außenvon null bis einsTRR hoch drei ist ja für dieses Vieh integral eine Konstantehier läuft der Winkelvon null bis zwei Pi aber eher hoch drei ist eine Konstante was kann ich also mit R hoch drei tungenau die R hoch drei Komma natürlich damit raus ziehendann steht Ihnen das integral von null bis zweiPieinmal die Fi White habe ich immerhinnull bis eins das integral von null bis zwei Pi die PhiR hoch dreiDRals seien sie von diesem integralkönnten jetzt ?? stammt und so hinschreibenViehals Stammfunktion von null bis zwei vier des Yuppie sind deine Stammfunktion zu machenaneine Funktiondie von null bis zwei Pi den Wert eins hat hier steht einmal die vielendiese Fläche ist einmal zwei Pi hier kommt zwei Pi rauswas ich wieder vors integral ziehen kann und dann habe ich da dass es zwei Pi mal das integral von null bis einsR hoch drei DRRasierschaumFunktion er auch vierViertel von null bis einszwei null bis einsbekriegen ja so ein viertel minus null vierte zwei Pi Viertelzwei Pi Viertelmacht die halbeTierhaltung für dieses Volumenanseine die Czechdie halbe womit können Sie dieses Volumen mal vergleichen und die Idee zu kriegen ob die halbe sinnvoll ist womit vergleiche ich das hier malkorrekt Vergleichsvolumenwäre ein Zylindermit Radius einsein gerader Kreiszylindermüssen offiziell seinein gerader Kreiszylindermit Radius eins und höher einsund der hat als VolumengrundflächePi mal eher Quadrat also Pi mal Höhe mal einst der das Volumen Pibesagendie Fläche unter dieserunter dem Apologetdie Fläche unter dem Parallelpolizistnur die Hälfte davonLustigerweiseschneidet das Favorit also anscheinend die Hälfte wegist leicht etwas überraschend weiterscheint der in der Mitteweit RuntersbacherPolizeisehr weit runter wurde ich für das ausgeglicheneSzene Mitte so schnell so weit runter schneidetschön formulierten Ring der ausgeschieden mit der Außenseiteviel stehenbei dem größeren Radius außen bleibt viel stehendas wie ich das wieder auf die weiter außen ich was abschneidenur von oben gucken wir weiter außen ich was abschneidenumso mehr Volumen bleibt übrig wenn sie ihnenso eine Schicht abschneiden hat ihr relativ wenig Volumen außen kriegen sie mehr Volumen das gleicht sich aus also lustigerweise die Hälfte des Zylinders das Volumen