[Playlisten] [Impressum und Datenschutzerklärung]

17D.1 Grundrechenarten für komplexe Zahlen am Beispiel; Länge, Winkel


CC-BY-NC-SA 3.0

Tempo:

Anklickbares Transkript:

Fingerübungenzu den komplexen Zahlen ?? ich habe zwei komplexe Zahlen Z eins Z zwei die eine soll sein drei plus zwei I die andere soll sein fünf minus sieben ihmvon ganz weit vorne an Hauses die Summe dieser beiden komplexen Zahlen zu WiederholungIndifferenz dieser beiden komplexen Zahlen Produktund Quotientmit ImaginärteilRealteilausgerechnetAG Beistrich der so gerne nennealso keine Skizze gemacht sondern sie nehmen drei zwei fünf minus sieben und rechnen damit direktrechne das einmal aus von beiden Zahlen interessiert mich die Längekommt zur Geometrie allmählichund dann wüsste ich gerne die Winkelwas ist der Winkelvon Z einsmit der x-Achsepositiv gegen den Uhrzeigersinnund was der Winkelvor Z zweiPunkt gucken uns damit noch mal die geometrische interpretationsgleicheraber erst mal die reinen Zahlen hier undhier Beträge und WinkelI ist eine ganz normalehinein Fragezeichen ganz normalefreundliche Zeit mit der einen kleinen Besonderheit dass das Quadrat von I gleich minus eins ist aber ansonsten passiert da nichts Schlimmesund das vertraglich minus eins ist eigentlich so schlimm sie kriegen also drei plus fünf sind acht zwei minus sieben sind minus fünf mal die natürlich als ?? bestündedrei Äpfel und zwei Kartoffelnverfügen sieben Kartoffelkriegen acht Äpfel und minus fünf Kartoffeldie Differenzdrei minus fünfzehn minus zwei zweiminus minussieben ?? zwei plus sieben sind neun?? zweites neun ihn jetzt Produkt und Quotientund ?? kommt wirklich vordas ich Quadrat durch minus einsals wirklich ausmultiplizierenverfallen sie nicht der Versuchung jetzt drei mal fünfund zwei I mal minus sieben I zu rechnen wirklich ausmultiplizierenhier steht drei plus zwei nie malfünf minus sieben Iist es aus zu modifizieren als ob sie da hätten sowas wie dreizehn X plus zweiundvierzigY in Klammern mal dreiundzwanzigX minussieben Ydreißigster drei zwanzig X dreißigster minus sieben so was sie kriegen Verterme hier auch sie kriegen vier so manchenPlatz fehlt fast dreimal fünf Ortschaften die nächste Zeile dreimal fünf sind fünfzehndreimal minus sieben dieeinmal minus sieben I sind minus einundzwanzigI zwei ihm mal fünf sind zehn I zwei die Hetze schwierig zwei Klima wirklich schwierig zwei ihm ein minus sieben Iminus vierzehn I Quadratminus vierzehn I Quadrataber lieber so gebaut dass es verdattert minus eins ist das heißt statt minus vierzehn ?? Quadrat kann ich schreiben plus vierzehnQuadratdas Minus wegund jetzt habe ich nur noch reelle Zahlenund Bellzahlen Magie und kann wieder hübsch zusammenfassen?? fünfzehn plus vierzehn sind neunundzwanzigminus ein zwanzig I plus zehn I sind minus elf Iwäre der obere Teil der Quotientmüsse mehr Platz hier hat es wirklich mal auf einen Bruchstrichdrei plus zwei die durch fünf minus sieben die meisten haben sicher ändert es gibt einen Trick wie ich das nie aus dem Nenner bekriegen kann ich erweitere mit dem komplexeren Regenten des Nenner aus fünf minus sieben I machen Sie fünf plus sieben I und erweitern damitdann bleibt der Bruch ?? gleich selber mal dreiundzwanzig Meter mal drei zwanzig der Bruch bleibt gleich hier Zähler mal eine komplexe Zahl Nenner mal dieselbe komplexe Zahl nicht ?? ist offensichtlichder Bruch bleibt gleich das hübsche ist das jetzt derNennerreell wirdhier steht nämlich eine komplexe Zahlmeine Komplex konjugiertwar sie das alle noch zu Fuß jetzt geradeaus buchstabierenmuss sie noch besonders sozusagen das kann man jetzt zu Fuß Ausrufezeichenfünf mal fünf plus fünf mal sieben I minus sieben I mal fünf minus sieben I Malpunkt sieben I lohnt sich aber nicht eine komplexe Zahl mal der Komplex korrigiert SA plus Beamer I mal A minus B mal wiedas geht?? Zimmers zum letzten Mal in diesem Semester wirklich aus und sie merken sich das Resultat am Anreisetagvertrat einmal minus BB I mal A?? plusBI mal A und hier noch plus BIminus BI und Beziehern gibt minus B Quadrat I Quadrat also Schluss wie Quadrat die beiden Fingerhauses Betaquadratgroß B Quadranteine komplexe ZahlMagierkomplexkorrigiert es ist das Quadratihrer Länge dieses Betragesso ?? es ist SMS auch nicht zum letzten Mal ausgerechnet das SOS für alle komplexen Zahlen das heißt es lohnt sich nicht hier den Nenner umständlich ausrechnen ?? tätigen fünf Quadratmeter sieben Quadratwas weiß man dann ab jetzt das Rennen Erzähler hilft jetzt nicht den Zähler muss man tatsächlich ausmultiplizierendreimal fünf sind fünfzehn halt sowas ehrlich hat meine schon ?? mit einer mit minus sieben I mehr das hilft immer scheiterte die ausmultiplizierenfünfzehnKomma fünf drei mal sieben ?? ?? plus einundzwanzigI zwei I mal fünf plus zehn I alsozwei ehemals sieben I sind vierzehn Quadrat sind minus vierzehnund dann haben wir da im Nennerwerdens Firma zwanzig plus neunundvierzigvierundsiebzigund die haben wir fünfzehn minus vierzehn sind einseinundzwanzig I plus zehn I sind einunddreißigje das könnte man jetzt noch auseinander schreibenaus der Realteil ist ein vierundsiebzigsteund der Imaginärteilist einunddreißigYen siebzigstedann sieht es wieder aus wie die ganz übliche komplexe Zahlsoll sie vorsichtig dass sie sich zu einfach machen ein Produkt kriegen sie wirklich vier so meinten Sie ausmultiplizierenbeim Quotientenbitte bitte nicht folgendes tun mit Details nicht einfach die drei durch die fünf und die zwei durch die minus sieben das offensichtlich seit ?? die Versicherten sowas zu rechnen drei zwanzigstes zweiundvierzigdurch dreizehn plus siebenist es offensichtlichnicht dreiundzwanzigdurch dreizehnter zweiundvierzigdurch siebenmachte das selbige auch nicht mit komplexen Zahlen kann ich aber die drei durch die fünfte einen die zwei durch die minus sieben sein dass wir die funktionierender Trick ist mit dem Komplex kontrolliertenzu erweiterndann wird der Nenner reellund ich kriege wieder seine handliche konvexe Zahl raus das war die GrundrechenartenAlgebra Beistrich das nenne sie haben es gerechnetdas sie hatte sich Zwick geometrische Anschauung zu tun sie haben einfach gerechnetmit je Quadrat ist gleich minus eins ansonsten behandeln sieganz handelsübliche Zariones schon zum ersten Mal der Betrag vorgekommendie große Herausforderungfür meinen den Betrag die Länge bildet ist tatsächlichganz schlicht Pythagoras zu machen ?? des I zu ignorierenhole ich diese komplexe Zahl in der ganzen Zahlenebenesie gehen drei nach rechts zwei nach oben da nicht die in der ganzen Zahlen eben sieben Pythagorasangelangtist dieser Pfeilbelagist diese Hypothese lose drei Quadrat zwei Quadratwurzelkommt nichts von den ie forTheater des Quadrant Imaginärteil ins QuadratssummeWurzelmüssen sie Landes I zu ignorieren an der Stelleund das macht neuen plus vier sind dreizehn also was dreizehnin einer Garten ausgerechnet aber ich hab's mal hin versetzt Quadrat minus sieben ins Quadratbereits wirklich minus dahin schreiben will und sicher nicht die Quadrieren sie können auch sieben Quadrat in Schreiben Sie gehen fünffach rechts sieben nach oben wollen wissenwie lang ist der Abstand querkönnen sie auch genauso fünf ?? rechts sieben nach unten gehenbasiert die aus sieben Quadrat sofort schreiben könnenwas aber überaus Pflicht für siebzigste wassoll genauso Rechnung also Wurzel vierundsiebzigdie Winkel zeichnen sie vielleicht noch mal so grob auf das man normal sich die Idee verschaffen kann was man tut Wiederholung von Sinus und seinen Freundenwird wahrscheinlich ähnlich den Sinus nehmenalsohier drei Einheitennach rechts ich gehe zwei Einheiten nach oben frage die Kruste Winkel das rechter Winkel drei zwei das schreit nach dem tangentialzur Gratislängeder gute User eben ausgerechnet Wurzel dreizehnaber offenbar von den Zahlen ausgehen Diva haben schreit das nach den Tangensder Tangens von diesem Winkelgegen Kathete durch ein Kathete ist zwei Dritteldas heißt wir würden hoffendass dieser Winkel ist der Argus Tangensvon zwei dritteles gibt das Problemteilweise auch schon beachtet es gibt das Problem wenn der Winkel zu groß ist in der Winkelso weit geöffnet ist ?? stumpfer Winkel ist dann müsste vorsichtig sein mit dem Argus tangensaxlangesliefern nur Werte von minus neunzig Grad ausschließlichbis plus neunzig Grad ausschließlichalso auch schon dieser Winkel ein rechter Winkel würde nicht funktionierenzudem Bereiche sindnur bis neunzig Grad ist der Arcus dann ganz okay es im Bereich von null bisminus neunundneunzig Komma neun sozusagen sind Gradeines Tages dann ist auch okay minus neunzig Grad geht schon nicht mehr weniger als minus neunzig Grad noch weiteren geht auch nicht mehr sein sie vorsichtig im Fall haben wir hier nicht mit Realteil drei Imaginärteilzweiten zweiten auch nicht fünf nach rechtssieben nach untendas Problem haben sie immer wenn der Realteil negativ wird der Realteil null vier habe er nicht ist nicht negativ ist nicht nur der Alltag also wusste ich aber das Hirn einschalten wenn sie Winkel ausrechnenhier ist keine Korrektur nötig ?? Konstantinsminus sieben durch fünf oder sie nehmen plus sieben durch fünf und ändern das Vorzeichenistin etwa so lassen sich so stehend mit dem August ?? sie wissen es ungefährfünfundvierzig Grad Akkus deines eins fünf vierzig Grad das sollten Sie wissen das es also ungefährdas erste ist etwas weniger als fünfundvierzig Grad das zweite ist minusetwas mehrals fünfundvierzig Graddas muss man draufhabenaber jetzt die genauen Zahlen sind ohne Taschenrechnerund Computer bearbeitet und TaschenrechnerComputer nicht machbarinGedankensalsovierunddreißigGradobenundobwohl ich das so sehr deine such minus eins dass es sich nicht irritieren dass es traditionell eine falsche Beschriftung auf den Taschenrechner muss Agnesstangen heißen Internet hat keine Umkehrfunktionmüssen sie zwischenvierundfünfzigGradund jetzt gucken wir uns an wie Produkt und Quotient geometrischaussehenalso Z einsmal selbst zweiZ einsdurch C zweijetzt geometrischnicht in Zahlenbereichausgerechnetsondern mit Längen und Winkelwas macht mandas nicht irritieren lassen es ist nicht das üblicheSkalarproduktman meinen sie haben zwei Vektoren die modifizierte Zweigton Skalarprodukt müssen sie eine reelle Zahl wieder rausbekommenaber ich sie haben gerade gemerktoben wir bekommen auch imaginäre Anteile raus es ist nicht das handelsübliche Skalarproduktwas da passiertes auch nicht das Vektorproduktkann jetzt sagen Arch AG zwei Pfeile in der Ebenedas hier solleben sein für zwei Fall in der eben jetzt will ich das Vektorproduktsteht dann aber senkrecht dadrauf ich nicht mehr der Ebene drin ist es auch nicht das Vektorprodukt das es eine neue Art Produkt speziell hier für die komplexen Zahlen und was wir bei den Vektorenim Normalfall nun wirklich nicht haben ist das wir Vektoren Durcheinanderteil?? diesen dreidimensional vorein zwei dreies schmerzt aber ?? schreibt es mal hinein zwei drei durch vier fünf sechs sowas ?? nicht gesehen Teil das geht im Regelfall auch gehörig Schiefvektorendurcheinanderzuteildas wird nicht hinhauenhier teilen wir plötzlich einen Fall durch einen anderenwenn Sie das so wirklich hinschreibenund kriegen wieder ein Fall raus mit komplexen Zahlen geht das lustigerweiseaber das ist eine ganz besondere Artmodifikationund eine ganz besondere Art Divisionwas waren die Regeln was passiert bei komplexen Zahlen geometrischwenn ich multiplizieredividierenso die Multiplikationheißt die Längen zu multiplizierendie Länge des Produktesist die Länge des einen mal die Länge des anderenund die Winkel werden addiertdass es diese Art von Multiplikationsie haben eine komplexe Zahlnoch eine komplexe Zahlmit Winkelndas Produkt haben wolleneins sind zweiBeistrich das so dann ist der Winkeldies Summevon diesen beiden Winkelnder einzelnenund die Längevon dem neuen Fallzed eins Mahlzeit zwei das ist der neue Fall die Länge ist die Länge des einen mal die Länge des anderenes keine Einheiten dran wird es ganz schnell wiederweg machenwas das zu Verwirrung führt wenn sie teilen müsste selber natürlich umgedreht machen das Teilen muss das modifizieren aufhebendas heißtdie Längen teilendie Teilelängevon Z eins durch die Länge von Setzweindividieren schreibe ich mal gibt die neue Längedie Länge des Quotientenund sie subtrahieren die Winkel sie ziehen den Winkel von Z zweivon dem von Z eins ab das ist die Art wie sie das rückgängig machen dieses Produktwinkelsubtrahierendem Ball kann man sich klarmachen dass sie Multiplikationmit eins nichts tut wenn sie sowas haben BZ mal einsda muss er wieder Z rauskommendie Zahl eins hat die Länge ein zu den Winkel Nullmengeeins Winkel null sie modifizieren die Länge mit eins Sie addieren den Winkel null wenn sie durch eins teilenteilen sie die Länge durch eins und zieh den Winkel null ab wunderbarsind mal eins ist wieder die Zeit Z Z durch eins ist auch wieder die Zeit selbstgut wir haben die Längen wir haben die Winkelkönnen aber geradeprüfen ob das wirklich hinhautjemand in den man die Winkelneuer Kamera hinschreiben also dass die Länge des Produkts muss sein Wurzel dreizehn mal Wurzel vierundsiebzigdas hat also die LängeWurzeldreizehnmal nur zu viel siebzig könnte man unter eine Wurzel ziehen ?? ich das ja Wurzel dreizehn mal vierundsiebzigund der Quotienthat die Menge Wurzel dreizehn durch vierundsiebzigwohnt der Winkeljeweilseinmal addieren Komma subtrahiereneinmal addierenvierunddreißig Grad minus vierundfünfzigGrad macht minus zwanzig Grad über die null Beistrich bisschen unsicher ist weil ich hier äußerlich noch eine Nachkommastelle mitgenommen haben in der Größenordnung von minus zwanzig Grad minus neunzehn minus ein zwanzig also minus zwanzig Grad und für den unteren muss ich subtrahierenvon Winkel von Z eins den Winkel von Z zweisubtrahierenwas gegen sie führen Winkelfür den QuotientenZ eins durch C zweiin der Regel werdenso achtundachtzigvier ?? dreißig Grad minusminusfünfzig Grad wird das achtundachtzig hat sein sieben achtzig Grad neunundachtzig Grad sicherte bisher genauer hinschreiben solldas heißt wenn ich länger und Winkel habe dann kann ich Produkt und Quotientsuper einfach ausrechnenzumindest Länge und Winkel wieder super einfach ausrechnenBeistrich überzeugenuns gerade mal das das hinhautkönnte man sich jetzt mal überzeugen ob diese Angaben hier sinnvoll sind?? Vorschlagkönntihr Länge und Winkel bestimmenund dann vergleichenwenn sich hieraus jetzt RealteilungImaginärteiljeweils bestimmenwas bekommen Sie rausals Teil und Imaginärteilund hier untendasselbe aus Länge und Winkel Realteilung Imaginärteilbestimmen die Rechnung von eben rückwärtseben hatten wirLänge und Winkelaus RealteilungImaginärteilbestimmt der hier jetzt einmal Rückwärtstheaternund Imaginärteilaus Länge und Winkel und dann Komma vergleichen mit dem Wasser hebenhattenschwangermit dem Unterarm des freundlicher wegen des positiven Winkel zu den negativen Winkel dass es bisschen ekliger vielleichtich habeein rechtwinkligesDreieckPunkt achtundachtzig Grad das wird schon heftigsind die achtundachtzig Grad lange noch nicht aber damit so halbwegs überschaubar bleibtzeige ich immer achtundachtzig Grad ich kennediese Länge ja die Länge der Hypothenuse?? ist Wurzel dreizehnvierundsiebzigsterWurzel dreizehnvierundsiebzigsteund ich frage mich was ist an Kathetedas zweite Realteilund was ist die gegen Kathetedas es leichter Imaginärteilgehen sie dann mit Sinus und Kosinus Trans Sinus achtundachtzigGrad ist gegen Kathete also Imaginärteildurch Wurzelplanund der Kosinus achtundachtzig Grad ist ein Kathete also Realteilungdurch Wurzelklarzu der hier mit der Realteilder Theater ist Wurzel dreizehnvierundsiebzigstemal KosinusachtundachtzigGrad die an Kathetesummer geradeausnur um sich Komma klarzumachendass das auch hoffentlich so hinkommen von die Zahl dreizehndurch vierundsiebzigdaraus die Wurzelmal achtundachtzigKosinusaus bei null Komma null eins fünffür vergleichbar mit dem Einfügen siebzigsteeins durch vierundsiebzignull Komma null eins viernaja für diese etwasmagere Zahl der Nachkommastellensieht das plausibel aus und der Imaginärteildie Gegend Kathetewird dann also über den lose dreizehnvierundsiebzigstemal der Sinus von achtundachtzigGradneunzehn?? vierundsiebzigdaraus die WurzelachtundachtzigminusVorsicht nebenbei Grad Maß sind die schreibt der russischenull Kommavier zwei?? Komma gerade einunddreißigN siebzigste das sieht gut aus ein dass ich in siebzigstesetwas weniger als ein halb sieben dreißig N siebzigste wir ein halb null Komma fünf Gramm etwas weniger als ein halb sieht aber gut aus abergenauereinunddreißig durch vierundsiebzigKomma vier zwei so okay alsoQuotienten sie das soweit gut ausjetzt ein ProduktKomma dass er Weser mit dem negativen Winkel das macht zwischen ekligerminus zwanzig Grad mit einerLänge vondreizehnmalvierundsiebzigunter der Wurzel und die aber jetzt habe jetzt minus zwanzig Grad Bindestrich hat ihr zwanzig Grad aber sie sehen es ist mit dem Uhrzeigersinngenommenund nun will ich wiederden RealteilungImaginärteilhaben der Realteilist alsoWurzeldreizehnmal vierundsiebzigmalden Kosinusaus zwanzig Gradzehn mal vierundsiebzigWurzel??Kosinussind wir bei neunundzwanziggerade oben vergleichen was hatten wir eben rausam Produktexakt zwoundzwanzig wunderschönweil es schon mal die minus elf muss gleich fürImaginärteilrauskommen sie sehen nebenbei neun zwanzig des also ein monströsgroßes Dreieck neunundzwanziglang hier eben ?? null Komma null eins fünf null Komma vier zwei beim Quotienten das ein sehr winziges Dreieck das es ein monströs großes DreieckKomma denenImaginärteilgestern also mit dem Sinuswurzeldreizehnmal vierundsiebzigmal den Sinusvon zwanzig Grad aber minus Wiki nach unten minusoder schreiben Sie die minus zwanzig Grad in den Sinus rein als auch das Minus drin und da haben wirdreizehnmal vierundsiebzigmalzwanzigGradminuszehn Komma sechs minus natürlich minusdie elfte hätten auch stehen müssen das übernatürliche Zimmer nämlich hin und her Rechner weiße Rasse stimmt ich wollte ihn nur noch mal verdeutlichenes ist wirklich dasselbe was rauskam die Hand zwei Arten zum selben Ergebnis zu kommen können geometrisch zum Ziel kommen mit Länge und Winkel oder sie könnenarge Preis zum Ziel kommenins wirklich ausmultiplizierenein Produkt oder hier beim Quotienten mit dem Komplex korrigiertenerweiternbeide Wege führen zum selben Ziel muss immer gucken was raffiniert istspäter in Elektrotechnik habe zum Beispieloft Amplitudenund Anfangsphasengegebenhaben Längen und Winkel gegebenAmplituden und Anfangsphaseund dann werden siegut beraten seinmit Längen und Winkel weiterzuarbeitenwenn sie was multiplizierenund ich plötzlich in dieser Form zu gehen wo sie ausdrücklichdie Quadratund so weiter rechnen müssen also gucken Sie was jeweils intelligent ist arbeitet man mit Längen und Winkeln geometrischoder aber haltet man mit RealteilungImaginärteilAlgebra ist das Ergebnis ist dasselbe