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11A.2 Stabilität von Differentialgleichungslösern, A-Stabilität, explizites Euler-Verfahren


CC-BY-NC-SA 3.0

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?? – Komma was zur numerischen Lösung – eine ganz billige Differenzialgleichung – Y Strich ist gleich K mal Y – und dieses K hier – soll eine Konstante sein – und zwar eine Konstante die kleiner ist als – Null – was wissen Sie dann über alle Lösungen dieser Differenzialgleichungen ✂ exponentiell – Zerfall das ist die von zahlreichen sequenziellen – Zerfall – Punkt also weiß ich von vornherein jede Lösung wird zum Schluss zu nichts werden wir zu Null werden – an – eine spezielle damit's nicht ganz so – kompliziert machen wird – er in dem ich das als Anfangsbedingung – egal welche anfangs Bedingung ich nehme – wissen wir kommerzieller Zerfall – äh dieses Y von X wird gegen null gehen – für X gegen unendlich – Komma sich mal die numerische Lösung angucken wenn sie dieses explizite Eulerverfahren – nehmen – oder vorwärts – noch genannt – was wird das machen – schön wäre wenn das Eulerverfahren – zumindest – dafür sorgt – dass die Lösung dies produziert auch gegen null geht – nichts anderes tut – Komma unter welchen Umständen das der Fall ist – es explizite – Euler – besonderen Zeit Schritt – benennen – über den Zeit Schritt – delta X – H heißt der manchmal auch – was passiert – dann – das effiziente ✂ Eulerverfahren – Euler vorwärts macht wirklich das – dümmste was man tun kann – erahnen – wenn ich wissen will was Y – von null – plus delta X sich also – ist – ein Zeit Schritt einmal weitergegangen – vom Staat Punkt man sage ?? okay das sollte sein – was Y – vorher war zum Zeitpunkt null eins – vorgegeben – Schluss – jetzt mit der Ableitung ausgerechnet – wenn sie nicht anderes wissen – als die Ableitung zum Zeitpunkt null wenn sie doch davon ausgehen okay in der Zeitspanne – delta X komme ich weiter delta X mal – die Ableitung zum Zeitpunkt null – aber die Ableitung zum Zeitpunkt null ist Kamal – den Wert zum Zeitpunkt null Komma eins – das würde ich als erstes erwarten – demgemäß – weiter rechnen – der nächste Schritt bei Euler – zwei delta X – ein – Zeit Schritt weiter jetzt zwei Zeitschritte – weiter vom Anfangszeit – Punkt – was muss dann und stehen ✂ ?? also Startwert ist das Ergebnis des letzten Schritts da bin ich jetzt eins plus delta X mal K – und es muss was dazukommen – was mit der Ableitung zu tun hat ✂ dass der wird ?? erreicht haben nach dem ersten Zeit Schritt – sollte zweite Zeitschrift okay – das ist dieser Wert plus das was mir die Ableitung – beim ersten Zeit Schritt – dann sagt nämlich delta X mal – den Wert der Ableitung – beim ersten Zeit Schrittableitung – beim ersten Zeit Schritt kam mal der Y wird beim ersten Zeit Schritt GK mal was daneben stand plus kam mal was würde eben hatten eins plus delta X – mal K – jetzt etwas unübersichtlicher – mangels Wissen zusammenfassen – soll Komma sagen die Term herkommen – der aller erste Zeit Schritt – was man Anfangswert für Y und jetzt gehe ich so viel weiter wie mir die Ableitung zu diesem Zeitpunkt sagt – zweiten Zeit Schritt ich starte da wo ich eben gerade angekommen bin – und gehe um soviel weiter wie mir die Ableitung zu dem Zeitpunkt davor sagt – und so weiter und so weiter das ist das explizite – Verfahren – handelt sich immer mit der aktuellen Ableitung weiter – in – indianischer Angst dass sie hinten bisschen freundlicher zu schreiben das man vielleicht wegen Art von Gesetzmäßigkeit – erkennen kann ?? zum dritten und vierten und so weiter geht ✂ zwei Minuten suchen hier das vorne kann man lustigerweise – ausklammern – eins Plus delta X mal K – Klammer auf – einmal – Schluss – delta X mal gar – versiert – zu erkennen – ?? vorne der – Einfluss der Lexmark einmal eins – sehr vorne – und jetzt kommt noch – der Dax K – mal als Extrataste – dahinten – das es ja absurd das ist also eins Plus delta X K – ins Quadrat – aus ganz raffinierten Gründen – bin ich zum dritten Zeit Schritt gehe – weiterhin so ganz ausführlich null plus – drei delta X – dann bin ich also nach Euler – bei welchen Wert ✂ klar was passieren muss sie kriegen ?? hoch drei – eins Plus – X – hoch drei – es ist ja der Originalwert – einmal das was wir eben erreicht hatten wir eben Plus – delta X mal K – mal den alten Funktionswert – ?? zusammenfassen – ?? schon wieder Faktor eins der Text K rausgezogen – und so weiter – das wird also passieren – mit Euler – wenn sie ?? sowie Zeit Schritte weitergehen – können Sie das als Ergebnis und die große Frage ist – ist das halbwegs – brauchbar – halbwegs brauchbar will sagen geht das gegen null – geht dieses hier – also eins Plus delta X mal K – hoch ähm – wenn ich ein Zeit Schritt nach dem nächsten Rechner und weiter und weiter – bis ins unendliche – geht das gegen null – Fragezeichen – für N gegen unendlich – wenn ja wann wenn nein nicht – in das ist das ?? was ich haben will – meine Original – Differenzialgleichungen – für K kleiner als null negatives gar meine Original Differentialgleichung – ist ein spezieller Zerfall – und ich weiß das die Lösung gegen null geht ohne wenn und aber – es wäre schön wenn das Eulerverfahren – das auch scharf gesehen gleicht – nicht unbedingt – muss müssen vorsichtig sein – das es was das Eulerverfahren ausgerichtet – und ich würde jetzt gerne wissen ob das Eulerverfahren – dutzendweise – wann das Euler Verfahren denn auch – einen Wert hat der immer dichter immer dichter an null ist – und wann das Euler Verfahren ein Problem hat – und uns ein Blödsinn liefert – ein Wert der nicht immer dich da nur nicht das ganze ?? auch passieren ✂ wichtige Beobachtung ist hier eine Exponentialfunktion – zu erkennen hier steht bla hoch ähm – welche Exponentialfunktion – und – gehen gegen Null nach rechts heraus ✂ gar – nichts einfällt Beispiele – zwei hoch ähm – zwei vier acht das gibt definitiv nicht gegen null – minus zwei hoch ähm – minus zwei – so eins – vier ?? hoch zwei – minus acht hoch drei das wird auch nichts – ein halb würde funktionieren – Arbeitsmittel – ein achtel das geht gegen null minus ein halb erstaunlicherweise – auch im ?? keiner gemerkt hat ?? minus ein halb würde auch funktionieren – minus ein halb ein viertel minus ein achtel – ein sechzehntel geht auch gegen null eins will es nicht machen Einzug ähm eins eins eins eins eins geht nicht die null minus eins macht es auch nicht minus eins plus eins minus eins plus eins auch nur – wenn sie etwas übrig bleibt – damit das gegen null geht's – nur dann – schon schreiben dann und nur dann – genau dann wenn – dann – und nur dann – wenn das was innen drinnen steht – Beistrich dass hier mal – ich ?? also wenn der Betrag – von Einsplus – delta X K – kleiner ist als eins – also wenn das was hier in der Klammer steht die Basis meiner Expresshafen zu wenn die größer ist als minus eins – und kleiner ist als plus eins – minus ein halb erlaubt nur – hier drin sowieso erlaubt – plus ein halbes erlaubt nur Komma neun Bruch eines erlaubt minus null Komma neun Rennen erlaubt eins Komma eins ist nicht erlaubt eins Komma null es schon nicht erlaubt und minus eins Komma null ist auch nicht ?? – also genau wenn das hier gilt – dann verhält sich dieses – Eulerverfahren – das explizite Eulerverfahren – brauchbar – die Lösung geht gegen Null – wie im Original – an – was passiert denn sonst was passiert denn eigentlich – bin jetzt zwei stünde – was habe ich den eigentlich falsch gemacht bin hier ✂ zwei steht – Beistrich einen ziemlichen Blödsinn gemacht werde kann nämlich nicht negativ – er oder der täglich Nickel weitere Details negativ das kann so nicht in einer sie können sie niemals zwei rauskriegen – es sei denn sie haben einen negativen Zeit Schritt oder sie haben ignoriert was ich am Anfang gesagt habe ?? ich möchte möchte – ein negatives Ka haben sequenziellen Zerfall ?? finanzielles Wachstum ?? zwei kommt er sowieso nicht raus mit einem minus zwei könnte rauskommen – was – kann ich falsch gemacht haben wenn wir minus ✂ zwei rauskommt – die einzige Chance der Text zu groß gewählt K ist negativ – wenn sie delta X zu groß wählen den Zeit Schritt zu groß wenn sie zu schnell fertig werden wollen immer diese Eile – dann wie dieses Ding hier vielleicht minus zwei – und ihre Lösung macht – minus zwei vier minus acht und so weiter – Schlichting um die Ohren – auf ganz besonders elegante Weise – minus zwei – vier – minus acht – sechzehn – in das als Lösung sie kriegen keine – schön abfallende – Funktion – soll sie kriegen eine Funktion die wild hin und her springt und das immer stärker tut und nach Plus und Minus endlich – das ist ein ziemlich – unsinniges Verhalten aber das folgt dann – wenn man mit dem – Euler Verfahren – uns einen zu großen Zeit Schritt rechnet das ist der Ärger – wenn diese Skala sehr negativ ist – wenn ich einen sehr schnellen exponentiell – Abfall erwarte – dann muss ich einen kleinen Zeit Schritt wählen damit dieses Ding hier nicht kleiner als minus eins wird und wenn es gleich minus eins ist auch für mich schön – ähm – das kann man noch im bisschen – verfeinern in der Theorie der – Lösungen der Differenzialgleichungen – guckt sich nämlich hier nicht nur – aktuelle Zahlen K Ansprüchen sind wir – sicher nicht nur reelle Zahlen an meine erlaubt die auch komplexe Zahlen – und malt dann auf – für welche komplexen Zahlen – dieses Ergebnis denn hier gegen null geht – in dem Bereich – nennt man dann diesen diesen Löser stabil – Spezialbegriff – könnte für die Klausur vergessen oder sowas mal auftaucht – ?? das sagt was über die Stabilität – von Differentialgleichung – Schlössern – und benutzte sie als Test – setzt hier komplexe Zahlen ein also nicht nur einfachen – negativen Zinssatz sondern komplexe Zahl Mittelalter – kleiner als null damit wirklich auch in – einem sequenziellen Zerfall hat – Plus Schwingungen – am und wenn man Verfahren hat die gibt es auch Mahnverfahren Adi das immer schaffen – wenn sie jede komplexe Zahl einsetzen können Hauptsache der Ratteil – ist negativ – das immer geht hast du den Ar stabil – sie auch vergessen – werden – Randnotiz – man kann die verschiedene Lösungsverfahren – auf die beiden diverse Art klassifizieren – an – Punkt hier gibt's dann eine Klassifikation – daraus mit ECC kann und um noch mal – dieses – explizite Eulerverfahren – Euler Vorbild in Aktion zu zeigen und die Nummer klarzumachen Vorsicht vor den Vorsicht – am ?? der Zeit Schritt zu großes – passiert – jeder Blödsinn – der Zeit muss hinreichend klein sein