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07B.2 Eigenvektoren von 2x2- und 3x3-Matrizen bestimmen


CC-BY-NC-SA 3.0

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eine – zwei mal zwei Matrix – eins zwei drei vier und sie bestimmen mal irgend einen Eigenvektor es gibt unendlich viele sie bestimmen mal irgend einen – als ein Vektor der von dieser Matrix zu einem vielfachen von sich selbst gemacht wird und nicht der Nullvektor ist weil das leichte Nullvektor zu einem vielfachen – und selbst zu machen der Nullvektor gilt nicht als Eigenvektor ✂ also – sinnvollerweise – fängt man erst mit den Eigenwerten – an hat man schon eine unbekannte aus dem Weg geräumt – ?? andere Frage ist was mache ich wenn das nicht zwei mal zwei wäre sondern tausendmal tausend ist das dann noch sinnvolle Idee mit den Eigenwerten anzufangen – aber hier zweimal zwei – ist es auf jeden Fall geschickt mit Eigenwerten anzufangen – also ich guck erst mal nach den Eigenwerten – null soll sein die Determinante – von – diese Matrix minus andermal die Einheitsmatrix – eins minus Standard zwei drei vier Ministern sind inzwischen unüberlegt – hier wieder – das blöde Rezept für zwei mal zwei – einen Mindeststandard – mal vier minus Lambda – minus – drei mal zwei die nicht verstanden – Punkt das war ebenso schön einfach – war jederzeit ebenso schon einfach mit den ganzen Nullen hier dass er nichts anderes dazu kam – dass sie sich täuschen – es ist nicht immer einfach das Produkt auf der Hauptdiagonalen – das es eher selten der Fall damit wirklich Glück wenn es das Produkt der Hauptdiagonalen – ist typischerweise gibt es noch ganz viel Ärger dazu – so ausmultiplizieren – das macht also – vier – minus – vier landen da minus einander sind minus fünf Lander – minus andermal besonders interessante Quadrat – minus sechs – bin ich also bei Landerquadrat – minus fünften Lander – plus vier minus sechs minus zwei – das soll Null sein ?? quadratische Gleichungslander – ist also – fünf halbe – plusminus – Dinge vertriebenen fünfundzwanzig – Viertel – plus – zwei – das wird er eklig – ist also fünf halbe plus minus – die zwei mit herauf vierundzwanzig plus acht sind dreiunddreißig – Viertel – die Wurzel vier kann ich noch ziehen – wenn ich bei fünf Plusminuswurzel – dreiunddreißig – halbe ✂ das sieht ungemütlich – aus – Punkt jetzt könnte man anfangen – und sagen okay – Zähneknirschen – ich brauche jetzt also ein Vektor mit folgender Eigenschaft – eins zwei drei – vier – mal – X Y – ist gleich – wenn ich mir zum Beispiel den Eigenwert mit plus nehme – fünf plus Wurzel dreiunddreißig – halbe Mal X Y der Gemeinde durch die Krise kriegen – zwei Gleichungen zwei unbekannte – können sie hinkriegen – aber das ?? also viel Spaß – der Trick ist – ich gehe zurück zu dem was ich mir hier oben überlegt habe B – wenn – V ein Eigenvektor – ist – zum Eigenwertlander – als das nicht anders hier steht der eigentlichen Äquivalenzzeichnungen – also rückwärts machen heißt das nicht anders als das Matrix minus andermal Einheitsmatrix – angewendet auf den Vektor – der Nullvektor – ist – ich suche also ein Vektor – so das Matrix minus andermal Einheitsmatrix – den Vektor zum Nullvektor – macht – das sieht schon viel freundlicher aus – einem – also die Clips unserer Eigenvektor – sein – was ich mir angucken ist vielmehr das eins – Minuslander – das ist eine Schande Komma wieder Land eines fürchterlichen – zwei – drei vier minus Lambda mal X Y – gleich der Nullvektor – ist – größer sowie übersichtlicher – Matrix macht den Weg dazu sein Land aufwachen – also ist die Matrix minus andermal Einheitsmatrix – mal den Vektor gleich den Nullvektor – Sowjets übersichtlich – und jetzt kann man einsetzen was man über Skalarprodukt – und Ähnliches weiß – sich das angucken – diese Matrix – mal diesen Vektor – soll der Nullvektor sein was wissen Sie – von den Skalarprodukt – mir jetzt über X Y ✂ ja X Y ist senkrecht – zu den Zeilen der Matrix – wenn Sie diese neue oben ausrechnen – einziges andermal X plus zweimal Y – so kommt die null der oben zustande das heißt diese beiden Vektoren sind senkrecht zueinander – die wissen schon Trick wie man zwei senkrechte – Vektoren erzeugen kann – vertauschen ein Vorzeichen ändern – und – X Y und der hier unten sind senkrecht aufeinander damit der unten die Null rauskommt – Punkt ich nehme mir einfach einen der beiden – und konstruiere senkrecht es zum Beispiel – um – die zwei nach oben nehmen die nach und nehmen das Vorzeichen ändern – jetzt hab ich ein Vektor ist senkrecht – auf der ersten Zeile – kann natürlich auch was anderes sein – was keiner sonst noch sei nicht nur das sondern ✂ das Doppelte des Negative ein Vielfaches – irgend ein Vielfaches davon kann er sein wie beliebig – gut ich will kein Nullvektor haben aber Mühe ungleich Null deshalb mit ungleich Null – suche ich ein Vektor für den das rote fast – Schmierteufel – zu ich nehme den Eigenwert ähnliche oben ausgerechnet – der zweite nimmt einen der beiden Eigenwert der oben ausgerechnet haben setzen ?? ein – mal irgend eine Zahl die nicht null ist dann kriegen sie ein Vektor der senkrecht auf der ersten – Zeile steht – etwa der Klimmzug – der wird automatisch – senkrecht auf der zweiten stehen – weiß nicht ob das klar ist ?? zweite Gleichung ist geschenkt – finden Sie das zweite gleißenden geschenkt ist – das das grüne automatisch Null sein wird – für dieses Lander hier – beide von dem Plus Minus gibt es einen Eigenvektor – und ich sehe dass – ich nur diese Richtung hier wählen kann – um oben die null zu erzeugen – wenn jetzt nicht die zweite – Gleichung auch automatisch Null ergeben würde – ich da keine Chance mehr hätte kein Eigenvektor mehr was ist das Problem es muss automatisch – das grüne auch gleich null sein ohne dass ich nachgerechnet habe das muss geschenkt sein – und das reicht dann das ihr zu machen – ich nehme die erste Zeile – baue was was senkrecht dazu ist durch vertauschen Vorzeichen – ändern davon alle vielfachen das muss – die Menge der Eigenvektoren – zu diesem Lander das Busunternehmen das Minus hier unten zu diesen Lander muss dass die Menge der Eigenvektor – ist mit siebzehn – an – streng genommen müsste man tatsächlich – diese Gleichung hier lösen – das Lander gegeben was wir eben hatten – beide Landes gegeben einzutreiben – und erwischte mich ein Vektor Simpson der das hier kann zwei Gleichungen zwei unbekannte aber was faul ist jedes auch – direkt durch Hände wählen – wenn dieser hier – nicht senkrecht auf dem Grünen wäre – innerlich überhaupt kein Meer bei dem – null null rauskommt – nur diese Sektoren ?? geschaffene senkrecht auf der ersten Zeile zu stehen – diese Richtung hier irgendwo im zweidimensionalen – ?? die erste Zeile ist irgend eine Richtung im zweidimensionalen – DS senkrecht dazu ich schreibe alle Hindi senkrecht dazu sind – wir jetzt nicht automatisch auch senkrecht auf der zweiten Zeile wären hätte ich gar keine Chance mehr – ich könnte gar nicht null null rauskriegen ist jeder kein Eigenvektor mehr – Beistrich aber Widerspruch dazu das Land ein Eigenwert ist – ich hätte keine wirkliche Richtung ?? ich könnte nicht mehr ausweichen – mit der ersten Zeile sehe ich es gibt nur diese Einrichtung – alle vielfachen von diesen Vektor – über die zweite Zeile nicht null wäre – automatisch – der bisher nicht weil diese Richtung und damit hätte ich kein Eigenvektor mehr – dass es die Begründung – ist vielleicht etwas – Hände während ✂ genau die Schlussfolgerung ist über drei Ecken – weil wenn ich ihr Plus oder Minus wähle egal was weil das ein Eigenwert – ist – muss es ein Eigenvektor – geben – sehr Eigenvektoren – kann es nur in dieser Richtung geben – senkrecht zu der ersten Zeile sonst kommt nicht null raus – wenn jetzt aber – bei dem zweiten – anders als null rauskäme wäre das hier keine – Eigenvektoren – Links überhaupt nicht dann gäbe es keine Eigenvektoren – das wären Widerspruch – also beides Eigenvektoren gibt Weiland ein Eigenwert ist muss das Geld – bessere haarsträubende Begründung lassen ist ?? auf der – Zunge zergehen ?? bisschen gehen – das heißt in zwei mal zwei Komma damit sehr schnell zum Superstar diese Matrix hin – und kommt sicher was an was senkrecht zu einer Zeile egal welcher ✂ ist das normal dreimal drei der sich keine irgend ein tolles Rezept merkt was sich dann als falsch herausstellt – ?? sich vor in drei mal drei – wird es so ich habe eine Matrix – mit irgendwelchen Einträgen A B C D E F G H I – und ich kriege – mit der Rechnung wie eben Rauslander ist ein Eigenwert – irgendwie stimmig dieses Lander – wahrscheinlich – drei Eigenwerte – jetzt ?? ich mit den hier an A Minuslander – B C – D – E minus Lambda F – G H I minus Lambda – mal X Y Z – soll der Nullvektor – sein ich hoffe also hier ein Eigenvektor – zu finden – was wissen Sie jetzt über diesen Eigenvektor – das Lander haben sie vorbestimmt – A beziehungsweise – gegebene Zahlenlander – haben sie vor bestimmten Eigenwert – ein Eigenwert einen der Eigenwerte – was bis jetzt über diesen Eigenvektor ✂ genau das war dasselbe wie eben er muss senkrecht auf jeder Zeile stehen die gucken sich diesen Vektor hier an ABC – gegeben in der Originalmatrixlander – ausgerechnet ein Eigenwert – die beiden müssen senkrecht zueinander sei das kommt darum nicht null raus ?? er muss aber auch auf der zweiten Zeile senkrecht stehen sonst kommt da nicht null Reisende muss auf der dritten Zeile senkrecht stehen – uns kommt da nicht null raus – jetzt eine Chance – wie man – als fauler Mensch – einen Vektor angeben kann der das leistet – hier stehen lauter Zahlen – nachdem ich ausgerechnet habe und ich möchte jetzt ein Vektor angeben der das leistet er soll senkrecht auf allen drei – Zeilen stehen – noch ✂ genau ein Vektor der auf drei Vektoren in R drei senkrecht ist das ist ?? komische Geschichte sie haben drei Vektoren im R drei gegeben – wird suche ich ein Vektor – der zu allen dreien – senkrecht ist Punkt – das sieht nicht gut aus zu drei Vektoren der drei senkrecht zu sein das sieht nicht gut aus es reichen zwei hundert ?? den dritten nach – ?? finden Sie ein Vektor der senkrecht zu zwei – Vektoren im Erdreich – sieht man sie dann alles wieder die ganzen Produktion mischen sich ständig Kreuzprodukt – also ähm bin ich damit durchgekommen bei zwei mal zwei – dass ich mir eine Zeile angucke – austauschen ein Vorzeichen ändern alle vielfachen davon – wie es ist raffinierter – ich nehme mir zwei Zeilen werde davon das Kreuzprodukten – habe ich einen der senkrecht auf beiden – nämlich zwei Zeilen davon das Kreuzprodukt – alle vielfachen – ?? nicht null fache alle nicht nullfachen davon – und – wie gesagt es ist ?? total komisch – ein Vektor senkrecht zu drei Vektoren – diese müssen eigenwillig – ein Vektor senkrecht zu drei Vektoren im R drei dass wir typischerweise – nicht gehen – was wird hier also passieren analog zu dem was wir eben hatten was wird hier also passieren – ?? – Klage noch die drei Zeilen – müssen in einer Ebene liegen sonst kann es ja gar nicht sein wenn Lander ein Eigenwert – ist liegen diese drei Zeilen in einer Ebene und dann geht's tatsächlich der dritte Vektor – und Anzeichen soll der dritte Vektor nicht – in einer Ebene mit den beiden anderen – und hat tatsächlichen Sinn in das Vektorprodukt von zwei ?? egal welchen – auf einem null – Byte müssen die Augen aufmachen – ähm – in das Wetterprodukt von zwei geeigneten Zeilen und kriegen einen Kandidaten – für den Eigenvektor – dann wieder automatisch – auf der dritten Zeile senkrecht steht die Begründung des wieder dieselbe sein wie eben – wenn er nicht automatisch – auf der dritten Zeile senkrecht stünde – dann könntest gar kein Eigenvektor geben – das ist aber Blödsinn Weiland ein Eigenwert ist – es muss automatisch ?? – steht – ähm also vorsichtig mit solchen Rezepten in drei mal drei ist das Rezept etwas komplizierter sie können ich ein paar Zahlen austauschen zu müssen Vektorprodukt – vier mal vier Witz – dann allmählich haarsträubend – die versöhnliche Botschaft – man kann natürlich – einfach – diese gleichen wir nehmen – ein Eigenwert bestimmen – und diese Gleichung hier lösen – kostet fünf Minuten mehr – farbig sind spannender – dass man tatsächlich hier die Geometrie – in Aktion bringen kann um – sich – klarzumachen – was da passieren muss