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02E.1 lineare Abbildungen von geometrischen Vektoren und von Funktionen


CC-BY-NC-SA 3.0

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sein – Vektorraum – bei der dadurch charakterisiert – das man Vektoren addieren kann und bekommt wieder Vektoren raus und ?? Vektoren mit Zahlen multiplizieren – kann und bekommt wieder – Vektorenhaus – gibt es eine besondere Art an – Abbildungen – die das respektiert – Abbildungen – von einem Vektorraum nach dem anderen oder vom selben Vektorraum – nach sich Selbstabbildung – die das respektieren – denen sich lineare Abbildungen – lineare Abbildungen die mit dieser Summe von Vektoren verträglich sind um mit dem Produkt bezahlen verträglich sind wird sich eher abstrakt an – Komma aber Beispielen an – die sogenannten linearen Abbildungen – die sehen wir dann im Laufe des Semesters wieder in der Form von Matrizen – keine Angst es wird etwas konkreter dann – linearen Abbildung wir sehen sie interessanterweise – auch wieder in Form der Fourier Transformation – und anderer linearer Bildung haben sie schon gesehen sind wir gleich – wärmste Magie so bezeichnet jetzt kann man da ein exaktes Konzept draus machen aus Sachen die man schon gesehen hat und Sachen die noch kommen werden Matrizen zum Beispiel – was soll das sein – eine Abbildung von einem Vektorraum – nach einem anderen oder nach dem selben typischerweise – in denselben Vektorraum wieder zurück sowas – eine Abbildung – von Vektoren – auf Vektoren – sowas – und jetzt soll – diese Abbildung – diese fundamentalen – Rechenoperationen – im Vektorraum – bewahren – Durchsagen kompatibel dazu sein – soll sein wenn ich das ausrechnen – für die Summe zweier Vektoren – wird ihr von absacken Vektoren deshalb schreibe ich keine Vektorpfeile – Seite mit sinnlichen Koordinaten denken schreibe ich mal A und B – die Summe zweier Vektoren wenn ich die Einsätze in meine Abbildung – dann soll das schlicht und ergreifend sein das sich erst – abbilde – und – dann die Summe Bilder soll dasselbe sein soll egal sein wo ich die Summe bereitwillig die Summe vorher – und werde dann ab oder Summe nachher nachdem ich abgebildet habe – und außerdem – das mit dem Produkt mit zahlen wenn ich das x-fache eines Rektors nehme – und dann abbilden soll das derselbe sein als wenn ich erst Abbildung deine sechsfache nehme also das soll gelten für alle Vektoren – ich schreib das mal eher – in Worten für alle Vektoren AHB – und alle Zahlen – ich sowas habe eine Abbildung die das kann sie macht Vektoren zu Vektoren – bei denselben Vektorraum bei den anderen Vektorräumen – sind Beispiele – die dabei kompatibel ist mit der Summe kompatibles mit dem Produkt bezahlen – so eine abgerundete lineare Abbildung – das offensichtlich was elementares für Vektorräume – diese Struktur des Vektorraums bleibt dabei erhalten – dass dies sich Asthma fürchterlich abstraktes Komma Fallbeispiele an oder eben auch nicht Beispiele – überlegen Sie sich dann was davon lineare Abbildungen und lassen keine lineare Abbildungen – und zwar – ich drehe den er zwei – Direktoren – oder die Ortsvektoren – genauer gesagt im März zwei – drehe den er zwei um neunzig Grad – gegen den Uhrzeigersinn – um den Ursprung – ?? ich mich ein Folge Sommer um neunzig Grad – gegen den Uhrzeigersinn – um den Ursprung – ist das eine lineare Abbildung oder nicht sie nehmen die Ortsvektoren – aus dem er zwei drehen die alle – dann haben Sie ein Vektorraum – nach einem anderen Raum abgebildet oder nach dem Sensor abgebildet – die Frage ist gelten diese Eigenschaften ist das kompatibel mit Summe und vielfachen – dann – verschiebe – alle Ortsvektor Nummer zwei – um – eins innigster Richtung – alles einen Schritt – nach rechts schieben ist das ein linear – die ?? erhält Zahlen für sich sind ja auch Vektoren Eindimensionalvektoren – wenn Sie so wollen sie das Rechnen – mit reellen Zahlen Y ist gleich drei X Fluss vier – ist das eine lineare Abbildung oder nicht – Punkt jetzt wird abstrakter – wenn ich eine Funktion habe – elf von den Wellenzahlen – nach dem DL Zahlen – mal drei nehmen – das dreifache dieser Funktionen ähm jede Funktion durch Dicklinien – und in dem von jeder Fusion das dreifache ?? wird aus einer Fusion eine andere Funktion – Punkt das reicht hier eher fertig hier für die lineare Abbildung ich habe hier nicht F sondern – gehe damit das etwas klar wird – das etwas anderes ist Funktion geht von R nach R mal drei nehmen – und das mit solcher Funktion auch machen können wir können sie ableiten wenn sie denn differenzierbar – es überhaupt – hatte sie nehmen solche Funktionen – nur die ableiten waren die differenziert waren – zu schreiben differenzierbar – Funktion – auch die Bilder natürlich ein Vektorraum die differenzierbar Funktion – die die man ableiten kann – die leiten Sie ab ?? machen das einer Funktion eine andere Funktion ist das eine lineare Abbildung – oder nicht – so ?? das immer wieder bisschen abstrakt – Komma dass du unsere Zeit Komma was dazu sagen wie kommt man darauf sich solche abstrakten Geschichten anzugucken – dieses Konzept von lineare Abbildungen – man das einmal verstanden hat dieses Konzept – dann Komma plötzlich wieder Sachen abstrahieren – das was man über Vektoren gelernt hat im anschaulichen – diese geometrischen Vektoren – was man über die gelernt hat Komma plötzlich dann vielleicht bis ins gleich – auch mal wieder Funktionen übertragen vielleicht sogar auf sowas wie Ableitungen – ganz banale Sachen – werden plötzlich – wirksam – für sowas wie Ableitung oder integral – wenn man dieses Konzept einmal verstanden hat – ?? den Standard – sie gucken sich das mal an was davon könnte jetzt eine lineare Abbildung sein – eine Abbildung sollte sein – die Summe von Vektoren – wird abgebildet – auf – Abbildung des Einweg lustlos Abbildung des anderen – Rektors und entsprechen mit dem vielfachen – das Vielfache dann Vektor mal zahlt ?? stattdessen rechnen kann Zahl mal der die Abbildung angewendet auf den Vektor – Punkt immer – was davon sind lineare Abbildungen – und was sind keine ✂ ein sicheres Zeichen was der schief geht wenn sie hier null einsetzen – die Abbildung angewendet auf null mal – irgend ein Vektor muss dasselbe sein wie das null fache von der Abbildung – aus dieser – zweiten Bedingung folgt – wenn sie für X null einsetzen soll für alle X gelten wenn sie für Excel einsetzen stellte fest – dass die Abbildung angewendet auf – den Nullvektor jetzt null fache von A Abbildung angewendet auf den Nullvektor dasselbe sein muss wie das null fache – der Abbildung angewendet auf A – aber das ist nur – eine lineare Abbildung muss den Nullvektor liegen lassen mit der nur manche den Nullvektor natürlich – die Linearbildung – muss in jedem Fall die Nullvektor liegen lassen ?? sehen sie findet ?? ja nicht hat der Nullvektor wird zu – eins null – insofern sie sich auch dass der Dritte nicht funktionieren kann wenn sie null einsetzen – Krise nicht null raus – das ist keine lineare Abbildung der dritte hier wenn sie eine Summe einsetzen – dreimal – eine Summe und vier dazu addieren wenn sie nicht die Summe der Zahlenwerte raus – wenn sie ein Vielfaches von X einsetzen – dreimal zwei X kriegen sich die doppelten Y Berghaus – das hier ist keine – lineare Abbildung – lassen bisschen – verwirrend ist dieses heißt eine lineare Funktion – es aufzeichnen es ist eine gerade der Graf ist eine gerade deshalb nimmt man es ein lineare Funktion – im allgemeinen sind lineare Funktionen – aber nicht lineare Abbildungen – das Essen bisschen schwierig von der Wortwahl leider – immer nicht aufgepasst in der Mathematik – ich habe hierunter im allgemeinen zumindest – es gibt lineare Funktion lineare Abbildungen sind – wann kann so eine lineare Funktion auch eine lineare Abbildung sein – Punkt – doch wenn also Nullstelle – wenn hier nur – drei X stünde – dann wäre das tatsächlich lineare – die Plus vier macht es – nicht länger – als im Sinne eine nicht lineare Abbildung dass es mit den schwierig ?? Funktionen Abbildung an der Stelle auseinanderhalten – muss und typischerweise – in der Mathematik heißt eine Funktion immer dasselbe wie Abbildung erstens austauschbare Begriffe nur an dieser Stelle nicht damit zu vorsichtig sein lineare Funktion sind solche – deren Graph eine Gerade ist – lineare Abbildungen dürfen diesen Versatz aber nicht drin haben – so funktioniert – es abstrakt Funktionen verdreifachen – die Frage ist folgende – wenn dieses F bedeutet – verdreifachen – und diese A und B sind Funktionen – das dreifache – zum Beispiel von der Summe aus Sinus und Kosinus – ist es dasselbe für das dreifache vom Sinus und das dreifache von Kosinus – offensichtlich – das dreifache – vom vierfachen vom Sinus ist es dasselbe wie das vierfache vom dreifachen vom Sinus – offensichtlich bereits das zwölffache – das haut hin – wenn sie es versuchen das aufzuschreiben – wird es schwierig – sind hier ingenieurmäßig unterwegs ich versuch's mal nur so grob zu skizzieren – die Nummer vier dann – dieses F bedeutet das dreifache – mein F angewendet – zum Beispiel – auf die Funktion – die X abbildet – auf X Quadrat – jetzt wird's schlimm – dass wir die Funktion werden die X abbildet – auf das dreifache von X Quadrat – kann es aufschreiben aber sie sehen das wird jetzt allmählich mit den komischen Mannes aufschreibt F nimmt Funktionen – und macht das dreifache draus F nimmt jetzt diese Funktion X wird abgebildet ?? X vertrat und macht das dreifache draußen die Funktion die abbilde Tricks – auf Dreiecksquadrat – oder – die Funktion namens Sinus – das sich in Abbildungsvorschriften ✂ schreiben kann ?? Aussagen die Funktion namens Sinus was wir daraus werden – es wird das dreifache von Sinus aus werden – das es nichts anderes als die Funktion die abbildet X auf dreimal Sinus von X – sie an warum man es ingenieurmäßig – typischerweise – nicht in schreibe sie doch sehr ungewöhnlich – aus – ?? programmieren jetzt ein spannender Sachen tatsächlich einmal ?? hinschreiben darf jeder Programmiersprache – aber statt der sich jetzt hier mit Feilen arbeite arbeite ich mit Funktion das dreifache – einer Funktion Leerschritt des Ergebnisses wieder eine Funktion die Funktion die folgerst du sie schmeißen sich sein – Sieg fing bereits Verdacht raus – egal was es im zwanzigsten – diesen Platzhalter – an das wird funktionieren – müssen über mein Schreiben so funktionieren – wird – diese regeln also ich hätte gerne folgendes – ich finde meine Abbildung das dreifache von Funktion bilden ich beende meine Abbildung an auf die Summe zweier Funktionen – stand hier oben – der Summe zweier Funktion – also sowas wie X wird abgebildet – auf – F zu viel SG soll zur Funktion sein Flusshafen – X wenden – Sie Abbildung an auf die Summe zweier Funktionen – das Gericht aus die Funktion die bildet – das dreifache – von diesem Ergebnis – das ist alles völlig banal – eigentlich – sind in der Schreibweise nur so verstrickt – die Funktion – bildet jetzt das dreifache von dem Ergebnis – dass auch das F – dreifache Funktion – was ist das ?? das ist die Summe der Funktion – ist dreifache ist – von G – und der Funktion die das dreifache ist – von H – ersetzt nur um sie mit fürchterlichen Schreibweisen zu konfrontieren dass Chapman ingenieurmäßig dann alles nicht mehr so wenn – man weiß was man tut glaube das ist leichter – zu sagen – in den normalen Worten zu sagen – als – in den Formen hinzu schreiben – meine Abbildung soll bedeuten das dreifache zu bilden der Funktion – das dreifache bilden der Summe zweier Funktionen ging sie offensichtlich dasselbe raus als wenn sie bilden das dreifache der ersten Funktion und dazu addiert das dreifache der zweiten Funktion – ?? einige skeptisch waren – das hier ist ein Leerabbildung – eine skeptisch waren hier – bei dem letzten ableiten – auch das ist ein lineare Abbildung – das heißt – die Ableitung – ist mathematisch – doch irgendwie – verwandt – mit so etwas wie einer Drehung um den Ursprung – weit weniger wie eine Drehung ?? sie noch andere wie eine Skalierung dann vielleicht – die Foyer Konfirmation – ?? eher sowas wie Drehung – aber es gibt doch so einen – tiefen Zusammenhang – zwischen Ableitungen – und solchen Abbildungen – wie Dreh nicht wie Verschieben verschieben scheinbar andere Nummer zu sein – darüber frostig sein aber die Ableitung funktioniert auch so weit es mal wieder – ohne Formel einfach nur ihr Angebot was da steht wenn ich unter dem F ableiten verstehe – SF soll jetzt nicht heißen drehen oder verschieben – was auch kein lineare Abbildung warte Seb soll heißen ableiten das heißt eine Funktion des B ist eine Funktion – ?? steht also – leider ab Sinus plus Kosinus – kriecht dasselbe raus wie leider ab Sinus plus light ab Kosinus müssen sie natürlich wieder selber raus wenn sie eine Summe abzuleiten haben müssen sie sie können den einen ableiten und dazu addieren den anderen ableiten das es eine der Ableitungsregeln – und hier unten – X eine Zahl – leite ab das dreifache von Sinus – müssen Sie auch wenn das dreifache von Sinus ableiten drei Kosinus – drei mal die Ableitung vom Sinus geht – die Ableitung ist ein lineare Abbildung – das heißt ganz viel von den Sachen die man dann über Matrizen zum Beispiel werden demnächst – formuliere man in der Abbildung wie Drehung zum Beispiel – lässt sich übertragen auf – Ableitung – und Integraloperation – die viel komplexer sind – trau ich mir das noch mal in den Formen zu schreiben ?? gerade gucken – etwas heftig – also was ich bilden will Beistrich vergessen zum Beispiel – was ich bilden will es mal – Beistrich diese Abbildung angewendet – auf die Funktion namens Sinus – dann kommt raus die Funktion namens Kosinus – schön – diese Abbildung angewendet auf die Funktion – die X abbildet – auf X Quadrat plus X hoch drei – was kommt raus die Funktion die abbildet X auf zwei X plus drei X Quadrat – und so weiter und so weiter und das ist tatsächlich – im Jahr – hier sind jetzt schon mit der Summe – hier steht die Summe zweier Funktion die Summe der Funktion die X X vertrat abbildet und die Funktion die X auf Excel Tabellen – die Ableitung angewendet auf diese Summe – sind sie hier – ist dann also die Summe der Ergebnisse könnte man als ausbuchstabieren – sich fürchterlich aufzuschreiben – Klammer zu aus buchstabiert aber von Ensembles hoffentlich klar – die Ableitung ist eine lineare Abbildung – weil diese Regeln hier erfüllt sind – die Summe muss zur Summe werden – und ein Vielfaches mit einer Zahl das ?? Bindestrich ?? wichtig ein Vielfaches mit einer Zahl besteht keine Funktion – besteht eine feste Zahl dreimal die Funktion – entsteht eine Funktion von steht eine feste Zahl – ein Vielfaches mit einer Zahl heißt dass die Zahl nach vorne ziehen können die Ableitung kann dass das integral kann – das in lineare Abbildungen ✂ okay – ich muss aber klarmachen dass das auf zwei – deutlich verschiedenen Ebenen stattfindet was ich hier gesagt habe das hier steht – soll jetzt schon diese Abbildung – sein – wieder nichtlinear – ist dieses F vier – vom R eins nach dem R eins ich setze eindimensionale – X einzige eindimensionale – Y raus – und gucke ist das was hier steht – ist das ein lineare Abbildung ist es nicht wegen der vier wenn ich hier – ein Vielfaches von X Einsätze kriege ich nicht dasselbe Vielfache von Y auswendig eine Summe von X Einsätze kann ich nicht die Summe der sprechenden Y raus – das hier – habe ich an dieser Stelle – eine Nummer drei – habe ich als diese – Abbildung verstanden – ist das ja ein lineare Abbildung von R – eins nach dem R eins Nein ist es nicht – und jetzt bei den Aufgaben danach – arbeitet plötzlich auf der anderen Ebene ich gucke mir Funktionen – an – ich bilde Funktionen – ab – der stehen jetzt nicht mehr hier – Zahlen – oder – Vektoren – als Pfeile – als A und B sondern hier stehen Funktionen – drin das A – ist eine Funktion des B ist eine Funktion ein kompliziertes Ding was ich einsetze – was jetzt durcheinander gehen kann ist folgendes – diese Funktion wie sie hier steht – ist eine der Funktion die Chirurgen verarbeiten kann als ich ihr bei Punkt vier wird das dreifache zum Beispiel von dieser Funktion gebildet ?? das ist ?? lineare Abbildung das dreifache einer Funktion zu bilden – dass es jetzt blau eingerahmt – kann der unten wieder auftauchen – als Ding auf das – eingewirkt wird hier oben haben sie Punkte – die werden verändert oder aus Vektoren soll ich besser sagen ?? die Ortsvektor und die werden verändert sie arbeiten – mit Ortsvektor und aus Erneuerungsvektoren – hier arbeiten sie mit Funktionen machen neue Funktionen drauf dass es eine Ebene abstrakter – dabei könnte sein dass sie diese Funktion verarbeiten – also – was ich diesen Funktion antue ist zum Beispiel sie zu verdreifachen – oder sie abzuleiten – diese Funktion könnte jetzt auf diese Weise verarbeitet – werden – was ich aber antue – das dreifache ?? oder sie ableiten das ist lineare Abbildung – vorsichtig mit den Ebenen sozusagen auf auf den man das hier betrachtet – handelt es von Punkten – Antes von Vektoren – in irgendwelchen Räumen oder geht es um Funktion das ist das abstrakte an dieser Stelle essen patzig Funktionen – die verarbeitet – werden ich habe Abbildungen – die aus Funktionen – andere Funktionen machen dieses könnte ein Beispiel dafür sei diese Funktion für sich – ist der andere Nummer geben wir sowieso ganz fiese Sachen einsetzen können Sinus und Kosinus einsetzen garantiert keine linearen Funktionen Sinus und Kosinus – was ich ?? mache das dreifache davon bilden – dieser Prozess – das dreifache einer Funktion bilden das ist im Jahr