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20.1_2 Funktionen mehrerer Veränderlicher, Höhenlinien, Kennlinienfeld, MATLAB(R)


CC-BY-NC-SA 3.0

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bisherhatten wir offiziell nur Funktion einer veränderlichendass man sowas hat um eine Funktion von X soll sowas sein wie ganz dummenX Quadrat setze X eindas Quadrat kommt raus das ist der Funktionswertplötzlich anfangen mit Funktionenmehrererveränderlichernicht nur das eine X sondern zum BeispielEclipse eine Funktion die gleich dran Punkt ist folgendes X Quadrat plusnull Komma drei?? Yhoch dreiletzten X einsetzenY eingegen einen Wert raus gab ihm zwei Werte eingesetzt ?? ein paareingesetztich sag gleich noch mal was das endlich formal dann bedeutet das hundert Paare einsetzt oder bei drei Variablen X YBibel geordnete Triebe geordnete Paare einsetztund die dieses Mal diese hier ich habe GrößenF eine Größe Fdie nicht nur von einerveränderlichereiner Variablenabhängt nicht nur von dem Elixier sondern zum Beispiel von zweien abhängtdas es was siein allen Fächern schon zu Genüge kennen die Leistung eines Motors hängt garantiert nicht nur von der Umgebungstemperaturund der Oktanzahldes Bezirks ab sondern auch von hundert anderen Geschichtenso stellt man sich die Welt vor dass jedes Ding von diversen anderengrößenabhängiginsofern ist es natürlich wichtig ?? Mathematik sich auch an zu gucken was passiert wenn jetzteine Größe vonmehrerenanderen abhängt erst mal nur von zwei ?? Mannes mit zweien verstanden hatistdas keine Aktion ist mit hundert und ?? tausend ?? zu machen??ich für das größtenteilsvor den matlap vorich denke das es drum geht eineVorstellung davon zu bekommen anAnschauung zu bekommen was passierthatte diese Funktion von eben extra ratlosKomma dreimal Psalm drei möchte ich in Anführungszeichenklopfen oder wie kann ich so den Klappensverzugeserster die Werte generieren X soll mal laufen von minus dreiin ?? Komma einer Schritten bis dreidas aus dem bei Schreibens an den matlap Skriptschicker als wenn ich jetzt hier unten tausend Zeilen eine nach der anderen ausführe schreibe matlap Skript der Speichererweiterungsofort hierKommafindenwas denn Darstellung??dasselbe mache ich für YY soll auch einen bestimmten Wertgrasen immer denselben damit im Bereich Abgasenimmer denselben von minus drei null Komma einer Schritten bisdrei so sieht das dann in matlap zu starten mit minus dreiKomma einer Schritten ?? bis plus drei gehenwas denn erzeugt wird weder das Essen erzeugt es im Hintergrund ist eineFolge ?? Y werden ein ?? ist ein Vektoreine Liste an Epson werden genauso eine Liste X werdendie Komma seit schon mal ein?? mit dem grünen Knopf startete das SkriptWasser durch eine bisher gebautdie erste Zeile erzeugte einundsechzigWerteeine Matrix mit einer Zeile einundsechzig Spalteneinundsechzig Werte für Xvon minus dreiin ?? Komma einer Schrittenbis plus dreinkönnen Sie auch zu Fuß ändern wenn sie wollen in der Tabellenkalkulation?? dasselbe für Yeinundsechzig Werte von minus drei bis plus drei damit fange ich mal an das an den StellenX Ymöchte ich meine FunktionauswertenPunkt aber der Ärger das nämlich diese einundsechzigStellen für X Einsichten stellen für Yeinundsechzig stellen für XEinsicht die Stellen für Ymuss auf jedem Kreuzungspunkthabenfür jedes von diesen einundsechzigYeinundsechzig X und umgekehrtauf einundsechzigmal einundsechzig Kreuzungspunktenmeine Funktion bestimmen?? irgendwas eingebautesDas heißt MessgerätLeerschrittanein Netznetzeine eine Zeit erschienen würde dafür einen ins Netzmessen wird ?? als er beidesjetzt oder Kritiker ?? Leertaste übersetzt ein Netzrastervon diesen beidenVektoren runde Klammer zuFunktionin runden Klammernwas das zurückliefertsindzwei Vektorendie allejetzt diese Kreuzungspunktdurch die kenianischen die abermal X X X und Ynichts eingefallen ist Beistrich erzeugt jetztVektoren die alle die Kreuzungspunkt einundsechzig mal ein sechzig Kreuzungspunktedurchgehenin das ihr was lernen X X raus Komma das Beistrich was mit X X jetzt raus kommt ein sechzig mal einundsechzig Y Epson auch ein sechzig mal ein sechzigdas hier ist dieam Anfang etwas überraschende Schreibweise wie ich in matlap sage das ich das Ergebnisden ersten Teil des Ergebnisses der Variablen X X haben will und den zweiten Teil des Ergebnisses in der VariablenX und Y haben will und XXXLYdie sind jetzt eben dieer beschreibt ?? an den Kreuzungspunkte sind das X ist die ganze Spalte X ein sechzig Stück minus drei minus zwei Komma neun und so weiterund Solutions genau umgekehrtminus drei geht's los minus zwei Komma neun die ganze Zeile und so weiter Zeile für Zeiledas sicher bis wirklich für jeden Kreuzungspunktfür jeden der einundsechzig Mal einseitig kreuzen Punkt ein Dax Wertund einen fixen Wert der Matrix X XX Wert müssen wirksam werdenund damit kann ich jetzt ?? Anfang meine Funktion auszurechnenjeder Stelle von den ein sechzig mal einundsechzig die Funktion auszurechnendas Ergebnis nichtsinnvollerweise zähltmanes möchte man meinen dass das sodann ?? zu schreiben was die Funktion sollte seinX Quadrierenund nur Komma dreimal Psalm dreigeht leider nicht eins zu eins soehernaiv Firma schreibenX Quadrierenplus null Komma drei mal YPunktdrei das wäre was man naiv probieren würdeaber das warlustigerweisedas fusionieren aber das wird Blödsinn lieferngenau das funktioniert liefert ?? zumindestin einer Situation haben ?? seiner gleichen Fehlermeldungim was sie jetzt eigentlich passiert ist dass er die Matrix X X nimmt um mit sich selbst multiplizierteine Matrix weil ich selbst das überhaupt nicht was ich haben ?? ich möchte dass sie jeden Eintrag nimmtman sich selbstund die würde die Matrix mal die Matrix meine Matrix sehen das es auch eine Stelle Beistrich haben wir jeden Eintrag für sich der Schatten hiermit Punkt hochkann genauso wenn sie Sachen modifizierenwollenBeistrich wie X Xmal Y Yund sie wolle die Matrizen modifizieren nach den Regeln der Matrizenmultiplikationsoll das Makler machenKlammer zu zu ziehen heißt es ja die erste Zeile meine erste Spaltedie erste Zeile meine zweite Spalte und so weiter die zweite Zeile mal die erste Spalte das ?? existiertdas ist nicht dasselbe als wenn sie links oben mal links oben nebenden zweiten von links mal den zweiten von linksdas will ich aber hier Punkt Färbung durch den Schreibweise matlap vermitteln Punkt das Matrizen wollen ein Produkt zwanzig Punkt mal Vorsicht eine StellePunkt hochumjeden für sich zu potentiellen jeden Eintrag in die MatrixPunkt mal?? MatrizenEintrag für Eintrag zu modifiziertesMatrizen zuallgemein gibt und dass auch Fehlermeldung in dieser Situation kommt das nicht gerade hinwas icheigentlich die man ein sechzig Matrix mit sich selbst produzieren kann und zu einer weiteren einseitigen Einsicht Matrix addieren kanndas ist meine Rechenvorschriftnehme ich jeden dieser Experte ins Quadrat für sich alleine des Erbes Punktdazu agierten Komma dreimal den Y Wert für sich Punkt dreidas sieht jetzt so aus als ob eine Zahl rauskommt stimmt natürlich nicht mit der bis eine Stelle intelligentsind für die X X warenMatrizenZ wird auch eine Matrix sein für jeden der Kreuzungspunkthabe ich jetzt ein Ergebnis Zdas sind meine Funktionswertehierfür minus drei minus drei Schein null Komma neun rauszukommen und so weiter einundsechzig mal einundsechzigFunktionsergebnissein einer Zeile ausgerechnet das macht das ganze etwashandlicherals in anderen Sprachen positioniert jedes Element einzeln durchgehen müssen jeweils das Ding sofort geht alle ein sechzig mal einundsechzig jeden für sich Quadrierenzu jedem nur Komma dreimal diesen jeden für sich Punkt eineaddierengibt ein sechziger einundsechzig Ergebnissematlap wegen mächtigster Fahrzeuge das Matrix LaborMatrixlaboreMatrizen rechnenund das kann ich jetzt anzeigener Server was war meine Exwertewas man man Y Werte damitAchsen richtig beschriftet und diese Matrix entzerrt werdenund ich zeige obendrein nocheher eine Legendewelche Farbe was bedeutetPrügelnandas Haus das ist die übliche Vorstellung einer Funktionvon zweiveränderlichenso ein fliegender Teppichauf diese Maschine etwas lahm wenn ich das versuche zu drehengeht ein fliegender TeppichmeineKoordinatenachsenunten sehen Sie von minus drei ?? über minus vier Anwalts und Zink wird vom Band Punkt sie tritt immer nochvon minus drei bis drei und hier andersrum von drei bis minus drei tausend Mann X und Y Werte untenin der Gibson eben und in die Höhe ist jetzt das Ergebnis abgetragen Z Corinna den nervösen ähm Maschine nimmt sich anein Punkt hier unten in der Gibsonebenedas macht eine knipse und rechnet die Höhe ausund hatte das als fürdas ganze Leben sein fliegender Teppich keine Kurve mehrSonderlinge der wenn die Funktion stetig wäre ich wahrscheinlich Ministerin irgendwoähm wenn es hierin Definitionsbereichvon minus drei bis plus drei minus drei bis plus drei Bindestrich ergäbegelochtenZitatende Gedanke bestehen dass das Ergebnis und fliegender Teppich sein wirdam das ist die Vorstellungdie man von Funktionen von zwei veränderlichen hatman das es keine gute Art damittatsächlich was zuarbeiten Werte abzulesen?? wenn sie hier Werte ablesen wollenwas ist denn ein Licht der Welt jetzt an der Stelle wurde eine null es und andere minus zwei istklar bei Wort jetzt gutodergutes Auge ?? das Perspektive ich abzulösen was denn an dieser Stelle der Wert sein soll von der Skala den Wert abzulesen in dieser kann aber andiese Legende hilft zum bisschendannan der Stelle jetzt auch nicht toll an dieser Stelle hinten etwas besser wenn ich deine Ecke nachgesehensie ohne wird irgendwie Grüntürkisich bin also in der Ecke zwischen null und fünf ich bin auf jeden Fall nicht in der Ecke zwischen zehn und fünfzehn ja da bin ich in der Ecke bei Werten zwischen zehn und fünfzehn??wenn ich bei solchen Clips raus guckendiese aneinerSeite sind falsch haben sozusagendie Farbskala hier hilft zum bisschen beim Ablesen aber auch noch nicht richtig praller nimmt diese Zeitkoordinatenjetzt nicht als Höhe sondern wirklich nur reinals Farbeverteilt Farben automatischüber den BereichRZ werdenich gucke Platz von oben auf die LandschaftanBiene LandkarteJobs in der Landkarte die Alpen weiß markieren und in die Tiefsee dunkelblau matt markieren ihr dasselbe dann eben von obensehensich vorsichtig erinnern wie es war hier die Zipfel zeigten nach oben groß Werterahmenhier ging's abwärts in rutschigen sie abwärts das bei minus fünfdas wäre das analoge Zimmer Landkartenfarbenaufgeteiltalso ?? mitSkate zeigten das ganze aus derman sich direkt von oben ?? Volkert sagen Vogelperspektive?? kostenpflichtigdirekt von oben platt draufgegucktohne dass sie das Gelände sehen nur die Farbenan das was man typischerweiseauf der Landkarte hatsind Höhenlinien?? Airlinesgibt's auch ??erfährt einfach die Konturenhier sehen sie wiederdie beiden Zipfelsehr hoch sind die altendrei hundert Meter ganz ?? wieder fünfzehn Meter das ist die Höhenlinie fünfzehn Meterwarenhier irgendwo Linie bei was müsste das sein zwölf dreizehn vierzehn Meter?? lassen zur zehn Meter vergleicht sie mit der Seite verweisenhierbei zehn Meter hier solchen Höhen über fünf Metern sein hierbei null Meter minus fünf Metern in der Tat so ?? es dann in gleichmäßigen Abständenminus fünfnullfünfund zehn und fünfzehnHöhenlinienoderIsolinienoder Ecke Potenzialliniendas kommt aus derElektrostatikmit Energiepotenzialhat wahrscheinlich sowas gesehen das Feld eines Kondensatorsverlaufgemalthaben dann kann man diese Linieneinmal hier sagt es einfachan welchen Stellen hat die Funktion jetzt den Wertnullmarkiere einfachnur die Funktion den Wert null hat die Markierung wurde Funktionen werden mit fünf hat ich markiere wurde funktionell fünf hat und so weiterwie die Höhenlinien auf der Landkarte ?? sie einzeichnen minus zwei hundert minus hundert null ?? ist die Küstenliniedann kommen plötzlich das Erzgebirge hier hundert zwei hundertdas kann natürlich fürallgemeine Funktionen genauso machen nicht nur für Funktion die tatsächlich ist die Höhe des Geländes abhängig vonlänger Breitengrad beschreibtfür irgendeine Funktiondie dritte Darstellungsmöglichkeitdas ist allmählich auch Leistungsmöglichkeitmeinen wirklich bei Produkten findet man sie im Datenblatt guckenvornin einer technischen Baugruppevon irgend einem elektronischen Bauelement empfindlich gerne schon malsolcheDarstellungenaus den Kammern will ich was ablesen sie sehen okay hier die ganze Zeit minus fünf minus fünf Das heißt hier in der Mitte zwischen den beidenist es wohl zwischen minus fünf und null hier ist wohl der Wert ungefähr minus zwei Komma fünfähnlichmirherleitengroß werde ?? verschiedenstedas was man inDatenblättern hat ist noch etwas anders dafür muss sie noch bisschen mehr tippenmeiner typischerweiseKenlingenfelderin der Musik mal anders angehenich lasse mein X durchlaufenund jetzt lass ich mal Y der Schleife laufen für jedesYklaut sich eine eigene Kurve das machen kennen fällt raus ein Feld von Andy eine Kurve ist eine Canon Linieein Kenlinienfeldisteine Sammlung von gängigen wie der Name sagter jede Kurve für sichhätte X werde Durchlauf und jetzt will ich die Y Wertestaffel nicht mehr ganze Dichters würden bisschen unübersichtlichKommarückseitig relativ grob durchden Wochen dann auch nicht mehr ich rechne weiterhin aus was passieren sollX X Y Y Hammer nicht mehr brauche ich auch nicht mehr ich kann jetzt tatsächlichmeineX Werte potenzierenund hierY hoch drei dazu addieren dass wir jetztmeine Funktion auszurechnenkeine Matrizen mehr an der Stelle ein sechzig mal ein sechzig Werte nötig sondern ich nehme dasXwas sie als Vektor kommteinmal einundsechzigjeden Eintrag in diesem Vektor Quadrieren deshalb Punkt hoch in einer Genehmigung vertriebenoder diese nur Komma dreimalhier ist die Zahl Y selbst das eine Zahl jetzt die von minus drei bis drei läuft in ?? Komma Fünferschritten das macht diesen Vorschlagsingen Kommanächstes Semester in der Informatiketwas häufiger vor sagtdiese Variableläuft jetzt bitte von Biss in solchen Schritten Y läuft von minus drei bis plus drei in Schritten von null Komma fünf?? nur eine Zahlauf eine die Schreibweise anders aussiehtwieder obenist Y immer nur eine einzige Zahl des ?? Beistrich man Z so ausrechnen??Z ist die gesamte Kurve mit dicksten Wertesverbraten werden von minus zwei bis drei ist Z eine gesamte Kurve die Platte ich jetztwarfür die X WerteplatteDZ werdedas es erstmals so ?? Stationdurchlaufenwenn sie mit etwasPlattenoder wie eben mit Imagesseeoder andern Sachen ausgeben wie das alte Bild was manals aktuelles hatte ersetzte ich muss allerdings sagen das es bitte nicht ständig alles ersetzt sondern neue Platte das ?? mit Hohlraumbitte das alte beibehaltenund immer wieder in das alte über das alte DrüberplattenPunkt anders habe ich nach ?? nur die allerletzte Punktjetzt habe ich hoffentlich ?? gleich einerSchar an Kennedy genannten Minenfeldso sieht das aus hier habe ich jetzt die x-Achsekonnten sinnvollerweiseja wichtig Z Achse und was ich nun seheich gucke von vorne platt auf die Rutsche drauf dass wir bei der die oberste Kante der Rutscheganz hinten war die eben das ist die vordere Kante der Rutschesind bis hier steil runter geht Yganz hintenanwenn erhier selbst in der Mitte der passierte nicht viel in der RutscheDiva ziemlich eben deshalb gegen die dann auf derselben Höhe und Tickets wieder steil runter so würde man das typischerweisenennt er im Datenblatt sind eine Sammlung an Canon Linie nicht sonnenbuntes Bild mit irgend einemfliegenden Teppich sondernganz nüchtern erkennen aus den man ziemlich schnell was ablesen kann ?? Problem ist was ablesen angeht ich müsste versagen dass dieses Y gleich soundsoviel Russen das Person zu beschriftenwelches Y das jeweils ist Komma wofür man das machen kannmandafür gibt sowas dass ich einenTextin das Bild reinsetzen kannich nur sagen an welcher Stelle an welcher Koordinatenunimmer folgendesstecke mir einen von deneinen von diesen einundsechzigExpertenund an den schreib es einfach dran rein zufällig weil ich Frau sieht das dann aus ich suche mireine Zufallszahlein Renten in Thatchereine Zufallszahlhätte ich gerne und zwarzwischen eins und einundsechzig deshalb schreibe ich hier längslängsvonXwie lang ist dieser Vektor X einundsechzigaber Circa wenn ich das hier nicht als einsichtig reinschreiben sondernwieder Funktion auswertet ?? bevor sie schreibender ??was kleineres reines ist nicht nur ein sechzig Million gilt als kaputtdeshalb lieber so schreibt dann ein richtig einzelner sage nehme die Länge von X wähle ein zufällige Zahl jetzt von eins bis einundsechziglängst wäre jetzt einundsechzigwill eine zufällige Zahl von eins bis einundsechzignebenbei hier was Gefechtshelmzu wechselnerfahren was das Leiden tut?? plattdas lediglich aus dem Internet auf dazu aussiehtin Business kommt in tausend Variationenbrennereiein Wechsel ?? Manager um die Intervalleund Türen und zueinem Exzwischen eins und der angegebenen Zahl wird einesolche Zufallszahl sollte man sagen zurückgegebeneWürfelwürfezwischen eins und sechs Ziffer oder zwischen einundsechzigund den einsichtigen Punkt setz ich jetzt einfach mal Nebel drandass dies Koordinate vom ein sechzigsten Punkt nehme dieZKoordinate von ein sechzigsten Punktschreibe dann noch dahinterschreiben noch dahinterdas Sittengesetz komisch aus auf AnhiebCelan gleich??number DeswegenYKomma sagen was das jetzt von Unsinn istmuss ich sagen was ich dran schreibeDD ich schreibe erst mal Blödsinn dransostark in das man dasalte geht jetztjeden Y wirddurch jede dieserKurven wieder gestapelt sind durchzeigte die Kurvewählt sich ein Wert aus der Liste meiner Experteund lautet an dieser Stelle auf dem Bildschirm den Text blasieht das Langhaus irgendwo zufälligkleine Platte beim Islamismus anders aussehenjeder Vorgeschichte irgendwo einladen ?? Gewissensbisse mehr organisierenaber so steht jetzt irgendwo einladen möchte und das Blatt ansteht?? ich möchte das dann steht Ygleichder Wert von Ysieht das ausähm möchte zwei Zeichenketten hier zusammenfügendas man sich mit denKlammern Beistrich zwei Zeichenketten zusammen das ist die eine Y Gleichung dieses hier sagenehme die Zahl Ynumber two Stringnumbertwo Stringzahlin Zeichenkette verwandeltman das über seine Zeichenketteuntersteht der Zyklus tatsächlich dasin dieser Form das ist ?? ganz schön mit diesem perSchrotschuss hier an den Y werden aber ich kann somit schon ziemlich was damit anfangen unten ist also zeitgleich minus drei?? ist zugleich minus zwei Komma fünf vier sechs zweider vorletzte September zwei Komma fünfder allerletztes Y gleich drei kann zumindest was ablesendas ist die übliche Artwie man Funktionen mehrererVariablen darstellt sie haben solche Minenfelderdie sind dann zum BeispielParametrisierungsie so schön heißt Parametrisierung durch die Temperaturirgend eineine Kennedy eines elektronischen Bauelementswieder wie hältst wie verhält sich denn diese Diode die dieser Restaurantdies was auch immerähmwie verhält er sich bei minus zehn Grad bei null Gradbei zehn Grad bei zwanzig Grad bei dreißig vierzig Grad und so weiter das wäre ganz typisches Kind entfällt so sind sie dann tatsächlichFunktion mehrerer veränderlicher wenn ich alles wissen will was ist der Wert an der StelleX gleich zweiund Y gleich minus zwei gucke ich danachX gleich zwei auf der Kurve Y gleich minus zwei Kriege hier mein Wertmacht alsoeins Komma irgendwas knapp zwei käme dann darausdas kann man tatsächlich mitden Jahrenablesen?? das als Idee zu den Darstellern VerfahrenDatenblättern wenn sie dieses hier sehenGrad noch zum formalenvon Funktionen mehrerer veränderlicherMengensoll er die Mathematik sich darauf wieder ganz viele Begriffe ausgedachtKomma sind dieselben die sieschon kennen von den üblichenFunktioneneiner veränderlicherwenn ich es mit zwei veränderlichenMachernnennen wir sie dumm X und Yund das jetzt tatsächlich mal wieder alsBerg auf Mahl oder als Flickenteppich aufgemacht gemaltwie gesagt das ist nicht das was man in der sich danach Vertutdatenblätternaberman stellte sich trotzdem so vor Komma sich so auf malimDefinitionsbereichlebt jetzt indie Menge der Ex Yfür die meine Funktion definiert ist ?? lauter Paare seindieses XTeilmenge von R zwei seiengeordnete Paarebeides eins eins zwei zwei drinnenwarenzwei Einzelstreich trennenaberhierunterzweiminus zwei ist nicht drinnenbisher war das so schön einfachmit den Definitionsbereichenmit einer veränderlichendass man typischerweise solche Definitionsbereichhat fehlen die Endendarüber getätigte Kurveunter vielen Klienten Punktda gab's auch schon schlimmere Sachen das mittendrinein Wert fehltin dieser Formaber viel schlimmer konnte es nicht werden mit einer veränderlichensie können nur mehr oder minder komischeLücken habenauf der x-Achse was in Definitionsbereichangehtjetzt mit zwei veränderlichenWirtsüblerdie Form hierkann beliebig sein im allgemeinen wird das Rechteck sein oder im Kreis eine Ellipse seinaber es muss nicht das kanneine beliebige Form in der siebzehn eben seinzu sagen okay alle diese hier kann ich jetzt einsetzenin meine Funktionergibt einen guten Grund aus dem ?? gerade den nicht einsetzenkann weil dann vielleicht irgend einRegelkreis aus dem Ruder läuft oder sich irgendwas überhitzt wer weißes können auch hier genausoLöcher drin seinPunkt das ist jetzt meinDefinitionsmengeaber bitte nicht die darinnicht uns die Maschine um die Ohren??komplizierter als mit einer veränderlichenähmDiffusionswerteAuftragewird es typischerweise die Höhe machen damit dasdas Gebirge gibtalso für den zum Beispieldas wäre mein Punkt X Yin der Küstenebenefür den beliebten Funktionswertausrechnen zu gewordenfür den richtigen Funktionswert ausrechnensagen okayund Fahrer haben das hierdiese Höhemitten durch Gewaltdiese Höhe hier ist er von XY meine Funktion nimmt das geordnete Park Yliefert einen Wert zurück und das nehme ich dann einfach als Höhe in diesem Diagrammund wenn sie das tun und die Funktion nicht allzu böse ist stetiges heißt dasso stetig ist wird das hiergenommenwird es hier den bewährtenfliegenden Teppichuhrendes Gebirge oder was auch immer gehengegeben Punkt die Höhe markierenBeistrich da oben strichen hierso stell ich mir das voralsodas ob ich jederihrer Metalldrahtdrauf montieren ?? senkrecht nach oben gehteine bestimmte Höhefunktionachtzehn hundert zehn Zentimeter hoch und dann um markiert ?? Punkter ?? für alle anderen genauso für den Punktso soviel Zentimeter in der Höhe gewinnen Punkt im Raum für den Punktmit den Behörden so weit und so fort und ?? die Funktion nicht allzu übel istfinden Sie hiereinermehr oder minder schön geschwungene Fläche mit Rutsche von?? und Lichter Definitionsbereichsortieren schreiben diese Fläche hier kann ich mit gutem Recht als F bezeichnender Graf meine Funktion aber auch die Funktion selbst nach modernem Verständnis das istdie Funktion unter Verständnis die Menge allerX Y und das Z jeweils dazuandieMenge der möglichen Ergebnissedenselben Ärger ?? mit Funktion einer veränderlichen?? die Menge der möglichen Ergebnissehat das ungefähr hin ?? Versionrespektive machtmüssen wir hierperspektivisch zurückkehrte kann jetzt nicht sagen auf der Zeitachse trage ich von da bis da das Wettereine Perspektive ein mittleres Drama?? ich muss janach hinten gehendiese an?? das ungefähr in der Zeitachsedas wäre dann die Menge der Werte die tatsächlich vorkommendie Bildmengeanlieber Fusion einer veränderlichen geht es durcheinander was ist jetzt eigentlich der WertevorratWertebereichgefährliche Ausdrückean der Stelle ist es eindeutig ?? sagen die Bildmenge das sind alleHöhen wenn sie wollen alle Höhen die tatsächlich vorkommenWasser noch haben istähmwas man sicherheitshalberals Zielmenge bezeichnenkannwiegleich Zielmengedie Werte dietheoretisch vorkommen können aber nicht müssenfür diese klassischen AusdrückeähWertebereichWertevorratWertemenge würde ich vermeidenbei den ?? Literatur durcheinander gehen im englischen genauso alles hast wenn schon keiner weiß was wirklich damit gemeint istähm das Bildist eindeutig daswas rauskommtgeschrieben als F vomDefinitionsbereichvon der Definitionsmengeund die Zielmenge istdas was ich deklariereF bildet ab dem DefinitionsbereichDefinitionsmengein die Zielmengewas ich hier deklarierejedesErgebnismuss in der Zielmenge seindie Zielmenge kann aber auchElemente enthalten die nicht vorkommen?? Christian ohne Garantieüber den Typdes natürlichen ?? ihr Schreiben individuell zahlen Zielmenge reelle Zahlenanviel schlimmer kann's nicht werdenteilweise noch komplexe Zahlen aber sind bei den DL fertigen Funktiondarum soll's gehen die Ergebnisse sollen rituelle Zahlen sein Endergebnis ihr komplexe Zahlen werden dannwird das ganze noch bisschenheftigerdas als prinzipielleIdeenzu Funktionenvon mehreren veränderlichen