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04C.2 Bild, Rang, Kern, Defekt einer Matrix; lineares Gleichungssystem


CC-BY-NC-SA 3.0

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jetzt – sollten sie inzwischen auch den Defekt einer Matrix kennen Sie gucken sich diese Matrix an – eins zwei – drei vier – fünf sechs sehr intelligente Matrix – und – bestimmen mal folgendes – was ist das Bild also der Spaltenraum ist daneben was ist das Bild oder – der Spaltenraum – was ist das – was ist der Rang – dieser Matrix – was ist und dass es für heute neu der Kern – oder null Raum – dieser Matrix – und was ist der Defekt dieser Matrix – aber – noch eine weitere Kennzahl den Defekt – mal sehen bestimmen Sie diese vier Sachen ✂ Bild und Spaltenraum – was kann aus dieser Matrix rauskommen – wenn sie die – von rechts multiplizieren – sie multiplizieren – vom rechts mit einem Dreiervektor – und sammel jetzt zusammen ich multipliziere mit irgendwelchen – Dreiervektoren – mit allen möglichen – stell ich mir vor dreier Vektor modifiziert diese Matrix von rechts und Sande zusammen was dann rauskommt das wäre das Bild oder der Spaltenraum – uns – die meisten ?? hingekriegt – weiterhin – Komma aber nachrechnen sieht man das ist X mal eins vier plus Y – mal zwei – fünf plus sechs mal drei sechs – es haben sich hier – drei Vektoren – in der Ebene – den eins vier – sowas der zwei fünf wissen bisschen – Lacher – unter drei sechs – überlegen – ?? Desktop noch flacher wird Komma sie haben – drei Vektoren in der Ebene – die Frage ist welche Vektoren kann ich mithilfe von diesen dreien bilden soundso wie Martin erster sonst für meine zweite Person sowie meine dritten – jeden können Sie bilden es wäre der hinten sogar überflüssig – die ersten beiden sind nicht parallel – offensichtlich weil sie beiden Vektoren keine vielfachen von Anna sind – schon mit den ersten beiden können Sie jeden Vektor in der Ebene bilden – das Bild der Spaltenraum ist in diesem Fall einfach der er zwei – ?? keine kompetente Gleichung hinschreiben ist einfach der zwei alles – können alle Vektoren der Ebene werden – der Rang ist die Dimension – vom Bild – wie vieldimensional – ist das Gebilde was herauskommt – als der gesamte R zwei also ist der Rang zwei – Komma sofort den Defekt angeben – ich gehe mit drei Dimensionen rein – die Zahl der Spalten – ist drei – ich gehe mit drei Dimensionen rein – im gesamten R drei – ich komme zwei Dimensionen raus der Rang ist zwei – kleines D Defekt – drei minus zwei – drei minus zwei also eins – drei Reihen zwei raus – eine Dimension verliere ich in der Matrix das ist der Defekt – der Defekt – ist die Dimension vom null Raum wie viele – Vektoren wie viele Anführungszeichen – welche Menge an Vektoren wird von der Matrix zum neu gemacht Beistrich dass hinschreiben – sondern – sagen okay welche werden zu Null gemacht zum Nullvektor – gemacht – diese Menge an Vektoren die zum Nullvektor gemacht wird – und das ist der – Kern – oder null Raum welche werden an zu Null gemacht – und die Maßzahl dafür ist der Defekt – die Dimension – von diesem Kern – ist eins man weiß also es ist eine gerade – zwangsläufig an Ursprungsgrade – wenn sie null null null Einsätzen ging sie null null raus – es muss durch den Ursprung laufen – man weiß jetzt schon der Kern ist eine Ursprungsgerade – weiß ich es aber schon Klammer zu hier davor ?? hier ist es eine Ursprungsgerade – und sie bestimmen ?? welche gerade durch den Ursprung – das sein muss der Kern ✂ zwei Wege wie das Inger einmal der offizielle der auch theoretisch in hundert Dimension geht und einmal der schnelle Finanzier – in zweimal drei schneller hinkriegen kann – ?? offizielle Weg – ?? – ich gucke mir dieses Gleichungssystem – hier an – das sind zwei Gleichungen – X Komponente Y Komponente sind zwei Gleichungen und drei unbekannte – erwarte also das eine unbekannte übrig bleibt – typischerweise – zwei Gleichungen sind das – ein X plus zwei Y plus drei Z ist gleich null – ein X plus zwei Y plus drei – Z ist gleich null und die andere ist vier X plus fünf Y plus sechs Z gleich null – fünf Y plus – sechs ist gleich null – Komma eins und zwei – Versuche zu eliminieren – glaube ich am einfachsten zumindest – versuchen zu eliminieren Komma lassen das Z ist die Ober gleich mal zwei nehmen – einmal die eins dann haben sie zwei X – plus – vier Y plus sechs Z gleich null – ist ?? Nummer die zweite darunter – vier X plus fünf Y plus sechs setzt gleich null – und wenn ich jetzt – wirklich positive Zahlen ich ziehe von der zweiten Gleichung – zweimal die erste ab – von der unteren hier zweimal die oberste das ist ?? Komma die oberste – ?? unter die Oberjahrzehnt – vier X minus zwei Klammer zu also zwei X fünf Y minus vier Y sind nur noch Y – Z fallen Wechsel Wasser gemacht gleich null – also lerne ich – Y ist gleich minus zwei X – Y ist gleich minus zwei X – und – wenn ich das hier oben wieder einsetzen oder gucken ?? Oberbekleidung ist die einfachste – Deadline jetzt hier – da sind sich das wieder ein – dieses und das zusammen – und finde – ein X ?? eins davor jetzt kommt plus zwei Y zwei Y sind aber minus vier X ein X minus vier X – X – plus drei Z ist gleich null – also weiß ich sind Sie hier minus drei X – plus drei Z gleich null – minus drei X plus – drei Z gleich null – also weiß ich – X ist derzeit – sehr schön X ist gleich Z – waren – damit habe – X über – wenn ich X – gewählt habe weiß ich was Y sein muss und was was selbst sein muss – was haben wir also wir haben X Y Z – ist gleich – X – klar – Y ist minus zwei X – und Z ist – X – das habe gelernt – das ist aber nichts anderes als X mal eins minus zwei eins – die Vektoren die rauskommen – sind vielfache – von eins minus zwei eins – das ist unsere Ursprungsgrade – offensichtlich – alle Vektoren – die vielfache von eins minus zwei eins sind – der Kern – ist also folgende Ursprungsgrade – charmant ausdrücklich Lander mal eins minus zwei – eins das wird der Kern werden diese Ursprungsgrade – müsste jetzt eigentlich wenn ich streng wäre müßig einig gucken ob das auch wirklich ?? Lösung ist sie sie nicht die ganze Zeit nur von links nach rechts gefolgert ?? aus dieser Gleichung in – das Gefolge hat dann aus diesen beiden Gleichungen das Gefolge sicher die ganze Zeit nur von oben nach unten von links nach rechts gefolgert – ich weiß eigentlich nicht – dass wenn ich jetzt Z und Y so wähle das dann wirklich alle Gleichungen erfüllt sind ich müsste ein Licht einsetzen und nachgucken ob stimmt's aber – ich weiß es schon nicht sich eine Ursprungsgerade – das muss die seines kann keine andere seit wir können jetzt noch einmal sich als halber rückwärts gucken ob wirklich stimmt und einsetzen – wenn zum Beispiel ein mal eins minus zwei eins Einsätzen – eins – minus vier – plus drei ist nur stehend – in die unsere Gleichung einmal – eins minus zwei eins eingesetzt – vier mal eins – minus fünf zwei zwei vier minus zehn plus sechs mal eins vier minus zehnter sechs ist nur deshalb beglichen es ist diese gerade – der Kern ist also diese Ursprungsgrade alle vielfachen von eins minus zwei eins – so könnte man das im Prinzip vielleicht etwas systematischer – auch mit hundert Dimension machen – es geht hier aber noch viel einfacher – sollten einige gemerkt es geht hier noch viel einfacher – sich angucken was hier steht – ist Dieter Skalarprodukt – der Vektoren eins zwei drei – X Y Z – sich hier Rechner ist ja – die erste Zeile mal die Spalte hier eins zwei drei Mal X Y Z – das gibt diese null da oben – vier fünf sechs mal siebzehn Z zweite Zeile mal diese Spalte gibt die null da unten – eins zwei drei Skalarprodukt – X interessiert ist null vier fünf sechs Skalarprodukt ist ?? vierzehntes null das heißt man Vektor den ich hier mein Vektoren die Suche stehen senkrecht auf ein zwei drei senkrecht auf vier fünf sechs – das ist die andere – Methode die man hier verwenden kann das ?? natürlich jetzt zufällig – ?? mit drei Dimensionen darein gehe – am – also was ich lerne ist das eins zwei drei – senkrecht auf meinem X Y Z ist – und das vier fünf sechs – senkrecht auf mein X Y Z ist – und für Dreiervektoren – habe ich das Vektorprodukt – dann geht es alles viel leichter – wenn das der Fall ist weiß ich das X Y Z – ein Vielfaches – sein muss ich ?? mal Mühe – weiß er nicht dasselbe vielfache Beben ist ein Vielfaches sein muss von eins zwei drei Kreuz – vier fünf sechs – so wäre das viel einfacher – Klammer zu Fall sozusagen – der drei Dimensionen ist das dann geht – hier das Vektorprodukt – und gehen zweimal – sechs sind zwölf – minus drei mal fünf zwölf minus – fünfzehn – sind minus dreißig zehn O das ist was anders als gerade – die zur Komponente Ion anfangen dreimal vier sind zwölf – minus – sechs – sind sechs – und DZ Komponente – und streichen oben anfangen einmal – fünf – minus zwei mal vier – fünf – minus – acht sind minus drei – geht auch alle vielfachen des Sektors minus drei sechs minus drei – wird sie das aber so aus – als ob das was anderes wäre eben ✂ hatten Wall vielfachen von eins minus zwei eins – wieso darf sie das nicht irritieren – genau sie nehmen Lander als das minus dreifache von mir am Hals wieder hin – ähm – dieser Vektor – ist in Gegenrichtung – von dem Vektor des Sehens an den Minuszeichen – dieser Weg Leerzeichen gegen von dem mit der dreifachen Menge – diesen Weg durch ?? nehmen mal minus drei dann haben sie den also wenn der – so zeigt sozusagen – anschaulich – wenn der so zeigt – sich dieser hier unten in die Gegenrichtung – und ist dreimal so lang – sie kriegen dieselbe Grad alle vielfachen von dem positiv wie negativ ✂ alle wieder von dem positiven negativ ist dieselbe gerade – bei diesem Spiel gegenseitig um Gleichungssystem – etwas zu lernen über Gleichungssysteme – wenn ich jetzt ein Gleichungssystem – habe einmal X plus zweimal Y plus dreimal Z ist gleich – irgendwas – und eine zweite Gleichung viermal X plus fünfmal Y – plus sechs mal Z ist gleich – irgendwas oder irgendwas anderes an den Jahres Gleichungssystem – mit – dieser Matrix drin – was weiß ich nun über dieses Lineal Gleichungssystem – über die Lösungen – dieses linearen Gleichungssystems – was ✂ bedeuten diese geometrischen – Aussagen jetzt für dieses Gleichungssystem – für die Lustbarkeit – bei diesem Gleichungssystem – kann ich erst darüber nachdenken – gibt es überhaupt eine Lösung habe ich eine Chance X Y Z zu finden – je nachdem was auf der rechten Seite steht das wäre also die Existenz – von Lösungen – ich ?? das ?? dazu gibt es – X Y Z – Frage bei Existenz nicht ob es genau – eine Wahl für X Y Z jeweils Gibson ich frage ?? überhaupt Mischung irgendwas zu finden – und das hat damit zu tun – was aus der Matrix rauskommen kann – können diese beiden Kleckse aus der Matrix rauskommen – das hat mit dem – Bild zu tun – steht hier etwas – was in dem Bild der Matrix ist wenn da etwas steht was nicht im Bild der Matrix ist kann es nicht rauskommen – und die Gleichung ist nicht lösbar wenn hier etwas im Bild steht – ist es Ihnen möglich dass das rauskommen – passen X Y Z und die Gleichung das gleiche System ist lösbar – also das Bild wäre mittels eines Bild regiert sozusagen darüber – ob dieses gleichen System lösbar ist ist Klecks hier – im Bild oder nicht im Bild – jetzt wissen wir aber – dass der Rang zwei ist – es kann alles rauskommen – was theoretisch rauskommen kann von der vom vom Format her das Bild ist der R zwei – es ist – immer lösbar dieses gleichen System ist immer lösbar – Komma ausdrücklich hier immer lösbar – weil – der Rang – von der Koeffizientenmatrix – gleich zwei ist und zwei ist die Zahl – der – Zeilen – können maximal mit zwei Dimensionen herausgehen – aus dieser Koeffizientenmatrix – und das tun sie auch – es kann alles rauskommen was theoretisch rauskommen könnte – also ist es immer lösbar – das ist die Existenz – und Existenz hat mit – Bild – und Rang zu tun – hat sollte man das noch mal – leichter Beistrich normaler hinter – schon aufgeschrieben Bild und Rang – oder Spaltsraum – und Rang – das hat was mit der Existenz zu tun ?? das Bild sagt genauer – was mit der Existenz passiert – der Vektor auf der rechten Seite die Homogenität – muss im Bild sein – genau dann sind ?? lösbar – damit absehbar schärfer – mit dem Rang kam sie eine Zahl wenn der Rang gleich der Zahl der Zeilen ist müssen sie geschenkt es ist immer lösbar wenn der Rang kleiner ist als die Zahl der Zahlen eins null – müssen Sie es ist typischerweise nicht lösbar – aber sie wissen nichts Genaueres sie müssen dann nur typischerweise – mit dem Begriff des Runs – das ist die Existenz – dann die Eindeutigkeit – ?? wenn es eine Lösung gibt – gibt wenn dann nur eine – oder haben wir gleich die ganze Familie – für das aufschreiben – waren – wenn – es – X Y Z dieser Art freilich nicht hin – gibt – gibt es da noch andere – finde ich mehrere Lösungen – und da ging's beim – Kern drum – wenn ich – wenn ich von diesem Gleichungssystem – mehrere – verschiedene – Lösungen finde – unterbelichtete Differenz der Lösungen – stellen sich vor sie haben noch eine andere Lösung – ein X quer schreibe ich mal plus zwei Y quer plus drei Z quer ist gleich – derselbe Klecks – vier X quer plus fünf Y quer plus sechs Z quer ist gleich derselbe Text – wenn sie nach andere Lösung gefunden hätten – können Sie die beiden Gleichungen voneinander abziehen die obere von der Obernazi in die unteren von der unseren Abziehen – auf der rechten Seite stünde null sechs Bindestrich sechstes Klecks – und sie hätten einen Vektor im Kern gefunden vier X querminus X Y Quersubstanzen – minus Z bereinigten – Kern – wenn es mehrere Lösungen gibt – die verschieden voneinander sind dann ist im Kern nicht nur der Nullvektor – Dankes – sie können auf jede Lösung ein Vektor aus dem Kern addieren und haben wieder eine Lösung – kann hingeschrieben was der Kern ist solch unnormal hinschreiben das war die gerade – aus ?? sehr gut – war – das war bei uns hier die Beraterlander – mal eins – zwei – eins das war der – Kern – nun – auf jede Lösung dürfen Sie so ein Vektor addieren und haben wieder eine Lösung – die Lösung sind also nicht eindeutig – ich kriege in diesem Fall immer eine komplette gerade – das sagt der Defekt – Defekt eins heißt – sie kriegen niemals ein Punkt als Lösung sie kriegen immer eine komplette gerade was eindimensionales – also – hier sagt uns – reingeschrieben – schafft da vorne hin – im – Kern und Defekt – sagen uns hier analog zu Bild und Rang – hier – nie eindeutig lösbar – bekomme – immer eine gerade – an Lösungen – schaffen über eine gesamte gerade – aus ist nicht Residenz zwei Lösungen haben oder dreizehn Lösungen haben – sie kriegen sofort unendlich viele Lösungen an komplette gerade immer den Kern der drauf addiert – können – sie irgend ein X Y Z gefunden haben was das hier erfüllt – immer eins minus zwei eins drauf addieren – denn wenn sie als Windows zwei eins haben kommt der Null raus sie ändern nicht die rechte Seite – und vielfache von eins minus zwei eins drauf addieren – das ist es – im wesentlichen zusammengefasst – Bild und Rang sagen was wir über die Existenz und gerne Defekt sagen was über die – Eindeutigkeit – das ist eigentlich die Lehre von den im Jahr Gleichungssystem