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K14 Torus, Volumen, Rotationskörper


CC-BY-NC-SA 3.0

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maldas Volumen eines RotationKörperszwar ein Torusein Reifenwichtigerdickeraufgepumpt der Reifenein Torusich möchte das derhier im Querschnittden Radius R zwei hat?? Querschnitt inzwischen wahrlich einmalproQuerschnittsollte den Radius R zwei habenund insgesamtsogar den RadiusR eins habenzur Mittellinie hier so zur Mittellinie soll der Radius R eins seinund aus der Mittellinie raussollte Radius R zwei seinwas hat der für ein Volumendes offensichtlichen RotationskörpernTorus ist der offizielle Name für dieses geometrischeObjektderexakt rundekreisrunde Reifenein Torusoder Donuts wenn sieorganisches Gebäck lieben dann ist das ein Donathein Torusähmirgendwas muss gedreht werden um irgend eine Achse gucken sich folgendes anso wird doch der Torus entstehenAbstandeher einsvon der x-Achseetwas mit dem DurchmesserR zweiso stell ich mir das vorso ist der Torusan Rotation Körperjetzt will ich das Volumen berechnen von diesem RotationskörperleichtKomma uns daran aber klarmachen wie wie das mit den Rotationskörpernfunktioniertwenn ich mir den Ursprung rein legedie neue Position meiner x-Achsejetztsehen sie dann okay das geht hier von minus R zweibis plus R zweiundjetzt ist es so das es anders als bisher nicht die komplette Fläche ist die zu der Figur gehörtsondern ich muss noch ein Teil abziehen von dieser kompletten Flächemuss ich den Teil unten abziehenPatrickwar glaube ich relativ offensichtlichKlammer zu zwei Funktionennicht mehr angucken mussfür den X wärtihrbestimme ich einmal den oberen Wertin den roten und Ami unten dann gleich den Grünendieser obere Wert hier?? ich gehe aus der null raus um die Strecke Xdieses hier ister zweier Stückchen hier ist der Radiusdes Torus wenn sie ihn durchschneidender Radius der QuerschnittsflächeR zwei?? kann ich das hier angebendas Stückchen hier ist dann alsodie Wurzel aus R zwei QuadratminusX Quadrat sowas in dieser schon mal gesehen beim Kreisüber die Dosis gegeben einiger Teddys gegeben ich suche die zweite Kathete das ist dasY hier obendie gesamte rote Streckewird sein eher einsPlus dasdas wird sein R eins plus die Wurzelzwei Quadrat minus X Quadratund hier unten der grüne Wertam unteren Endedieser Wertwird sein R einsminus die WurzelG dieselbe Streckenach untenminus die Wurzel der zwei Quadrat minus X Quadratder Hilfemüsst es aber eigentlich gehen jetzt haben sie eine Funktionin Rotation Körper bildet die rote?? von der bestimmen sie das Volumen des Rotation Körpers sie haben andere Funktion die grünevon der bestimmen sie das Volumen des Rotation Körpers ziehen die beiden voneinander abPatrick ist Integrale nichtsofort auszurechnen sondern den Ball zusammenzufassensollte zwo stelligprobieren Sie das malnochmals im Volumen eines Rotation Körpersich habe eine Funktionvon A bis Bsoll mir sagenwas der Radiusdes Rotation Körpersan einer bestimmtenStelle X istund das Volumen ging dann in dem ich quasiBierdeckelverschiedener Größe auf summierendas Volumen jedes Bierdeckels auf Summierung von A bis Bjeder Bierdeckel hatden RadiusF von Xist ja glaube ich Ihnen in den Vorlesungen ist er von X egal was er von X eine Stelle X haben wir den Radius R von X was ist das Volumen so eines Musicalsder Dicke D X das ist diese Dicke die X mal die Fläche von dem Bierdeckel und die Fläche istoptimalF von XQuadrat wurde er von X ?? glaube ich bisher das die Rolle vielleicht heraussodas wäre das Volumen eines Rotation Körpersder immer bis zur Achse durchgehtgibt's keinen eine Bohrungdann weggelassen wird das muss ich bei meinem Torus aber innen drin was aus Bohren das drei jährig einfach ich bestimmedas Volumen diesesfür für diese rote Flächedass wir dann zum Schluss eine Scheibesoeine dicke Tabletteso sieht das aus das wäre das passiert was rauskommtwenn sie das gesamte rote Volumen nehmen und davon ziehen sie abwas sie kriegen wenn sie diesesgrüneStückdrehen dann haben sie hier quasi seineBohrungraus gerechnet was ist der Bohrkern den sie da rausgebohrt haben den möchte ich abziehen das es mein Gedanke hiernunalso die Differenz zweier Voluminameiner Fouls gleichdie Integrationsgrenzenwaren minus R eins und plus R einsso das positive Volumen das rotediese FunktionQuadrierenR eins plus Wurzel zwei Quadrat minus X QuadratsquartierenR eins plus WurzelR zwei Quadrat minus X Quadratdas ist meine Funktion für den roten äußeren Tag verlierendas ist das Volumen dieser ganzen dicken Scheibeund ich ziehe ab was ihnen ausgebohrt wirdBeistrich erinnern minus in derFunktion R einsminusdie WurzelR zwei Quadrat minus X QuadratsquadratTXdie Beinintegralekann ich zusammenfassendPi mal Integral von minus R einsbis plus R einsgroß Klammer aufDiscomuster passiertR einsQuadratminusR einsQuadrat nicht rausdass er damiter BinominalformelzerlegenR eins Quadrat plus zweimal R eins mal die Wurzel plus die Wurzel ins Quadrat locken genausoR eins Quadrat minus R eins Quadrat nicht rausder nächste Termin ist zweimalR eins mal die Wurzelund ihr kommt minusminus zwei Mal R eins soll die Wurzeln habe also viermalR einsmal die Wurzelund hierhin kriegen weil dann die Wurzel ins Quadratminusdie Wurzel ins Quadrat B Quadratminus B Quadrat fällt schon wieder weg sind die Klammer hier ganz ohne Grund gemachtda sind wir nundurch die ganze Zeit am Blödsinn geschrieben die Integrationsgrenzennatürlich Erz zweiminus R zwei bis plus zwei?? und wieder mal im Original gucken Integrationsgrenzenminus R zwei bis plus R zweidas muss überall erzfreiseinzwei zwei zweisodie vier eins gleich noch rausnehmen vier Pi eher eins mal das integral von minus zwei bis plus er zweimaldieWurzel aus zwei Quadrat minus X Quadratdie XwelcheFigur wird hier wie integriertgenaubevor sie jetzt irgendwie grübelnwohlriechende Stammfusion kriegenerst mal nachdenken was das ist das hier ist ja wieder eine Funktionwie ein Kreis beschreibtein Halbkreismit dem Radius R zwei von minus R zweibis plus R zweidann haben Sie hier an der Stelle X die Höhe WurzelR zwei Quadrat minus X Quadrat das heißt für dieses integral stimmig keine Stammfunktiondas wäre ja Wahnsinnich gucke mir einfach an was es bedeutetdie Fläche eines Halbkreisesdas machtvier Pi eher einsund jetztdie Flächedieses Halbkreisesdas wäre die Fläche des gesamten Kreises davon die Hälfteund ich bin bei zwei die QuadratR eins Erz zwei Quadratokay dahinter jetzt demTorusum das Volumen des Toruseinige Leute haben schon ganz anders probiertund auch das richtige Resultat Rausgericht absurderweisekann man dasviel einfacher rechnenich hatte in den alten Videos diese Goldenchen Regeln vorgeführtwas man auch rechnen kann istund das Volumen zu bestimmensie bestimmenden Schwerpunktder halben QuerschnittsflächeBeistrich der hierüberlegen sich wo der Schwerpunkt der halben Querschnittsflächeistdann überlegen Sie sichwelchen Weg der Schwerpunkt zurücklegtbei der Drehungwenn Sie jetzt diese rote Fläche die halbe Querschnittsflächemit diesem Grünwegmultiplizierenhaben sie auch das Volumen absurderweisefertig vorgerechnet in den alten bietet es eine der Goldenchen Regelnwelchen Weg macht der Schwerpunktmalwie groß ist diese Querschnittsflächeund wenn sie das für diese Figur machensehen Sie die Querschnittsflächehiermusste der halbe Querschnitt welche sein breiter Massen die Querschnittsflächeist die Fläche dieses Kreisesmit Radius R zwei also Pi mal eher zwei Quadrat ist die Querschnittsflächeder Schwerpunktder Querschnittsfläche ist klar es ist der Kreismittelpunktundder Weg des Kreismittelpunktist ein Kreismit dem Radius R einsalso ist der Wegzwei Pi malR einsdasselbe Resultatzwei die Quadrat eher eins mal eher zwei Quadratund hier zweidie Quadratsmeileenthält zwei Quadrat also das heißt das können Sie direkt hinschreiben mithilfe dieser politischen Regelwo ist der Schwerpunktwelchen Weg liegt der Schwerpunkt zurück mal die halbe Querschnittsflächeähnliche Regel gab's auch für die Oberfläche man guckt sich den Schwerpunkt derKurve an die Oberfläche bildet und ihr gerade jedenvon ihnen noch einen dritten Weg gelernt wie man das hinkriegen kannden finde ich total lustigdass er mir ganz klaransie nehmen den Torusund schneiden ihnenwie Sonnewurstähm ganz viele Stückesoin ganz viele Stücke und jetzt legen Sie diese Stücke einfach nur raffinierthintereinandersie nehmen das Stückchen hierunterlegen sie das nächste Stückchenfalsch rum danebenbenehmen sie diese Stückchen das legen sie wieder richtig rum daneben dann nehmen Sie diese Stückchen deswegen die falschrum daneben und so weiter und so weiterund zum Schluss ist das Dingzwei PiR eins vor der großen zwei Pi R eins lang und die Querschnittsflächeist Pi mal eher zwei Quadrat