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18E.5 Beispiel für Laplace-Rücktransformation


CC-BY-NC-SA 3.0

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dieLeertaste Summation rückwärts wenn ich weiß das meineClass transformiertefolgende Funktion istes plus fünfdurches hoch dreiplus zwei Swas ist dann das Signal gewesenklein Ypsilonvon T es käme ihr zum Beispiel bei Lösen von der Zahl Gleichung mit einer passioniertenraussie würden das erhalten Nutzer von S groß selbst ?? es ist irgend eine rationale Funktion typischerweiseund hättest rückwärts an die Frage was weitergeleitetwirklich die Lösung einer Differenzialgleichungendas klein Ypsilonvon TzuHause die Polstellenwurde der Nenner null und erzählen nicht nurgenauer müsse man sich die Zerlegung des Zählers und einer Seminarfaktorenangucken wir sehen gleich wie sich das zerlegteich gucke alsoBeistrich der Gattin Pol stellen ich gucke danach wo ist es hoch dreiplus zwei es gleich null den Nenner möchte ich in Linearfaktorenzerlegen Beistrich ist auf der linken Seite es mal es Quadrat pluszweiwann wird das gleich nullwenn es gleich null ist oderwann wirddas nullSummean Partialbrüchenund zu viel soundsoviel soundsovielauf der rechten Seite brauche ich dieselben Pol stellen wir auf der linken Seite er sich jetzt nach der Zerlegung in Linearfaktorenvorstelle bei nullich habe Polstelle beiplus die Wurzel zwei ich habe Polstelle bei minus I Wurzel zweidie Baustelle bei null auch ein auf der rechten Seite der ?? wollte dabei nur macht zwarPolstelle erste Ordnung bei null macht okay irgendwas durch es ich weiß ich wie viel davon aber irgendwas sich jetzt auch einen auf der rechten Seite der ?? Bus Silber I Wurzel zwei machtzu viel durch es minus I Wurzel zweiweiß ich wie viel davon auf jeden Fall nicht nur mal das sondernirgend ein Vielfaches davon positiv oder negativ und ich brauche Polstelle bei es gleich minuszweiist auch so ein Polstelle erster Ordnungsverbrauchso an das ?? Dragons habe ichalso allein wegen der Polstellen ist schon klar dass sie die haben müssenjetzt bestimmt man ABCvielleicht sicherheitshalberzu Erinnerung gerade noch mal das anders wäre zur Erinnerungwenn sie sowas hätten wieimmer sowas S Punkt fünfdurches mal es minus drei ins Quadratin den hinteren Teil des es muss ?? Quadriereneinfache Polstelle war es gleich null so was den BA durch es undurchschaubar weiter die durch Ästemit Gleise sind unsere zwei anderen Konstantenhabe ich hiernur Polstelle zweiter Ordnung?? will eine zweifacheBruchstelle eine Polstelle zweiter Ordnung bei ist gleich drei ?? wartet man ja okayes gleich drei dann muss ich also ein Ausdruck hier habendamit derhinreichend schnell explodierteine Stelle es gleich dreijetzt fehlt aber im allgemeinen noch waskönntesein das ich hier bei dieser Polstelle zweiter Ordnung noch eine Polstelle erster Ordnung informiertals Partialbruchda müssen sie vorsichtig seinalso der gibt ihnen die richtige Sorte an Wirklichkeitsozusagenwas könnte sein das ich dennoch drin verbirgtsie erste Semesterpartialbrüchemit Polstelle höherer Ordnung habenmüssen Sie damit rechnen das dann entsprechend Partialbrücheniedriger Ordnung ?? vorkommtwenn hier stünde hochdrei zwanzigAngebote sein zwanzigfache Ordnung dann hätten sie denaber vielleichtauch mit der zweiundzwanzigund so weiter und so weiterbis runter?? bereits jetzt darüberals Konstantebis runter zues minus drei erste Ordnungvorsichtig seinDetailhandel nicht ?? Punkt sein erster Ordnung kein Dramadas ?? zu Erinnerung bestimmen Sie ABCerfassensowie auf der rechten Seite zusammendas hier links der Nenner ist ja schon der Hauptnenner es mal es minus I Wurzel zweiS plus IWurzel zweiden erstenmuss ich mit es minus I Wurzel zwei und S plus I Wurzel zwei erweiterngroß I Wurzel zweiden zweiten muss sich mit S und S plus I Wurzel zwei erweiternund den dritten muss ich mit SOS minus I Wurzel zwei erweiternjetzt habe ich zwei Brüche links rechts mit selben Nennerdie sollen für alle es gleich seinKomma welche Zeile sich einsetze soll ?? sich dasselbe rauskommenbei gleichen Nennermüssen die Zähler auch gleich sein ein Liebesliedzählersman nur da gleich sein oder in denen nicht nur das Komma was ergibt sich dann auch dass sie drei Stellen dann auchnoch dabei sein müssen als es muss geltendass es plus fünf für alle es dasselbe istwie das hier Zähler steht am Markt das Gemetzel ausrechnenPunkt es minus I Wurzel zweimal S plus I Wurzel zwei?? schon dass es bei der ?? zweiplusB malEsperantosiwurzelzwei esund hinten bei den C haben wires Quadrat minus Ezweitesdas muss gleich sein für alle esschon jetzt sich dazumathematisch muss man schon dazu schreibenwas Lern ich jetzt über ABCKoeffizienten Vergleichzum BeispieldreiGleichungen in für den Koeffizientenvergleichwie viele es Quadrathabe ich links rechts wie viele es habe ich links rechtswie viele es hoch nullKlammer zu such eins ersucht null habe ich links rechtslinks haben sie null es QuadratundAgroß Bgroß Ces Quadrat rechtsdie Summe aus A und B und C muss also null sein damit rechts kann es Quadrat Beistrich bleibenes noch eins links haben sie ein Esso einsrechts haben sie hier keineshier haben Sie I Wurzel zwei Bund hier haben sie minus I Wurzel zwei CKlammer zu links und rechts gleichviel es habenfünf es Wochen null auf der linken Seite so viel brauchen wir auch rechts Essen zwei Armnie hat alles Nest drin oder soll es Quadrat hier auchdas ist allesdrei Gleichungendrei lineare GleichungenEscobar bestimmensofortEis also fünf halbebisschen ekliger?? noch zwei weitere Gleichungen dann eben nicht der bleibt abermals steheneins ist gleichI Wurzel zweiBgroß IWurzel zwei Cund hier oben kann man Haarausfall von null ist fünf halbeplus Bplus Cwie bestimmen Sie B und Cerkennbar jetzt jadieUnart sie auflösen da oben einsetzenoderwas mir gerade etwas geschickter vorkommtwenn sie dieseGleichung rechnen nehmen Komma die zweite wenn sie die durch die Wurzel zwei teilen einst durch die Wurzel zwei ist alsoB minus zehnBeistrich RB minus widersteht B plus C können Sie die Summe aus dieser und dieser Gleichung bilden dann SC wegund sie können die Differenz aus den beiden bildendann SB wegist vielleicht etwas freundlicherimmer nur die unteren beidendie Summe der unteren beidenBeistrich der einst durch die Wurzel zweiplus null ist gleichist die Summe der rechten Seitenfünf halbeplus B plus B plus zwei Bminus C Pluszeichen C Feldwegwar die Differenzdie obere minus die untere damit immer noch eins durch die Wurzel zweiwohlgleichdie obere minus die untere also minus fünf halbeBminus B fällt weg minus zehnminus zehn bis minus zwei C dann kann ich auflösen was B und C warenB ist dann alsofünf ?? bring ich rübereinst durch die Wurzel zwei minus fünf halbedurch zweiein halb durch eins durch die Wurzel zwei minusfünf halbedas ist unser Bunser Canalog dazudie minus fünf halbe Räuber bringen entweder einzig I Wurzel zwei plus fünf halbeetwas ungemütlichdas ist gleich minus zwei Cich teile durch minus zwei minus einsdurch zweidas ist siedamit kann ich jetzt ABCund damit kann ich sagen meine Class transformiertevon es war alsozurück erinnernABCdadurch SB durch es minus I Wurzel zwei C durch S plus I Wurzel zweierkennen ABCals fünf halbehalbe durch esplusPunkt wieein halbeins durch??durch es minus I Wurzel zweiPunkt nun kommt sieminus ein halbeins durchWurzel zwei plus fünf halbeS plus IWurzel zwei?? gucken über das wirklich bei den mittleren minus sie beim letzten plusMinus übersetzen plusPunktdas ist die Partialbruchzerlegungmeiner ablasstransformiertendes Gerichts zurück transformierenjetzt wissen Sie was klein Ypsilon von T istAsus klein Ypsilon von T trugen sie in ihrer Tabelle nachsoundsoviel durch es was sagt die Tabellediese hier was sagt die Tabelle dieser letztlich aber sei die Tabellegeradebeimersten Hand in der Tabelle weiß wie einst durch es wird zur einsPC Leertaste und somit einer Funktion bilden die bei null eingeschaltet wird das meisterliche eins drei Klammer zu und über nur eingeschaltet wird auf die Höhe einesKrise einst durch es rausmit jährlich fünf halbe davon fünf halbe steht hier vorne eigentlich mal die Funktiondieser Zeitpunkt Null eingeschaltet wirdPunktsei's führt sie größer gleich Null denn für die kleiner als null soll mein Y klein Ypsilon sowieso null seindas es der erste Teilhier für den nächsten ?? guck ich mir in der Tabelle an einst durchSplus Adann bei meiner Originalfunktionexponentiell Abfall die hoch minus Amalteewechselte Abfall wenn dieses A eine positive reelle Zahl ist diese OS ist es aber keine positive reelle Zahlgilt trotzdemhier kriege ich also das ein halb mal Klammer auf fachekleines S sind zu schreibenmaldie hochminus und unser A ist jetztminusI Wurzel zwei also plusdie zu zweiTund die hinten dann analogwas hier steht minus ein halb was in der Klammer stehtund spreche Klammer mit dem minusreklamierteplusund unser A ist jetztdie Wurzel zweialsominusThaben wir dieses Originalsignalbekommenwenn sich das Schaf anguckendiese beiden hinteren Thermeaus Komma der höchstwahrscheinlich mitmachenbildenjedochfür sie wurde zwei T und ihre minus übers zweite die beiden schreien danach irgendwas mit simsen groß loszuwerden über Eulerdas heißtman wird wohl irgendwie hinkriegen der See entstehtsoundsovielmal der Kosinusvon Wurzel zwei T die Si geht der dann in Euler Weg Person zu viel mal der Sinus vonWurzel zweiteDisplay auch viel freundlicher wenn das der stünde statt der Express davon zu mit immer mehr Exponentendiese Zahlen wieder vor das muss natürlich eine zahlenden werden alsoin derEuler Formel wieder großes Bussi Sinusaber dieses ihm als Sinus muss ich mit diesem nie was sie vorne drin steht so nett kombinieren dass sie wieder reelle Zahl stehen das Signalmuss natürlich reell gewesen seinKomma das macht sie wieder virtuelle Zahl stehen dafür generelle Zahl stehen und alle Gies müssen rausfallenund das Wesentliche hinschreiben müsste Kosinus plus I Sinus und Kosinus minus I Sinusso?? sie voll auf den Holzweg geführtes wird man nicht so machen man könnte so gemacht haben Komma wird es nicht zu machen offensichtlichdas wird ein Wahnsinn seinmuss im ersten Schritt etwas vorsichtiger sein dann geht das viel eleganterich mache hier garkeine Partialbruchzerlegungim komplexenPartialbruchzerlegungim reellich gucke mir nur die Rebellen Pole an wenn ich nicht unbedingt anders mussKomma sind noch ?? S plus fünfzig ersucht drei plus zwei esbesserselbes Ergebnis dann aber viel effizientermeine Class transformierte wares plus fünfdurches hoch dreiplus zwei esmir besonders die Polstellen im Wellen sindes gab nur eine Polstelle im Wellennämlich besgleich Nullmuss mit Komplexe gehen für andere PolstellenSie Nummer guckensiehe noch mal gucken muss sich ins komplexe gehenum noch genügend andere Polstellen zu findenim ideellen bleibt es so wie es machbar die Partialbruchzerlegungauchkriegt man aber andere Partialbrüchesie kriegen einen partial Bruch fürdie einfache Polstelle bei ist gleich null das jeweilige S plus fünfdurches mal es Quadrat plus zweigerne einfache Polstelle es gleich nur eine Polstelle erster Ordnung Beistrich nullund was sie aus dem vergangenen Semestermitgenommen haben sollensie keinen jetzt hier einen reellen partial Bruch hinschreiben mit es Quadrat plus zwei Männer als die nicht komplett in den ja Faktoren zerlegen sondernso stehen lassen quadratisch stehen lassen müssen sie aber aufpassen beim Zählerentsteht jeweils wieHaarmal S plusJnehme jetzt diemit Essig zu verwirren wird also drei Konstanten G H und Jund den Bandzählermuss ich eben aufpassenBeistrich ist nicht nur eine Konstante stehen zwei Konstantendas ist das Körnchen Salzwasser schlucken muss sie ganz im komplexen machen dann wird es öfters mal fürchterlich zu rechnenoder sie machen diese Bands auch zu den Timbre Ellendamit sie hier für dieses Quadrat plus zweiso ein partial Bruch in Schreibenmit zwei Konstanten im ZeltlagerKomma jetzt zusammenfassen?? einer bleibt ja es males Quadrat plus zweineue zusammenfassenden erster weiter mit es Quadrat plus zweiden zweitenerweitern mit Swas lesen Sie jetzt ab für G und H und Jzum BeispielKoeffizientenvergleichoder Werte für es einsetzen oder ganz hinten weder entwich das im ersten Semester immer vorführen?? guckt sich an wie schnell ein bestimmter Bruch hier gegen unendlich geht man ?? ganzrasch im RF Koeffizientenvergleichsie gucken sich das Quadratan was die Koeffizienten von es Quadrathier oben ist der Koeffizient von es Quadrat nullhier unten ist der Koeffizient von es Quadrat Gplus Hich habe diese ganzen Zwischenschritte nicht mehr hin wemdas soauf einen Schlagdiesersoll leicht dem sein für alleesbis auf die Polstellendeshalb sollen die beiden Zähler gleich sein ?? den gleichen Nenner und die müssen dann sogar für alle es gleich sein wirst ?? Kurse vergleicht diese nur es Quadrat drinnenhier sind G plus H es Quadrat trennenesauch eins sind Rennen um einerund hier wie vieles sind hier drinnen da keinerdort mal Seins ist gleich J und es hoch nullfünf es auch null sind oben drin und hier sind zweiKiUnterton ist landesweit zwei Kitrennenan es hoch nullist doch alles viel freundlichererfahren also dasJ ist gleich einsG ist gleich fünf halbeGeste fünf halbe dann ist also H gleich minus fünf halbe?? und können das zusammen schreibenwas ist also meine Class transformiertedie mit Partialbrüchenhinschreibendie durch es also fünf halbewie eben aber jetzt andere Teile freundlicher geschriebenund zu viel durch es Quadrat plus zwei nämlich minus fünf halbeSplus und J isteinsso sieht das jetzt ausund dass es etwas schönerzumzurück übersetzen und zusammenfassenwas es jetzt dieZurückübersetzungin das Signal Y von T den ersten hat aber schon fünf haben wir das einfachdas man sie aus dem zweitenso das ?? Gemisch aus Sinus und Kosinus wenn sie haben es durch es Quadrat pluseine Zahl um ?? ins Quadratwird Straußgroßes Omega Thema drückt Translation das ist der erste Teil ihr Sohn zu Firma lässtund beim zweiten Teileine Konstante durches fördert diese Konstantins Quadratdieses eins schreit danach mal einen interessanten Zeitwird zum Sinus werdengerade ?? sich das auf die Schnelle überlegen kann ich hatteden alten Liedes eine Herleitung die ganz anders ging Komma kann sich das auf die Schnelle überlegen was passiertwenn sie den Einnehmen plus SI fache vom andern esdurch es Quadrat plus Omega und das Vielfache von dem anderen die mal wenigerdurch es Quadrat plus Omegadann müsste ja rauskommenKosinusOmega Tplus I Sinus vermehrtedas wäre die Fragekann das gelingendenso nehmen wir es Bussi vom zweitendann müsste Kosinus groß I Sinus rauskommenmit anderen Worten es müsste wie hoch die Homöopathie auskommenwie können Sie die beiden zusammenfassenderhobensie das es wirklich ihre Omega Tee istkönnen Sie die beiden zusammenfassendiefassen die auf einen Hauptrechner zusammen S plus die Omega durch es Quadrat plus Omega Quadrat die auf einen Hauptnenner bringen und der Trick ist jetzt den Nenner zu zerlegen sie lassen den Zähler stehen es Bussi Omega und den Männern zerlegen sie in S plus I Omegamal es minus I Omegahängen sie an der dritten binomischA plus B Mala minus Birgitta Quadratminus B Quadrat A Quadrat das es Quadratminus B Quadrat PSI Omegaminus I QuadratOmega Quadrat mit Essigwasser des plusOmega Quadratjetzt kann ich kürzen den gegen den besteht also einzig es mir sie Omegaweiß ich es mir sie Omegadavon weiß ich die Rücktrittsformationeinzig es müsse Omega es nämlich schlicht und ergreifendihre Omega Teehat beieins durch S plusARichter Translation?? arbeiteals wenn sie den Rücken zu mir wenn sie wirklich ihre Omega Tdas ist die Summe aus den beiden ihre Omega These so aus großes I Sinusder Schein fusioniert zu haben dass wir auch ?? und ich muss das herleiten kann was diese Tanzformationsind oder wie Kurses und SinusVerfassers vermehrt werdenflussabwärtsim Blick ich hoffe sie jetzt auch wenn sowas wie die soundsoviel man es Person zu viel durch es Quadrat Person zu viel müssen sie dann aha ein Gemisch aus Sinus und Kosinusumsetzen diese raffinierte aber zerlegenPluszeichen reinschreiben sollman sie gerade mal das jetzt wirklich als Gemisch aus großes O Sinus zu schreibenist etwas eklig hier mit dem Omega da obengeradediezweite unten signalisiert uns Omega istWurzel zwei oder minus Wurzel zwei aber positive Frequenz ist hübschernehmen wir also Omega gleich Wurzel zweiKosinusWurzel zweiTwenn ich das mache kriege ich einmales durch es Quadrat plus zweidieses hierich will aber minus fünf halbedavonalso minus fünf halbe Mal den KosinusUnze zwei Tdieser eins muss ich basteln mit dem SinusesQuadrat plus zwei steht unten es Quadrat plus zweialsoSinus Wurzel zwei Twenn sie da einfach plus Sinus Wurzel zwei T hättenwürden sie bekommen oben oder hätten sie haben müssen obenwusste zwei durch es Quadrat plus zweidamit unter Sinus wurde zweite ?? steht es oben stehen Wurzel zwei durch es Quadrat plus zweisind aber nicht wusste zweidurch es Quadrat plus zwei besteht eins wie es Quadrat Pluszeichen ein Faktor Wurzel zwei zu viel so hat sie Einzigwurzelzwei der vorder SinusRegion kurzes weibliches Fahrrad plus zweinicht Teil durch Wurzel zweite mit der eins steht das müssen raffinierte mit dem Sinus weiter um das Omega stehtso ist das viel hübscher als eben fünf halbe minussonst immer den großes Plus und sowie Martin Sinusist viel hübscheralswas würde eben hatten mit je hoch und so weiterKlar kann man es zusammenfassenKomma hat sie fünfmal verrechnet wenn man das tut also vorsichtigsie versuchen das Timbre Ellen hinzu kriegen eine rituellePartialbruchzerlegungzu machen offenen dass sie irgendwie Sinus und Kosinus dann wieder finden werden typischerweisemuss gleich eine Geschichte sich als ?? anmerken zu Partialbruchzerlegungfür ging an die die Partialbruchzerlegungsie gucken nach Polstellenauch nur Stellen im Zweifelsfallsehr verkürzen bevor sie Polstelle null Stellen habe sollte nochmals an allgemein zu Partialbruchzerlegungbei Hinweisewenn sie sowas haben wir X minus drei Mal X minus fünfdurchX minus dreiMal X minus fünfins Quadratmal X minus siebenBeistrich ?? ein dazu X minus neunPolstelle null null Stellen von dieser rationalen Funktionwas ist bei dieser rationalen Funktion mit den Nullstellenvon den Polstellenwohl stellen sie die Stellen an denen die Funktion tatsächlich ins unendliche läuft also nicht einfach nur ein Loch in der Kurve sondern sie soll wirklich ins unendliche Laufenssatzes ist keine Polstelleund Nullstelle heißt die Funktion musste definiert sein und null sein also was in die Polstelle passen die Nullstellen dieser rationalen Funktionhabenalso eigentlich nur eine NullstelleX gleichen neunist gleich fünf sieht so ausaber das ist ?? Definitionslückekann also keine Nullstelle sein und X gleich drei sieht auch so aus aber dessen Definitionslückekann keine Nullstelle sein nach dem kürzenschreiben ?? ist gleich neun vor dem kürzennach dem kürzenist X gleich drei sowieso schon keine Nullstellen Kandidat mehr sechster fünf es rechtlich mehr bei dieser FunktionPolstellenX gleich drei sieht Austin Kandidat finde Polstelleda die Funktion aber einfach nur Definitionslückewas ihr vorne kürzen können schlicht und ergreifend das es nichts BösesX gleich nach Messe Dinge X gleich sieben ist eine Polstellealle anderen sind endliche Zahlen wenn sie sieben Einsätzennur der ?? ist nur Teil sozusagen durch Null und alles andereist endlich das wird ins unendliche gehen das du undfünf ist auch eine Polstelleist gleich fünf wegen des Quadratsgewinnsgegendes ist gleich fünfter oben sie kürzen sehen sie dicht bei fünf wird der Wert von diesem Buch explodieren müssen zwei Polstellen eine Nullstelle das heißt man jetzt die Partialbruchzerlegungmacht für die Wasserrohrsättigungist nur der Legat wenn Sie Partialbruchzerlegungmachen ?? den partial Bruch mit Pohl bei fünfund ein partial Bruch mit Pulver sieben kein mit Po gleich drei S Anmerkung zu Partialbruchzerlegungsie gucken sich an wo sitzenwohl stellennicht nur Definitionslückeignorieren sie sie gucken einen Polstellewas ?? so machen können indem sie komplett kürzen exakt drei da kürzen ist der fünfterso zweitens Person NationalfunktionhabenX hoch dreiplus X verleiht minus sieben X plus fünfdurchX Quadrat plussechs X minus siebensich jetzt vorstellenokay jetzt versuche ich hier was mit Partialbrüchensoundsovieldurch X soundsovieldurchX minus dreiins Quadratplus soundsovielwas wir daran nicht funktionierenPunkt das nicht gehenPunkt das kann also nicht funktionierende Links geht gegen unendlich wenn X gegen unendlich geht X hoch drei durch X Quadratist der führende Terex?? drei wird gewinnen der geht gegen unendlich für X gegen unendlich der Herr geht aber gegen null tägig liegen und so weiter und so weiter und was haben Schicke alle gegen null sechs gegen unendlichdas kann nicht funktionierenwas muss ich tun bevor ich die PartialbruchzerlegunganwendePolynomdivisiondas Zeller Polynom durch das Nenner Polynomich habe nun Polynomdivisiondas was aus der PolynomdivisionrauskommtX Pluszeichen?? plus soundsovieldann gibt's ein Rest aus der Polynomdivisiondurch X Quadratplus sechs X minus sieben der Fonds mit der PolynomdivisionGesang das Zählerpolynomist soundsovielmal das Nenner Polynom das Ergebnis der Polynomdivisionplus einen Rest an den Rest müssen weiterhin noch teilen und sie machen die Partialbruchzerlegunghier hintendas ?? zweiten Warnhinweiswenn im Zählerein Polynom steht mit Gradgleich den des Nenner oder größerdann ist das Polynomdivisionangesagt?? kann die Partialbruchzerlegungfunktioniertdie fusionieren es für den hinteren Teilder Christus mit X plusirgendeine Zahl müssen sich überlegen welche Zahlen es führen diverse X hoch drei durch X