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21A.3 optimale Dose, maximales Volumen, minimale Oberfläche, Ableitung

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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der – Klassiker – zur Bestimmung von lokalen minimal lokalen Maxima und dann auch global minimal Global maxima ist folgender – möchte eine – Blechdose – konstruieren – und zwar – möglichst effizient – so – das das Volumenhindernis – das Volumen – und dass die Oberfläche – in eine Art – optimal sind – an das Volumen wenn ich die Höhe habe – und den Radius habe – auf mich relativ einfach – kriegen sie das – Volumen – einer solchen – eines solchen Zylinders ✂ irgendwelche Videos von mir zum letzten – vor Kurs – Fokus letztes Jahr gab's das schon wenn sie so eine Figur haben – dann ist das Volumen Grundfläche – mal Höhe – Grundfläche wäre hier die Fläche des Kreises – Pi mal – ?? Quadrat – mal die Höhe – mal Haar – dass das werden – niemals einfach die Oberfläche – von so einer – Dosis etwas schwieriger – wenn man den die abwickelt – die Oberfläche – dann haben sie ja einmal – ein Stück Blech was – drum rum geht – und sie haben dann – einen Stück Blech für den Deckel – und das mal so war er doch irgendwo ein Stück Blech für den Deckel ?? in dem Schreiben so das ein Stück Blech für den Deckel plus ein Stück Blech für den Boden das wäre die Oberfläche – ?? – muss man schon bisschen gucken – was ist das hier wenn ich das Ding ablegt wirklich was ist diese Länge hier ✂ Höhe sinnvollerweise – was ist diese Länge hier ✂ einmal der Umfang hier also zwei PR – Erzeugnisse oben reinschreiben und ganz so – wie er – der Umfang – so und dann habe ich einmal den Deckel der den Radius er und ich habe den – Boden der ?? auch den alle sehr beides Kreis mit Radius R auch wenn sie ihr Ellipsen sind ich meine natürlich kreisende Radius er das heißt die – Oberfläche – ist – zwei Pi R mal – H – plus – zwei mal die Kreisfläche – einmal die Kreisfläche wäre Pierre Quadrate kann mir schon vor – die Grundfläche des Ganzen – aber die habe ich zweimal einmal für den Deckelname – für den Boden – ausgegebenen – Radius geben die Höhe dieser – Dose – kann ich Volumen und Oberfläche relativ einfach ausrechnen – gibt zwei grundsätzliche – Optimierungsaufgaben – Komma die mir übrigens nebenbei Beistrich ihnen klarzumachen – dass 3D es – gibt nur zwei grundsätzliche Optimierungsaufgaben – was passiert wenn ich ein und dasselbe Volumen haben will aber mit einer möglichst – effizienten – Oberfläche möglichst wenig Oberfläche möglichst wenig Metallverbrauch – das ist die eine Frage die man sich stellen kann – zwei Optimierungsaufgaben – wie gesagt aber – das ist die erste Optimierungsaufgabe – Punkt die – Rohlingsaufgabe – Nummer eins wäre – lasse das Volumen fest – und optimieren – die Oberfläche – optimal Oberfläche heißt natürlich möglichst wenig Verbrauch also A soll sein ein minimumgegebenes – Volumen – die Dose so bauen es die Oberfläche minimal ist das wäre einer Führungsaufgabe – was wäre dann sinnvollerweise ✂ eine zweite Optimierungsaufgabe – als die anderer Dinos Aufgabe die nahe liegt wäre ich lasse die Oberfläche konstant – jemand hat mir – eine Ahnung über den halben Quadratmeter – Stahlblech geliefert – und lassen Sie die verarbeiten – lasse diese Oberfläche konstant – und versuche möglichst viel Volumen rein zu kriegen das Volumen maximal – in die Oberfläche minimal wird es wohl um Maximalvolumen – minimal wäre auch interessant – für Kofferhersteller – wie kriegen Sie bei möglichst viel Aufwand – möglichst wenig Volumen rein – ?? zu Weihnachten – will aber aus Ingenieur sich natürlich eher das Volumen maximieren das wären zwei – nahe liegende Optimierungsaufgaben – können sich noch andere Vorstände der Situation – die Käufer beide durchgehen – und dabei feststellen – das lustigerweise – etwas überraschendes dabei passiert – also ein Optimierungsaufgabe – des Volumen ist gegeben ich bestimme die – Fläche so – das sie minimal wird das heiß ich bestimme den Radius die Höhe so das die Oberfläche minimal wird und umgekehrt – was passiert wenn ich will dass die Fläche fest ist und das Volumen dann maximal – bei der sämtliche – Bauern – verstecken sie sich eine davon jeweils ich hoffe das verbessern Punkt ungefähr fifty-fifty hinkriegen decken sie sich eine dieser beiden Aufgabenvolumen – fest oder Oberfläche fest – und versuchen Sie das mit – Ableitung zu lösen ?? lokales Minimum lokales Maximum – eines hoffentlich das lokale Maximum auch das globale Maximum – lokale Minimum auch das globale – Mindestmaß eine dieser beiden Aufgaben – in dieser Situation ✂ der allererste Schritt wird sein eine der beiden Varianten loszuwerden – das können Sie noch gar nicht mit zwei Variablen sowie noch nicht verraten das komplette Semester dran – wie optimiere ich was in zwei Variablen – nun – in einer Variable – das Haus schon hin einfach durch Ableitung – gucken wo die Ableitung null wird und Ähnliches – ich werde man netterweise in dieser Situation eine Variable los denn wenn ich sage das Volumen soll als konstant vorgegeben – werden – dieses Dings eine Konstante sein – dann heißt das ja – wenn ihm jemand den Radius sagt können Sie die Höhe bestimmen alles nur noch eine Funktion vom Radius wenn sie sagen das Volumen ist – vorgegeben – mit dieser Gleichung können Sie alles mit dem Radius ausdrücken – Volumen vorgegeben Radius bekannt sind auch die Höhe kann – ähm – genauso – hier unten wenn denn die – Fläche vorgegeben – ist – wenn jemand die Fläche vorgibt – wer wäre bekannt – wenn sie deinen Radius wissen – können schon wieder die Höhe ausrechnen dasselbe als wenn sie eine haben typischerweise neben den Radius nehmen denke ich damit einfacher wird mit den Radius haben ist die Höhe auch bekannt dass wir der erste Schritt sein – dass sie die Höhe ausdrücken mit dem Radius – und dann – die Funktion die optimiert werden soll im ersten Fall wäre das ja die Fläche – des sie diese Funktion – dann nur mit dem Radius ausdrücken – im zweiten Fall wäre das – das Volumen – dass sie das Volumen nur mit dem Radius – ausdrücken ✂ mit dem ersten anfangen – das Volumen konstant – und die Fläche soll minimiert werden das Volumen konstant – das heißt – ja – ?? sie sinnvollerweise – sage die Höhe ist das Volumen durch die Malaquadrat – V gleich konstant – den Fall möchte ich betrachten – ich sage die Höhe ist gleich – wieder vergessen – die Höhe ist leichtes Volumen durch Pi mal R Quadrat – nun durch die Malaquadrat – das es elegant das so zu machen wenn nach ableiten will weil der nämlich dies Volumen eine Konstante ist das so als ob der dreizehn Kubikmeter stehen – dann besser nämlich die Formen in diesem Fall – und dass er sich nun ein in die Flächenformel – die Fläche war – zwo Pierre H plus zwei Pi R Quadrat – zwo Pi R mal harter steter – plus zwei Pi – R Quadrat – ein bisschen kürzen hier das Pica nicht gegen das Bikürzen – des Quadrat kann Gegenwehr kürzen – um – das hängt jetzt nur noch von einer Variablen ab und damit Komma dass schon – die Fläche in Abhängigkeit von einer einzigen Variable in dem ich fordere dass das Volumen eine Konstante ist die Fläche die Oberfläche nur noch von einer Variable ab jetzt wird er – Punkt was ich nun mache – ich Suche nach einem lokalen – belegen Fläche nach ?? lokalen Minimum notwendig – für ein lokales Minimum – ist das die Ableitung davon null ist null ist gleich – die Ableitung – der Oberfläche nach dem Radius – so hier steht zweimal – das Volumen – durch den – Radius – das ableiten – das es sowas wie zweimal dreizehn durch X ableiten wenn sie den ableiten – Potenzgesetze – X hoch minus eins kriegen sie minus und unten X Quadrat – das sie dir zweimal – das Volumen durch R Quadrat mit einem minus – minus zwei mal das – durch – R Quadrat gewidmet er abgeleitet – X geleitet – ?? könnte man auch mit Quotientenregel – machen – es ?? Nummer zu heftig mit Prozentzeichen einfach – altes Potenzgesetz – eher hoch minus eins er – das war der erste wenn sie da ableiten – R Quadrat wird zwei R – plus – vier Pi – eher steter hinten – das soll null werden Komma das auflösen – das er sich angucken was heißt das nun – auf beiden Seiten – zuerst ?? über die nicht in den Himmel auf die andere Seite des minus zwei mal das Volumen durch R Quadrat – nämlich rüber versteht ?? Pluszeichen – das Volumen durch R Quadrat ist gleich vier Pi – R – zwei PR stehen auf der rechten Seite des R Quadrat nimmt nämlich auf die rechte Seite rüber – entsteht AV ist gleich zwei Pi R hoch drei – oder das Volumen durch zwei Pi ist gleich R hoch drei – oder – er ist die dritte Wurzel aus dem Volumen durch zwei Pi – das aus einem – Wasserhahn jetzt noch nicht hübsch ist dass das hier – kein Verhältnis zu Verhältnisse irgendwas ähnliches zwischen – Radius und Höhe ist Sonderschichten – Radius Optimalrades – mit dem Volumen ausrechnen – vom gleich noch rum bevor ich das umformen – sollte ?? noch überlegen dass das auch wirklich das globale Minimum ist das überhaupt ein Minimum ist bisher weiß ich nur – die Fläche – hängt – irgendwie nun vom Radius ab und was ich nun weiß ist das an dieser Stelle – die Ableitung der Fläche nach dem Radius – Null ist das kann er sonst was sein – das kann lokales Minimum sein das kann lokales Maximum sein das kann das globale Maximum sein das kann das globale Minimum seines ganzen Sattelpunkt sein bisher Weise ganz was ist ich habe einen Kandidaten – für eine Stelle an der lokales Minimum liegen könnte – man könne sicherste Affäre ziehen immer die zweite Ableitung ausrechnet würden bisschen eklig – am – kann sich auch an das aus der Affäre ziehen in die man sich den Verlauf dieser Funktion hier an Punkt er steht zweimal – Volumen Durchradius – plus zwei Pi mal R Quadrat – wenn sie das – Plattenradius – sinnvollerweise – ja nur – Positivradius – Null wäre ja schon Blödsinnigradius – sinnvollerweise – positiv und ich bilde sowas zweimal – das Volumen – durch R – plus – zwei Pi mal R Quadrat was den Verlauf ist das im großen Ganzen ✂ sich den ersten Term angucken zweimal das Volumen durch den Radius – das muss irgendwas über ?? Familie sein sowas – der erste Term zweimal das Volumen durch den Radius explodiert in der Radius ganz klein – müsste der erste Term sein – der zweite Term zweimal Primaradius – Quadrat – hat was mit einer Parabel zu tun so sieht der zweite Term aus – und ich bilde jetzt die Summe aus diesen beiden – hin passt betrug – die Summe aus diesen beiden muss er irgendwie – so verlaufen – muss der Gesamtausdruck – verlaufen und sie sehen – beim besten Willen wenn es da – nur eine Stelle mit – horizontaler – Tangente gibt's – dann ist das ein lokales Minimum und es automatisch – das globale Minimum das ist der kleinste Wert – an der Stelle die Funktion überhaupt annehmen kann was anders kann ich passieren – an wenn jetzt mehrere null Stellen für die Ableitung gefunden hätte dann würde vielleicht so verlaufen – und ich müsste mir Gedanken machen aber ich habe nur eine einzige Nullstelle für die Ableitung Befundes kann nur so verlaufen nicht anders verlaufen – dazu brauche ich nicht die zweite Ableitung auszurechnen das festzustellen – und viel besser noch was für die zweite Ableitung ihm nicht sagen würde – ich sie auch das muss das globale – Minimum sein es kann keinen kleineren Wert gehen – mit der zweiten Ableitung wenn sie feststellen es ist ein lokales Minimum und kann lokales Maximum kann Sattelpunkt – aber eben nur nur lokal – was die zweite Ableitung nicht ausschließen könnte – ist dass es sich noch einen Wert gibt der kleine – ?? mit dieser Betrachtung sich es gibt gar keine andere Chance das ist das globale Minimum es gibt keinen Wert – für die Fläche die kleiner ist – das aufzuschreiben in Worten des natürlichen bisschen viel Fleiß macht man dann in der Praxis doch das mit der zweiten Ableitung – bei den – aber – das wäre die offizielle Begründung dann – an dieser Stelle wird also tatsächlich jetzt erst – über die Oberfläche minimal bei gegebenem Volumen – jede Form des ?? bisschen unübersichtlich – dieser für dich das gerne so schreiben – das ich eine Beziehung habe zwischen dem Radius – und der Höhe – wie baue ich eine Dose – so das beigegebene – Volumen die Oberfläche minimal wird – ausgedrückt – als Beziehung zwischen Radius und Höhe – Beistrich wenn sie da noch was kann ich jetzt irgendwas – sagen was das hier – mit der Höhe zu tun hat ein Einbezug zwischen Radius und Höhe ✂ folgendes – um das Komma klarzumachen – wenn das hier der Radius ist – kann ich jetzt die Höhe ausreichende dazugehört und dann kann ich ablesen was eine Beziehung zwischen beiden besteht das ist die Höhe – die Höhe ist das Volumen durch Pi mal R Quadrat – die Höhe ist das Volumen durch Pi mal – das ins Quadrat – rechnen Sie das mal aus – und gucken Sie was das an Beziehung – zwischen Radius und Höhe verursacht ✂ hier steht das Quadrat – einer dritten Wurzel also das Volumen – durch – Pi mal – das Quadrat einer dritten Wurzel ist das was in der Wurzel steht – hoch – zwei drittel – Bruch ein Drittel wäre die dritte Wurzel aber dann noch mal hoch zwei Exponenten multipliziert ?? hoch zwei Drittel – das Chamäleon auseinanderziehen – V hoch zwei Drittel mal – einzig zwei Pi hoch zwei Drittel bisschen kürzen – und vergleichen mit dem Mastdarm am Radius stand – dass sie noch bisschen vereinfachen – und vergleichen – mit dem was du Radius steht ✂ was steht hier steht das Volumen – durch das Volumen hoch zwei Drittel – oder ?? Imitationen – auseinander – das jetzt aufwendiger als es sein muss – aber genommen die potentiellen Gesetze habe ich den jetzt erledige das Volumen durch zwei Pi – hoch zwei Drittel das es einmal das Volumen hoch zwei Drittel – mal zwei Pi hoch – minus zwei drittel – Wassers gerade noch – das Volumen hoch zwei Drittel mal zwei Pi hoch minus zwei Drittel der sich der Teile – steht jetzt das Volumen – durch das Volumen hoch zwei Drittel – was passiert wenn sie das Volumen durch das Volumen hoch zwei Drittel teilen ✂ eine – eine – Zahl – durch zwei Drittel – hoch zwei Drittel von dieser Zahl – ist es ja die Zahl hoch eins durch – diese Zahl hoch zwei Drittel – durcheinander teilen heißt subtrahieren – eins minus zwei drittelsteter oben Exponenten – macht ein Drittel eins minus ein drittel – ein Drittel was hier übrig bleibt ?? das Volumen durch seine dritte Wurzel ins Quadrat teilen ist die dritte Wurzel auch wird hier ist die dritte Wurzel aus dem Volumen steht oben – also hiermit dritte Wurzel aus dem Volumen – des muss ich mich noch um die ganzen Pies hier kümmern – oben stets – minus – deshalb nach oben – zwei Pi – daraus – ins Quadrat der dritten Wurzel – durch – Pi – zwar nicht gerade übersichtlich – arm – war ?? mal ist – die – voller Weise gucken wie das ?? mache ✂ was steht hier das ist die dritte Wurzel aus dem Volumen – mal zwei hoch zwei – Drittel mal vier hoch zwei – Drittel durch – Pi – derselbe Trick – oben steht zwei drittel unten steht eins – eine Zahl – hoch zwei Drittel – durch hoch eins gibt dann – hoch ein drittel unten – der Kehrwert von – hoch minus ein Drittel – also unten bleibt die dritte Wurzel von tief stehenden habe ich hier die dritte Wurzel aus dem Volumen – mal – zwei hoch zwei Drittel durch die dritte Wurzel aus Pi – und wie – schön wäre jetzt irgendein Verhältnis zwischen R und H zu finden – der eine ist der Sohn zu Vielfache – vom andern sie sehen die dritte Wurzel aus dem Volumen steckt in beiden Rennen – die dritte Wurzel aus Pi im Nenner steckt auch in beiden Rennen – hier oben ist nur – durch die dritte Wurzel aus zweigeteilt – beim Radius – und bei der Höhe ist mit dem Quadrat der dritten Wurzel multipliziert – über das zusammen – das wie Vielfache – das wie viel fache des Radius – ist die Höhe wie kriege ich das zusammen – lebe durch die dritte Wurzel geteilt beim Radius – bei der Höhe – möchte ich ?? mit dem Quadrat der dritten Wurzel – multiplizieren ✂ okay die geschickte Art lernen wir es hoch drei zu nehmen – wenn dann kann man einfach kürzen wenn sie R hoch drei und H hoch drei vergleichen dann geht das auch dann fallen mir die ganzen dritten Wurzeln weg zwei hoch zwei durch drei – mit einfach noch zwei hoch zwei das geht auch ähm – immer der umständliche Weg – Punkt – hier muss zwei stehen die Höhe ist in diesem Fall – für diese Art der Optimierung – das Doppelte – des Radius – die – Dose muss so gebaut sein – ?? dänischen Falschdose – muss in diesem Fall so gebaut sein das der Durchmesser – zweimal der – Radius das den Durchmesser gleich der Höhe – am ?? verkommt die zwei jetzt der wenn sie zwei Schreiben als zwei hoch drei Drittel – es vielleicht einfacher zu sehen – die dritte Wurzel in die dritte Potenz zwei ?? eins – in dem Radius – steckt – hier steckt drinnen eins – durch die dritte Wurzel aus zwei – Versteck im Radius trennen – also – man irgendwas – eins durch die dritte Wurzel aus zwei – bis zwei ?? wie viel ✂ genau das ist der zwei hoch minus ein hundert minus für den Kehrwert ein Drittel für die Wurzel also in dem – in dem Radio steckt zwei hoch minus ein drittel trennen zwei minus ein drittel mal zwei hoch drei Drittel – Exponenten agieren zwei hoch zwei Drittel das in die zwei hoch zwei Drittel – wesentlichste Hände willen – geschickter ist ja eben vorgeschlagene Lösung – will sie aber die dritte Potenz von zu Hause ausprobiert wenn sie die dritte Potenzhauch – drei entfallen alle möglichen Drittel weg – wenn sie davon die dritte Potenz – und dann Faktor acht stehen das heißt die Originale haben um Faktor zwei – am Verhältnis – von Faktor zwei – das kommt bei der ersten Optimierung raus – eben gesehen dieses Haar gleich zwei er geht auch noch ganz eleganter wenn sie – hier anfangen und geschickt einsetzen geht es noch viel eleganter und das rechnen aber – mit den Potenzen scheint mir noch – etwas unsicher das ?? noch bisschen drauf behaart – das war die erste Optimierung – das Volumen des konstant – und die Fläche soll minimal werden A soll minimal werden dann finden wir müssen die – Dose so bauen – dass der Durchmesser – zwei er gleich der Höhe ist – der nächste wäre jetzt dessen letzte wäre die Fläche konstant lassen und das Volumen zu maximieren – versuchen – Fläche konstant – A ist gleich konstant – und ich suche – V soll das Maximum – sein – weil ich einfach rückwärts – rückwärts genau umgekehrt arbeiten wie eben – ich benutze die Gleichung für die Oberfläche – um die Höhe auszurechnen – aus dem Radius – und setze das dann ins Volumen ein – andersrum als es eben war sowas war die Gleichung für die Oberfläche – diese Gleichung windet sich um die Höhe auszurechnen – also arm minus – ?? kopieren kann – ?? nehmen und sich um die Höhe auszurechnen – aus der konstanten – Oberfläche und den gegebenen Radius – kriege ich also dass die – Höhe – ist gleich – großer Bruchstrich – A minus zwei Pi R Quadrat – durch zwei Pi – er – einverstanden an der Stelle – sie bringen zwei PR Quadrat rüber – und teilen durch zwei PR – können noch kürzen das ist also A durch zwei Pi eher – minus und die kürzen sind zwei können Sie kürzen Pi können Sie kürzen – Quadrat gegen eher kürzen – ?? einfach minus er – so – und das setzt sich – indes Volumen – ein – das sollte minimiert werden das Volumen ist also was war das Volumen – zurück – Klammer auf Pierre Quadrat mal Haar gesetzlich jetzt diese neu gewonnene Höhe ein PR Quadrat mal meine – berechnete Höhe – Pi mal R Quadrat mal meine Höhe also A durch zwei Pi eher minus – er – macht – ordentlich Auswahl aus Pi mal R Quadrat mal A durch zwei Pi eher – minus – Pi mal R hoch – drei – erste steht da zwar steht da ein bisschen kürzen das Pi gegen das Pi – dass er Quadrat – das Quadrat gegen das er nach unten – und haben also das ist – ?? halbe – nicht vergessen ?? halbe Mal eher – minus Pi mal Opfer ins – Minus Pi mal R hoch drei – und jetzt wieder dasselbe Verfahren – ich suche – das maximale – Volumen – Converse war nach – einem lokalen – Maximum – notwendig – für lokales Maximum – wäre das das in der Ableitung null wird das Ableitung – die Ableitung des Volumens nach dem Radius soll Null sein muss null sein für lokales Maximum – kann noch lokales Minimum sein wenn Sattelpunkt aber – wenn ich auf der Suche nach lokalen Maximum bin muss ich mindestens das haben die Ableitung ist nur das gibt – nach R bleiben davon steht A halbe minus und denen er ableiten ist dreimal Pi mal – R Quadrat aus dem er hoch drei betreibt die R Quadrat – das wieder relativ schlicht – in das null sein soll mich nur zentrale Tangente habe brauche ich also eine halbe ist gleich – dreimal Pi mal R Quadrat – mit anderen Worten – er ist gleich – drei Pi überbringen – A durch sechs Pi – und die Wurzel hoffentlich – drei Pi bringen sie rüber entsteht dadurch sechs violett sind die Wurzel an dieser Stelle natürlich nicht minus die Wurzel – der Radius negativ ergibt nicht viel Sinn – an – der Radius muss positiv sein – das Grinsen raus – an der Stelle – und – nur an dieser Stelle – hat diese Funktion – eine horizontale Tangente – Komma sich wieder überlegen ob es das indes unbedingt – das – lokale Maximum was ich suche ist das sogar das – globale – Maximum – was ich suche – war eine Skizze – Funktion hier – Blumen in Abhängigkeit – vom Radius – ob sie das Volumen in Abhängigkeit vom Radius – wie verläuft diese Funktion hier das ist das Volumen in Abhängigkeit – vom Radius – der ✂ erste Term ist eine steigende – gerade sogar eine Ursprungsgerade – und der zweite Term – ist eine – fallende – kubische Parabel – so in dieser Form die beiden werden voneinander abgezogen sie sind – für – was das werden mag – dann – an dieser Stelle würde ich noch – was anderes tun – sehen Sie wie Sie das hier umformen – können damit bisschen leichter wird ✂ das sie mit ihr viel schicker wenn sie eher ausklammern ich schreib das ein bisschen kleiner wenn sich hier eher ausklammern – steht da – er mal Klammer auf – A halbe – minus – Pi mal R Quadrat – das er rausnehmen – und aus diesen drei erst eins rausnehmen – kann man jetzt besser erkennen was diese Funktionen so tut ✂ der – Gibson Achsenabschnitt ?? Gesang der V Achsenabschnitt – ist nur wenn sie den Radius gleich Null einsetzen kriegen sie auch null raus sie steht auch ein konstanter Term dabei nicht plus dreizehn sondern – plus null – also sie läuft durch den Ursprung – das ist doch schon mal was sie läuft durch den Ursprung – was kann man mit dem zweiten Termin – noch machen was könnte aus dem Erkennen ✂ der zwei dir gerne auch noch null werden etliche weitere Nullstelle – im positiven Radius – wenn ich hier den Radius so wählen – dass das Quadrat – gleich A durch zwei Pi ist das Quadrat vom Radius A durch zwei Pi ist die da Null – in der Radius also die Wurzel aus A durch zwei Pi – hier hinten – null – Quadrat davon ist ?? durch zwei Pi mal Pisa durch zwei halbe minus das macht nur ich habe zwei null Stellen – es gibt eine weitere Nullstelle auf der linken Seite aber interessiert mich wenig weil ich keine negativen – Radien haben will – und zwischen diesen beiden null Stellen – kann es keine weiteren Nullstellen mehr geben Polynom – dritten Grades – wird Nullstelle ganz links zwischen diesen beiden null stellen wir die Funktion positiv hob sie wird die Funktion positiv – damit sie negativ – davor sie auch negativ so sieht das aus das heißt – die gibt's sogar nicht die Grenze für den Radius nach oben ein Radius – über Wurzel A durch zwei Pi ergibt keinen Sinn – wenn man Volumen negativ würde irgendwas gerät aus den Fugen bei meiner Konstruktion an Schein ist das ganze mehr zu erreichen dass ich bei der vorgegebenen Fläche – an – was vernünftiges machen kann – Punkt das heißt man Radius hatte harte Grenze nach oben in diesem Zusammenhang – Wurzel A durch zwei Pi bei zwei – an – und in dieser Situation – eine kubische Parabel – so sehr verlaufen eine kubische Parabel sie kommt von links oben wegen des minus hier – die Komfort links oben so läuft sie dadurch – in der Situation habe ich jetzt gefunden – und wir haben eine horizontale – Tangente bei A durch – sechs wieder aus die Wurzel – ?? wunderbar das kann nur ein globales – Maximum sein – linken Teil denn ich ja aus weit negativer Radius verboten den Teil rechtsbündig Auswahl – negatives Volumen verboten – dieses Stückchen mir das es meine Funktion – nicht angucke – und die muss an dieser Stelle – ein – globales Maximum haben nicht nur ein lokales es gibt keine andere Chance – Könner für die zweite Ableitung ausreichend fest eine zweite Ableitung wird negativ sein ?? – schön aber wozu soll das machen wenn's schon vorne von vorne rein klar etwas passiert – so – was in diesem Fall am ?? von der Radius ist die – Wurzel aus der Fläche – durch sechs Pi – und nun wird mich wieder das Verhältnis – interessieren – können von Radius – und – Höhe ?? gucken womit die Höhehöhe – wird aber die Höhe – die Höhe ist – Fläche durch zwei Pi eher minus er – die – Fläche – durch zwei – Pi mal – den – minus den – gab es keine schlechte Übungsgesetze Nummer ausrechnen – Fläche durch zwei Pi mal den minus stehen was passiert mit den Wurzeln – weiter – A durch zwei Pi gratis meinen – Art durch sechs Pi unter der Wurzel – minus – Wurzel A durch sechs Pi – ja wirklich die Wurzel zerlegen – fahren – und steht zwei Pi – diese Wurzel hier A durch sechs Pi daraus die Wurzel ist Wurzel A – durch kurze sechs Pi durch Wurzel sechs Pi heißt oben – mal Wurzel sechs Pi – wahrscheinlich – besser schon ?? fortzuschreiben – nach – Wurzel dreimal – Wurzel – zwei Pi – verfolgt das noch das entwurzelte sechs Pi – hier die Wurzel sechs Pi habe ich nach der oben gebrachten zwei Pi dass ich sie gleich kürzen kann – das ist der erste den zweiten – lass ich stehen Wurzel A durch sechs – Pi – A durch Wurzel A – ist Wurzelar – war durch Wurzel A auch eins durch auch ein halb ist aber hoch – ein halb oder – ihr steht die Wurzel des Quadrat – als seine Musikquadrat – durch die Wurzel gibt die Wurzel – umgekehrt hier bei den zwei Pi und steht – die Wurzel von zwei Pi ins Quadrat – oben steht die Wurzel unten bleibt die Wurzel durch Wurzel zwei Pi – unterbleibt – jedoch Wurzel drei – neue – ?? so klug das ich das auseinandergenommen – habe Business – minus – Wurzel A durch – sechs Pi irgendwie muss ich das jetzt hier mal auf – einen Nenner bringen ?? an – sinnvoll wäre ja wenn ich das sofort mit dem Radius vergleiche – beim Radio stehen sechs Pi der unten – in der Wurzel – war Hinweis hin – ich versuche mal den Radius auszuklammern – A durch sechs – Pi in der Wurzel war durch sechs Pi – in der Wurzel auszuklammern – hinten steht minus eins – die vorne sitzen bis ins Wiki – ich habe das Ergebnis sind drei – ?? des leichter – hier drinnen die zwei Pi habe schon erledigt – Wurzel drei und muss sie noch erledigen drei durch Wurzelreisen – in der Tatwurzel drei Ruf – was dann rauskommt ist Wurzel A durch – sechs Pi – mal zwei – also – Waschung zweimal der Radius – zweimal – Radius – selbst Ergebnisse eben – also der kürzere Weg warf ✂ ?? folgende – Erman nimmt – dieses hier A ist gleich sechs Pi R Quadrat – A ist gleich sechs Pi R Quadrat – und setzt das hier ein die Höhe ist gleich sechs PR Quadrat durch zwei PR minus er – sechs PR Quadrat durch zwei Pi eher minus er – daraus folgt die Höhe ist gleich – Fläche sechs PR Quadrat durch – zwei Pi – eher minus er – die Kürzen – der Radius sie kürzen sechs gegen zwei macht oben dreißig kürzen Pi gegen Pi – und da steht dass es dreimal der Radius minus der Radius ist zweimal der Radius – an sie nur in der richtigen – Reihenfolge rechnen geht das viel simpler – am – aber – sauberer Wurzeln in Aktion gesehen ginge tatsächlich auch ohne Wurzeln übersichtlich macht also hier kommt dann aus – bei dieser Art der Optimierung – ähm – der Durchmesser – ist gleich der Höhe – kommt nicht drauf an ob sie – ?? – nicht drauf an ob sie bei gegebenem Volumen – die Minimalfläche – suchen oder bei gegebener Fläche – das maximale Volumen – es kommt – gerade dasselbe raus – immer das der Durchmesser gleich der Höhe