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20B.2 zentrale Differenzformeln; Ableitung numerisch


CC-BY-NC-SA 3.0

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jetzt – etwas mehr Mathematik eine Sache die einem – dann tatsächlich – in der Praxis helfen kann es gibt diese Näherung Formel – dass die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle X – ungefähr – ist – ich gucke mir meine Funktion – ein Stückchen weiter rechts an Plus Haar – minus ich gucke mir meine Funktion ein Stückchen weiter links an minus Haar und Teile durch zwei H – das braucht man nachher wenn man – Daten rein hat – sie messen ja in der Wirklichkeit – nicht – Funktionen – die sie an allen möglichen reellen Zahlen ausrechnen können das es was in der Wirklichkeit messen – sie kriegen – einen Messwert von mir aus bei einer Sekunde zweite Sekunde dritte Sekunde vierte Sekunde – in regelmäßigen Abständen sämtliche Messwerte – die Klinge nicht wirklich eine durchgezogene – oder wenn sie in der Praxis messen – zumindest nicht in dem Computer messen – was das typische sein wird – Rasierklingen nur lauter einzelne Punkte das heißt – Auge kann ich den jetzt Ableitungen ausrechnen das haut nicht gut hin – und das ist die übliche Formel um Ableitungen – auszurechnen – meine Messwerte sind im Abstand Haar – was ich dann mache ist folgendes – ich gucke mir – den nächsten – Messwert an – und den Messwert davor – ?? von X plus H von X minus H und ich lege dadurch eine gerade und gebe deren – Steigung an oder für diese beiden hier was ist die Steigung – an der Stelle geschätzt sich die sehen aber soll das sein schwer zu schätzen – ?? eine sehr sinnvolle Schätzung ist dass sie sich den Punkt danach nehmen den Punkt der vornehmen – Exodus HX Minushaar – und dadurch eine gerade bestimmen – und sagen okay diese gerade hier das sieht doch gut aus als ob das die Steigung sein sollte wie die gerade durch diesen Punkt – noch eine mit das nicht ganz so – passiert bei den beiden das ganz heftig wenn ich die Steigung an diesem Punkt haben wir für den Messwert was es meine Ableitung an dieser Stelle – gesehen – das es nicht zu schätzen was werden vernünftige Schätzung ich nehmen den Wert danach den Wärter vorliege dadurch gerade und sage – die Steigung – genehmigt als Tagentensteigung – ?? Punkt in der Mitte das ist diese Formel hier – eine zentrale Differenz für das gerne heißt – am – ?? benutzt man gern als Schätzung für die Ableitung – als Komma wenn endlich zur Aufgabe – zu – Aufgabe – zeigen sie das diese Formel sogar exakt – ist – wenn das F ein quadratisches – Polynom ist – zeige – das ist sogar exakt – wenn – er von X folgende Form hat – einmal X Quadrat plus B mal X plus C – das heißt dann nämlich – dass ich folgendes tun kann – ich lege eine Parabel – durch drei Punkte – welche Punkte die noch freigegeben – immer diese drei ?? – über die drei hier ich lege eine Parabel durch drei Punkte – und lese dann an der Parabel ab was die Steigung sein soll das passierte eigentlich – nur Komma dass vielleicht ausrechnen – zeigen Sie das mal diese Formel wird exakt – wenn meine Funktion von dieser Form ist ✂ hier wohl kein ordentliches gerundet haben – soll für die Schmierereien – so auf der linken Seite – war – aus ?? – auf der linken Seite – meine Funktion ableiten – haben sie gesehen – zwei ?? X plus B – besteht auf der linken Seite das ist nicht das Problem – auf der rechten Seite wird bisschen unübersichtlicher – reichen meine rechte Seite – in meine Funktion – X plus H einsetzen also nicht vergessen eine Stelle gesehen nicht die Funktion Plus Haar – nicht die Fusionen ausrechnen – Namensvergabe – Klammer auf – Plus Haar sondern – in die Funktion – X groß H einsetzen – das steht also – A mal X plus H Quadrat – groß B mal X plus H – plus C – in die Funktion X plus H eingesetzt minus – X Minushaar einsetzen einmal X minus Haarquadrat – abziehen minus B mal X Minushaar – minus zehn – jetzt fällt ganz viel wegsehen C und C fällt weg – B mal X – minus B mal X – Feldweg – dieses X sich dann raus – an – X Plushagen – in Klammern ins Quadrat – ausbuchstabieren – steter großer Bruchstrich durch zwei H – A mal – X plus H Quadratsmatrix – Quadrat plus zwei X H – groß H Quadrat – plus Lehmannhaarhammer – der – minus – A mal jetzt das mit minus sechs Quadratmeters – zwei X H – groß H Quadrat – minus B bei minus H machtlos – WH – äh – sowas kommuniziert – einmal X Quadrat minus – einmal X Quadrat des X Quadrat fließt jetzt noch aus – amalhaquadratsminus – A mal H Quadrat das H Quadratspflicht – noch raus – muss dann bald – groß O Strich – durch zwei H – A mal zwei – X Haar – Beistrich alle einmal zwei X H – plus – B mal haarminus – A mal minus zwei X Haar minus – minus macht plus Amal zwei X H – plus B mal Haar – Komma das Haar überall kürzen – so – jetzt haben wir einmal zwei X plus Amal zwei X durch zwei – zwei – A X – B und B zwei B durch zwei sind B – zwei R X groß B – was dasselbe ist – eine Rechnung – kurzer Sinn als es – nur dummes einsetzen an der Stelle – das Resultat ist das wichtige hier – man kann – die Ableitung – sehr gut schätzen – in so einer Zeitreihe – indem man einen Schritt weiter geht einen Schritt zurückgehen – und dann eine gerade dadurch legt das es diese Formel – ist ?? schlechte Idee – ?? die Ableitung hier wissen will ein Schritt nach vorne zu gehen Komma ich geh besser ein nach vorn und eins zurück und werde dann die Ableitung – können Sie auch nachrechnen dass das dann nicht mehr hinkommen – es gibt analoge Formel für die zweite – Ableitung – lassen mich gerade noch hinschreiben – analoge Formel für die zweite Ableitung – die gilt dann sogar für Polynom mit Grad drei bis zum Grad drei – zweite Ableitung kann ich schätzen als – ich nehme den Funktionswert – links – minus zweimal den Funktionswert – in der Mitte – plus den Funktionswert – rechts – durch – den Abstand ins Quadrat – ist einfachstes Tutoren oder sonst wo rechnen Sie einmal nach ob minus zwei ?? gesagt – Komma nach damit Komma die zweite Ableitung schätzen und das geht sogar noch besser – für Polynom bis zum Grad drei