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09C.1 inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten


CC-BY-NC-SA 3.0

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Differenzialgleichungenlösen nach Rezeptsie bestimmen malfolgendesfinden Sie??erstensallgemeineLösungsalgemeineLösung LSGvoller Menschvon folgender DifferenzialgleichungenY Strich plusdrei Ygleich Nullals nächstes finden SieeinespezielleSchreibtischbezeine spezielle LSGvon folgender DifferenzialgleichungenY Strich plus drei Yist gleich X Quadratund dann finden Siedie allgemeineLösungvon Y Strichpunktdrei ?? Y ist gleich X Quadratzum Schluss finden Sie letzter Teildie LösungvonY Strich plus dreiYist gleich X Quadratdie die Eigenschafthat das sie für X gleich vierY von vier Y an der Stelle ist gleich vier gleichfünf istdas jetzt wirklich voll rezeptmäßigso würde man dran gehen wenn ichdieses hier unten lösen willdiese Differenzialgleichungenzu dieser Anfangsbedingungenwürde ich so vorgehenPunkt aus buchstabiertdas in Einzelschritten sehen immer dahin kommen könnenBeistrich so eine Differenzialgleichungenlösen das wenn die Schritte die manvorhermachtähm sicherheitshalberdiese Differentialgleichunghierwas ist das überhauptfür eine Sorte Differenzialgleichungenso eine gewöhnliche Differentialgleichungklar machen diese Messe nicht anders als gewöhnlich die Wassergleichungkeine Patientindas bayerische gewöhnlich partiell ordinär wie barscheBeistrich welchen ich leite nach einer Variablen ab und dann ist auch gut eine gewöhnlicheDifferentialgleichungerster Ordnung aber der Spannende jetzt istdas sie Lineal istdie gesuchte FunktionY und ihre Ableitung tauchen im Jahr auf ihr steht nicht Y Quadratbestätigte Sinus von Y Strich steht auch nicht das Produkt ?? Trennstrich Mann Y die gesuchte Funktion tauchen Lineal aufuns diese lineare Versagergleichungistinhomogenwenn ich einen Lineal Differentialgleichunghabe kann ich sagen ob die homogenesoder inhomogendiese hier ist inhomogenfälligeren Ausdruckes in demY Trennstrichdie Funktion ?? Besuche und ihre Ableitungen nicht als Produkt dannals Faktor eingeflochten sind wenn ihr Stunde X Quadrat mal Ywäre siehomogenwenn ihr ständig Zweirad mal Y Strichder Seite wäre sie auch homogenen ?? steht nach X Quadrat ist inhomogenund was sie jetzt sehen ist das übliche Verfahrenzur Lösungvoninhomogenen?? in den Jahren Differenzialgleichungenalso wenn ich diese Klassifikationhabe den ja inhomogen dann weiß ich okay aus dem Rezeptbuchdieses Rezeptwar das mal in einzelnen Schrittenwie das funktioniertdie allgemeine Lösung dieser Differentialgleichungjetzt wenigerhomogenhomogen gemachtich hab diese Inhomogenitätenbeseitigtdavon suche ich die allgemeine LösungvonY Strichplus drei Y gleich nullnebenbei homogenBeistrich immerhin schreibenden Jahrüberlegt man sich als erstesJahr sein musshomogenund konstante Koeffizientenwas das ganzenoch leichter machtdie drei Konstanzdie einzig konstantschreibe das mal so diese Differenzialgleichungenist äquivalent zu Y Strich ist gleich minusdrei mal Yund das ist ein Differenzialgleichungenvon der man das dann irgendwann auswendig weißkorrekte Begründung am Donnerstagversah gleich mit brennbaren Variablen aber hier weiß müssen auch irgendwann auswendig die Funktion abgeleitetist ein konstantes Vielfaches mal die Funktiondas kennzeichnetdie Exponentialfunktiondie allgemeine Lösung hiervon ist eine Exponentialfunktionalso AnsatzYvon X ist gleich eine Konstantemal die HochbeamerX das wäre die allgemeine Exponentialfunktionangesetztwenn ich das Einsätzein meine Differenzialgleichungenstelle ich also festes muss gelten hiervon die AbleitungA mal die hoch P mal X äußere Ableitung von ihr immer links bleibt ?? Malik Smart in Ableitung B kommt runterdass die linke Seitedas muss also sein minus drei malwas ihr steht paarmalE hoch B mal X für alle X Fragezeichenfür alle X?? B mal X ist niemals nur durch Teil auf beiden Seitendurch ihre ?? Matrixund Kriege an mal Bist gleichminus drei Awird eine ganz banale Lösungwar gleich nullVerlust Beistrich die die ganze Zeit nullB gleich Mindestpreis offensichtlich was ich fordern muss A gleich null istnicht gerade sehr hilfreich die Fusion ist die ganze Zeit gleich nurgleich minus drei soll's werdenalso die allgemeine Lösungdie allgemeineLösungvon dieser Differentialgleichunghier Beistrich dass ?? gleich nullTrennstrich plus drei Y gleich nullWert werdenY von X ist gleich eine Konstantemal eben hoch minus drei Xund A ist frei wählbar?? das ist die allgemeine Lösung dazu das was man denn irgendwann auswendig auf Wissens heute schon auswendigwenn ich diese Kiste hier sehe denke ich nicht nur nach sondern ich weise fordertediese drei minus muss in den Exponenten mal Xoder irgend eine Konstante davor Feierabenddas ist die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichungenden Jahr homogenkonstante KoeffizientenKomma dann irgendwann sofort hinschreiben sollte ?? sein erster Ordnungbei höherer Ordnungin Jahr homogen konstante Koeffizientenkann es etwas komplizierter werden aber Regelfallhabe ich bei höherer Ordnung auch irgendwas mit wie hochirgendwas Matrix stehenirgendwie raffiniert kombiniert ?? das ist erste Ordnungden Jahrhomogen konstante Koeffizienteneine Kommentarfunktionsie machen weiter mit einer speziellen Lösung von dieserin homogenDifferentialgleichungwenn ja inhomogenich rate irgendein Yzumindest ein Ansatz für so Ywas das kann dass die Ableitungplus dreimal die Funktion des X Quadrat ist gerade ein Ansatzundmache denen konkrete Suche eine spezielle irgend eine Funktion nutzen Sie das kann im Admin allgemeineLösung jede Funktion dieses kann suche ich eine irgendeinedie dieses kannso seine Teil eine spezielle Lösung von ?? Beistrich sei Y ist gleich X QuadratPunktich suche Komma ausdrücklich einenicht die spezielle Lösung an dieser Stelle sondern nur eine spezielle LösungvonY Strich plus drei Y ist gleich X Quadrat ich suche irgend eine Funktion wie das kann irgendein Y was das kannund darf es dann kreativdas es ungewöhnlich wahrscheinlich für sie in der Mathematik dass es kreativ wird immer wenn ein Ansatz gesucht wird ist es kreativ ich versuche jetzt zu raten okay was könnt es denn gewesen seinirgendein Y sodass die Ableitung plus das dreifache der Funktionklein X Quadrat istsie können einfach die lange Liste Funktion für ihrem geistigen Auge vorbeiziehen lassenals es alle mal etwas auf uns unser abseilen ist unser Fusion ist es Massa Funktion plus dreimal ?? Konservenzonedas wirkliche Quadratdie Wurzelfunktionwohl auch nicht Sinusmit abgeleitet Kosinus großes B einmal Sinus mit auch nicht fusionieren Rhythmus ist einzig X abgeleitet ??mit als auch ?? fusioniertwir nehmen natürlich sinnvollerweiseirgendwas mit X Quadratin dem Y muss irgendwas mit X Quadrat drin stehen drei mal X QuadratAha Punktwas wird er nicht Quadrat drinstehen sondern wird der X Quadratsdritteldrin stehen die meisten von ihnen haben setzte sich ausgerechnet aber dasausrechnen sie zuvor das Musik zwar Drittel seinin dem Y groß X war der dritte drin stehendamit hier X Quadrat stehenhabe ich bei dem Y Strich die Ableitung von diesem Ding sind zwei drittel linksjetzt wird's heikel jetzt fange ich an mit Variablenhier vorne habe ich zwei Drittel X durch die Ableitung zwei Drittel X muss nur wegfallen ist das nämlich so muss es mit X drin stehenschreib mal B bei ?? angefangen haben groß B mal Xbisschen Y was drin ist damit die zwei drittelX loswerdenaber dann wird der ?? abgeleitet davon steht BKonstante muss sie einer loswerden erfreuliche Mordlust sehendas ist mein Ansatz?? jetzt abstrakt merken wenn die Störfunktionsinhomogenitätendie Störfunktion ein Polynom zweiten Grades ist setzt sich ein Polynomzweiten Grades als Lösung anmeine Hoffnung wäre das jetzt keine Rezepte dafür brauchen sondern dass sie das sehen können ?? muss offensichtlich ein Polynom zweiten Grades seinden ersten Koeffizienten kann sofort hinschreiben und die beiden anderen sind bisschen eklig aber die Gerichte durch Einsetzen rausdas jetzt also mein Ansatzfür eine möglichst einfache Lösung gesehen gleiches gibt eine etwas kompliziertere Lösung aber das wäre ein Ansatz von möglichst einfachen Lösungdirekt was mit X Quadrat ausprobierenwenn ich den Einsätzeständig im Fest die Ableitungalso zweiDrittel X den ja ableitengroß Bdas ist die Ableitungder beiden CDs rausdie Ableitung plus dreimal diese Funktiondrei mal X Quadrat Drittel plus B X plus Csoll seine X Quadrat für alle X Fragezeicheningenieurmäßigsodreimal X fordert drittel ist gleich X Quadrat und so weiter gerade gebaut dass es geschenktder Pflicht schon mal raus ?? dieses ein Drittel ?? gebaut??es gibt soweitere Gleichungen dich jetzt ablesen kannwas steht auf der linken Seiteauf der linken Seite steht zwei drittel mal X plus drei D mal X zwei Drittelplus drei Bmal XDrittel mal X plus drei B mal XundB und dreizehndas ist die Gleichung einer geradendiese gerade soll die ganze Zeit null ergeben dann wissen Sie die Steigungist nullund sie wissen der Achsenabschnittist nullgibt mir zwei Gleichungen für zwei begann schon wieder lineares Gleichungssystemdie Steigung muss Null sein setzt sich zusammen aus zwei drittel und drei Bund der Club ?? muss ?? Seite des Sommers B und dreizehnzwei Gleichungen für zwei unbekannte hier aus der ersten Gleichung folgt Beistrichdass drei Bgleich minuszwei Drittel ist B ist alsominus zwei neuntelProbe rechnen dreimal minus zwei neunteleine drei kürzen sind minus zwei Drittel des ?? drittes nullaus dem hier folgern siedas sehengleich minus B Drittel istminus B dritte B rüber bringen durch drei teilen minus B Drittel sind pluszwei sieben zwanzigstedamit kenne ich eine spezielle Lösungaber ausdrücklich eine noch mal davor damit das klar ist ein spezielle?? wurde zur Feier des Tages ausgeschriebeneine spezielle Lösung wäre Y von X ist gleichX Quadratsdrittelminus zwei neuntel mal X plus zwei sieben zwanzigsteeigentlicheigentlichmüsste man jetzt das noch mal einsetzen und gucken ob wirklich passt wenn sie diese dauernden einsetzenob das da oben wirklich passtin ?? die ganze Zeit die Folge weil ich ja nur von oben nach unten gehabtaus offensichtlich dass es passt das tut mir jetzt nicht ein hundert ?? sich eine Stelle auch nicht antun ist offensichtlich dass es passteine spezielle Lösungsodas Urteil zweifinde so Teil zweiwird durch die allgemeine Lösung von der ?? in homogenursprünglichenDifferenzialgleichungenkann man diese Inhomogenkistesowie die allgemeine Lösungmüsse relativ einfach sein untersucht eine ganz besondere spezielleVersicherung da machen die spezielleauch das ist eine spezielle Lösungdie spezielle Lösung diedurch diesen Punkt läuft an der Stelle ist gleich vierhundert fünf rauskommender große Witz ist jadass sie hier für die allgemeineLösungvon derin homogenin Jahr DifferentialgleichungeinfachZeile eins und seine zwei addieren sowie Steuererklärung sozusagen hier steht die Summe aus Zeile eins Und-Zeichenzweisie nehmen die allgemeine Lösung der homogen gemachtenindianischen sah Gleichungssystemeine irgendeine spezielle Lösung von der ursprünglicheninhomogenaddieren das zusammengegen die allgemeine Lösung von der inhomogenbeseitigen inhaltliches aufs Gericht dargestelltwenn sie zwei Lösungen haben sie zwei Lösungen von dieser Gleichung hier haben dann ist die Differenz der beiden Lösungeneine Lösung dieser Gleichung ist es in den Jahren gleichen System wie der Kerngleich null dasselbe Verfahrenalso bringt die allgemeine unten in dem ich sagen in die allgemeine hier von plus an spezielle davon zusammen addiertdie allgemeineLösungvon Y Strich plus drei Yist gleich X Quadrataktiviert werden Y von Xdiesespezielle Lösungder inhomogenoriginalenDifferentialgleichungX Quadratsdrittelminus zwei neuntelX plus zwei sieben zwanzigsteplus die allgemeineLösungjetzt war es immer alle anschriebplus die allgemeine Lösung der homogen gemachtenRuine null stand Amaliehoch minus drei Xdas ist die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichungenich hab nicht eine einzige Lösung ich habe unendlich viele Lösungeneine Parabeleine nach oben geöffnete Parabelplus eine abklingendepositiv odernegativ abklingen Exponentialfunktiondas ist meine allgemeine Lösung versichert meine Parabelwirklich als irgendwo eine Parabel nach oben geöffnetund hier kriege ich eine abklingendenExponentialfunktionmit ihrem Faktor davorden ich einstellen kann die Summe aus diesen beiden dass es meine allgemeine Lösungjetzt will ich aber zum Schluss keine allgemeine Lösung haben sondern ich will eine ganz bestimmte haben so ist das dann auch üblicherweisereale Probleme hatte ich such nicht die allgemeine Susanne suche eine ganz bestimmte Suche die eine Lösung die eine Stelle vierden Wert fünf hataber ein Anfangswertgegeben ich weiß zum Beispiel hier geht's losdas ist mein jetziger Zustandab da geht's los und möchte wissen wie's weitergehtdas heißt ich nehme wieder die allgemeine Lösung hierund versuche die so einzustellen das A so einzustellendas der richtige Funktion wird an der Stelle vier rauskommt?? ich suche jetzt also die spezielle Lösungvon Y Strich plus drei Y ist gleich X Quadrat mitY soll an der Stelle gleich viergleichfünf seindazu muss ich immer das richtige A findenich brauche also fünf kommt raus von den Leuten Ausrufezeichen fünf soll rauskommen wenn ich Bilderdie einsetzen also sechzehnDrittelminusO je acht neuntelplus zwei sieben Zwanzigstelplus A mal E hoch minusvier solch einsetzenzwölfdaraus will ich das A bestimmenPunkt sie bringen das auf die eine Seitedas heißtdiesen ganzen Kram auf die linke Seite unter Modifizierungmit ihrer hoch zwölfdie rüber bringenfünf minus sechzehn Drittel den ?? überbringen plus acht neuntel den rüber bringen minus zwei siebenundzwanzigsteerstehen die alle auf der linken Seitedas es gleich Armanihoch minus zwölfE ?? zwölf rechtlich weg haben muss sich auf beiden Seiten mit ihrer plus zwölf?? seit Mario plus zwölften Juni zwölf ?? plus zwölf ist Strauß war es dasgibt irgendwas fürchterliches sich Tausendsassanicht so spannend was da rauskommt zufällig A bestimmenund dann weiß ich was ich da einsetzen mussBeistrich also Yvon X ist gleich????in das Wasser auswendig X Quadratsdrittelund so weiter und so weiterlos und ersetzen Sie dendieses Monstrum da einmal die hoch minus drei Xdass wir die spezielle Lösung sein?? an der Stelle vierden vorgeschriebenenWert hat