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08.4 Vektorfelder, Lösungskurven im Phasenraum


CC-BY-NC-SA 3.0

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esgibt einen schönen Zusammenhangzwischen Differenzialgleichungenund VektorfeldernVektorfeldersollten Sie schon irgendwobeim elektrischen Feld bei magnetischenFeld gesehen habenokay das sowas gesehen haben wie Bienenmagnetenderein Vektorfelshat hierwelchenArmnetterweisegibt es auch ein Zusammenhang zu Differenzialgleichungenaus einer etwas anderen Ecke Vektorfeld heißt ja ich male einen Vektoranbricht an diverse Punkte der Ebene oder des Raums sowas wäre ein Vektorfeld und es gibtzu jeder Differenzialgleichungenein Vektorfelddas will ich einmal vorführen wenn man das verstanden hat hat man schon sofort ?? gute Idee was denn die Differenzialgleichungenüberhaupt tun kannArmgefangen ganz dumm wieder mit dem Federpendel anvermeintlichimmer das Federpendel?? wenn sie das wieder Panel verstanden haben haben sie neunzig Prozent aller physikalischen Systeme verstandendie meisten funktionieren wirklich so dumm wie das Feder bindetam und da kann es am einfachstenerklärenokay also ich grüble eine Feder in die Deckeund hänge eine Masse dran?? Federmit der Federkonstantedas letzte ?? Ka genannt heute als CD Aufgabe der FederkonstantenDamWunschdas ganze wird gedämmt wie man das machen können das ganze HirnwasserWasser rein legen sounter Wasserfischedrinähm und das hier sollein ReibungskoeffizientenRoh habendie Gleichung schon was passiertdie Kraftdie wirktkann ich sagenden Juden das ist die Masse mal Beschleunigungich messehier die Auslenkung aus der RuhelageX seinMesser die Auslenkung aus der Ruhelageund dann ist die zweite Ableitung davon die Beschleunigungdieser MasseMasse mal Beschleunigung gibt Kraftbei Jan was ist die Kraftdie Federdrückt das ganze wieder zurück proportional zur Auslenkungalso minus dem Alexist die Kraft von der Federdamit es wieder zurückgedrückt wird und dieReibungbremst das Ganze also auch minusähdrei Punkt mal die Geschwindigkeitdie Reibungskraft zur proportional zur Geschwindigkeitsein ineinem ganz billigen Modellwenn ich mich doppelt so schnell bewegesoll ich auch die doppelteReibungskraft spürenwäre der gedankliche Hinternwenn ich mich gar nicht bewege?? Persönlichkeit null spüre ich auch keine Reibungskraftdas ist nicht ganz blödsinnigdas wäre die übliche Modellgleichungfür das Federpendelam?? was erzählt von wegenEntwicklungsgesetzundZustandsraumsDays Basephasenraumdas hier ist das Entwicklungsgesetzgegeben dieses Systemdie Feder die ich in meiner heimischeDecke gegrübelt habe genau diese eine Feder genau diese eine Bleikugel ich darunter hängean soweit alles klardas ist mein Modell für die physikalischen Beton das natürlich nicht die Wirklichkeitzum Modell für die physikalische Entwicklunganich berücksichtige nicht dass die Feder irgendwannarmenVerbrechen jetzt nach drei Millionen Schwingungen nicht berücksichtige auch nicht dass die Masse hier irgendwann gegen die Decke knallt wenn ich sie besonders weit nach unten ausdenkenund ähnlich geschichtlich berücksichtigeauch nicht dass die Lichtgeschwindigkeiteine theoretische Grenze ist fürdie Geschwindigkeithier ein ganz billiges Modell das newtonsche Modellfür dasFederpendelgeht das Entwicklungsgesetzich brauche aber nochein Zustandsraumwie beschreibenSie einen Zustandvondiesem Systemalsoein Zustandfür die Nummer einundzwanzigeins Zustand von diesem System werde ich beschreibendurchdiePositionXund obendreindie Geschwindigkeitlassen sich beides wissen wir Zustand zu beschreiben und dann kann ich sagen wie's weitergehtähmwenn ich nur die Position habeähnlichen Foto vor den nur die Position wissen sie nicht ob der geradesuperschnell auf dem Weg nach oben ist oder langsam auf dem Weg nach oben langsam auf den Weg nach unten ganz schnell auf den Weg nach untendie wissen nicht wie's weitergehtwenn ich aber die GeschwindigkeithabePosition und Geschwindigkeithabesagt mir mein Entwicklungsgesetzwas die Beschleunigung ist und ich weiß wie's weitergehtbraucht beideähund GeschwindigkeitalternativPosition und Impuls das wäre eine Art wie man es machen kann oderähmdie theoretischen Physiker finden es lustigerdie Position den Impuls zu nehmen also X undImpulsmassemal Geschwindigkeitmacht man klassischerweise da erOrt und Impuls stattOrt undGeschwindigkeitdas es nun Faktor Massebei Newtondie Gleichungen sehen dannetwas hübscher aus als insgesamt angucktwas das dann auch nachher besser mit der Quantenmechanikzusammenda sind dann wirklich da sieht man dann wirklich das Ort und Impulsan ein Paar bilden und nicht Ort und Geschwindigkeitein paardas nämlich als Zustandsraumals Zustandsraumals Zustand der Zustandsraumdie Menge alle davonin der Mathematik einfach den er zweisage dieobere Komponenteso meine Auslenkung sei nur die untere Komponente soller meinem Pulsarund kann ich netterweise mit Differenzialgleichungensagen wie sich dieser Zustand entwickeltwie komme ich von einem Zustand zum nächstenwas ist die Änderung vom Zustanddas ist die Frage die ich beantwortenwenn ich einunendlich kleinesZeitstückchenWahrheit und dann das System wieder an ??wie haben sichdie beiden sich geändert wird sich der Ort geändert wird sich der Impuls geändert die Frage muss sich beantworten können an komme ichvon einem zunächst nicht Weißort Impuls für ersten Zeitpunktich das weiß und weiß wie'ssich ändert dann weiß ich für den nächsten ??für die nächsten und so weiter und so weiter das ist der Gedanke ?? ich muss diese Ableitung angeben könnenAbleitung vonvom Port nach der Zeit und die Abtrennung von Impuls nach der Zeitdie Ableitung vom Ort nach der Zeitschreibenals Funktion von Ort und Impuls natürlich sonst habe ichirgendwas nicht ganz zu Ende gedacht ich möchte alles was hier steht als Funktionvon Ortund Impuls hinschreibenden Ort und Impuls sind gegeben vom aktuellen Zeitpunkt ich möchte wissen wie's weitergehtwie schreiben Sie die Ableitung des Ortsmithilfe von Ort und Impuls intotalbillige oben brauche ichdie GeschwindigkeitX nachder Zeit ableiten X Punkt möchte ich erhoben um haben na was ist das X Punkt ist Impuls durch Massewas darf ich darum hinschreiben ImpulsdurchMasseden kennen wir so das Ion es spannenderdie Ableitungdes Impulsesnach der Zeit was ist das physikalischdas ist einer der Kernpunkte der nubischen newtonschen Mechanik wenn sie den Impuls ableitennach der Zeitkriegen sie die Kraftdie Kraft sagt was mit dem Impuls passiert wie sich der Impuls ändert wenn ich gegen den Ball treten Gerichte einen Impulsdieser Kraftstoßmit dem versetzeändert den Impulsmein Ganze auch ganz billig nachrechnenwenn sie für den ImpulsMasse malGeschwindigkeiteinsetzenhaben sie hier das ist Masse malGeschwindigkeit abgeleitetund Newtons Gesetzdie Kraft und die Ableitung vomImpuls nach der Zeit die Kraftund muss ich die Kraft hinschreiben in die zweite Komponente?? muss die Kraft stehenokayda steht die Kraft minus D X minus Rolex Punktminus dem Alex minus RohX Punktdem Alex ist okay diese Konstante des minus ist KonstanteXkenne ich aus meinem ZustandX Punktsoll ich wieder schreiben als er Impuls durchMassedurchähmdas istmein Entwicklungsgesetzetwas anders hingeschrieben so hingeschrieben das es jetzt in diesem Zustandsraumwirdgegeben an Punkt in diesem Zustandsraumgegeben einenX Wert und einen Impulswertkann ich jetzt sagen wie's weitergeht wie wird sich nichts ändern?? durch ähmwie wird sich der Impuls ändernJustizministerKomma die durch ähm?? und nun ist man beim Vektorfelddas kann ich jetztausmalenwie dieRollenfeldlinieals Magnetennachdeneinundzwanzig?? ich male den PhasenraumX und P ist mein Phasenraumjeder Punkt hierentspricht einem Zustanddes Federpendelund die Bewegungwird dann nachherwas auch immer eine Kurve in diesemZustandsraum werdennicht kommen hier von einem Zustand zum nächstenund dergleichen gesagt wir in welche Richtung ich den zum nächsten Zustand diearmenwovon ich mal an ich fange malhier anjeweils ??hier ist der Impulspositiv?? undX ist gleich nullImpuls positivX ist gleich nulldas heißtan dieser Stellean dieser Stelle ist dasPendelauf null Niveauauf null Niveau und bewegt sich nach obenetwas länger als dein Gemahl habealso hier bin ichauf null Niveau auf dem Weg nach obenpositiver ImpulsX ist nur dass es hier obenrein anschaulichwie geht's jetzt weiter nach links nach rechts nach oben nach unten wie geht's in diesem Zustandsraum weiter??sollte natürlich ansagen das X mäßig nach obenweg vomBodendeshalb hier auch in positiver Impulsdie Kugel ist auf dem Weg nach oben mit positiven Impulsjetzt mussin der EntwicklungX wachsenich bin auf dem Weg nach oben X muss wachsenund der Impuls musssinkendenndie Federübt eine Kraft in Gegenrichtung aus ich knalle in die Feder reinmit der Kugelund die Kugel wird gebremst Impuls muss sinken so muss dasrechts runter muss das Gehen und das gibt genau?? auch das Ergebnis hier?? man sich anguckenKomma wenn sie X gleich null setzenund P auf eine positive Zahleinstellensteht hier eine positive Zahl X Komponentehier steht null minuseine positive Zahl Version wird positiv das wird negativdie Ex Komponente hiermit positivdie Teekomponentewird NegativticsKontinente positiv DB Komponente negativso muss das aussehen ?? ich kann ganz dreistdieses Ding hier als File einen Punkt anmalen an diesem Punkt stamme X gleich null und P ist gleichdreimal einfach diesen Fall Dranchenersten Fall für mein Vektorfeldin diese Richtung wird Entwicklung weitergehen??ich mir den Punkten nehmedas heißtmeinPendelist an einer bestimmten Höhe Xund der Impuls ist nullwas heißtdas einzig für das Pendel anschaulichin jedem Puls null ist heißt dasdas muss der höchste Punkt seinweitergehthier oben ruhighier ist mein null Niveauhier oben ruhigkein Impulsdanach wird ?? wieder runter gehen ich bin gerade von unten angekommenund fliege wieder runter ist der Gedankearmdas heißtin welche Richtungmuss ich hier den Fall dann mal zwangsläufignach unten weildie X Koordinate jawieder kleiner werden wirdX in diese Richtung gemessenDings Conradi wird wieder kleiner werdenund außerdem wird der Impuls negativ denn ich bewege mich dann eher nach unten Impuls muss negativ werdenes komme um an ?? nachvollziehen ich setze ein positives X eine Fee ist nullan den sie auch das ist ja sogar noch anders wenn mangenauer Punktder Impuls ist gerade nulldas heißtX Leipzignull?? die Änderungen X bleibt nurwürden die Änderung in X wird null werdenund die Änderung im ImpulsX ist eine positive Zahl ?? steht eine negative Zahl P soll null seines bleibt eine negative Zahl der Kompass aus Nulleine negative Zahl so ein Fall muss ich einmal das ist nicht ganzso ?? überlegt hatten ?? Alarm gesagt die Massensatz bis in die Richtung gehen stellt sich heraus Kommaein X bleibt erst mal konstantbleibt der oben erstmals quasi schwebende Gitterparabelförmlich dahinbleibt darum quasi stehenund kehrt dann wieder zurückdas heißt genau in diesem Moment des Umkehrenändert sichdie X Koordinate nicht scheint der geradezu gerade zu schwebenaber es ändert sich der ImpulsKomma des Erzieher weitermachen?? unten Wettersinnvollerweise sogehen hier weder so gehenwenn ichaber nurhalb so großes Xhalb so großes P habekommt natürlich hier sind es ist in jahrelfteHälfte Hälfte kommen die Hefte raus überallwaren wenn ich nur drittel so großes habe kommt überall und für durchauswenn ich über all das drei halb Malishabe kommt über alles ?? halbe Fach rauskönnte sich jetzt alle Direktoren dazwischen überlegen die sie nicht so überraschend aus natürlich gibt es auch die Vektoren hier zwischen?? unternahm sein komplettes Vektorfeldund der ganze Phasenraumder kopierte Phasenraumesbedeckt von Lektoren wenig wird an jedenPunkt male ichdas Ergebnis dieser Rechnung hierdie Mannschaft wie's denn nun weitergehtin der Zeitentwicklungdamit habe ich ein Vektorfeldund meine Bewegungist dann quasi so etwas wie die Feldlinien eines magnetischen Feldes wenn das hier ein magnetisches Feld wäreich wirklich gut sein kann wenn es sie ein magnetisches Feld wäreund sie würden die Feldlinien bestimmen wären das genau die echten Bewegungen startezum Beispielhiernunjemandgibt der Kugel einen Stoßwährend sie sich in Ruhelage befindetund staatlich genau daundverbinde einfach die Feileganz gut gelungenKommain der Artfolgen Sie einfach immer den fein also wenn dieses einmalige Feld wäre und ich würde magnetische Feldlinien einzeichnenkönnendann wäre das quasi magnetische TV Folge immer diesen Fall nicht gehe von einem Zustand zum nächsten unendlich kleinen Schritten von einem Zustand zunächst von einzelnen Ästen ein zunächstimmer entlang dieser Änderung nicht rausgekriegthaben die Personenkurvedass wir die zeitliche Entwicklung des Systems sein müssenwas wird passieren sie sehenich starte bei X gleich nulldann wird Xgrößerbis zu einem Maximumdann wird X wieder kleinerich gehe durch den Ursprung durch X sinkt bis zu einem Minimumdas aber kleiner ist als das Maximumund dann geht's wieder aufwärtszu einem neuen Maximum des kleines als das vorherige Maximum es geht wieder zurück zu einem Minimum und so weiter genau das Verhaltenwas wir kennen und erwartendas kann man aus diesemPhasendiagrammablesenein ganz üblicher Trick das man in diesen Phasenraumzustandsraumsein Vektorfeld einmalin das die Differentialgleichungein kodiertes und dann muss man nur noch die Feilevervollständigenund weißwie die Lösunggesehendas schonwas Anfangsbedingungen sind hier das wäre eine AnfangsbedingungAnfangsbedingungenwie staatlich denn das ist der ZustandBedingungder Zustand mit dem ich starte das ist die AnfangsbedingungX ist gleich nullund der Impuls ist gleichwas auch immer etwas positives hier was wäre da meine Anfangsbedingunggewesenich könnte auch Staatenwar mit der VorgabeX isteine positive Zahl nach oben aus gelenktund das Ding ist in Ruhe ich halte das einfach hier auf der Handund nehme dann die Hand wegum die zu startenhier ist ja so das Dingist ausgeblendetin der Ruhelage und ich bin dann trittdas diese Anfangsbedingungenfür diese Anfangsbedingungwäre ich eh bis hoch und das ist ein Fallnoch eine Anfangsbedingungund natürlich wird es dann hier analogweitergehenzu jeder Anfangsbedingungwird es offensichtlichgenau eine Lösungskurvegeben es geht nicht dass man sagt auch an dieser Stelledarüber sowenn sie immer den feinen Folgenhaben sie keine Chance abzubiegenaußerpathologischenFällen Komma sich in der Mathematik dannEwigkeit mit beschäftigen in welchen pathologischen Fällen wäre das mögliche abzubiegendass ich nicht eine einzige Lösung zu einer Anfangsbedingunghabehabe ich ein Beispieleinemgar nicht im Detaildrüber reden also wenn sie wollen Punkt aber das Beispiel Skript an das kann man hinkriegen das ist aber im physikalischen System extremuntypischdass sie Sonderaufgabenhaben sich dann entscheiden können welchen Weg sie nehmentypischerweiseist das so bei den Anfangszustandhabendann gibt es nur eine Möglichkeitweiter zu machen eine einzigees gibt vor allen Dingen eineund auch nur einenwas einem passieren kann ist dass diese Lösung vielleicht mal in irgendein Definitionslückeläufthier die Funktion können zum Beispiel Definitionslückenhaben und ich lande hier in einer DefinitionslückeObst dann habe ich ein Problem ?? oderarmes könnte sein das sich in endlicher Zeit bis ins unendliche gelangen natürlichauch ein Problem an der Stelle aber das ist allesoffensichtlich Wasser passieren kann diese mathematischen Spitzfindigkeitentreten in der Praxis extrem selten aufdas zurIdee der Anfangsbedingungensie geben einen Zustand vor und ab da klar wie's weitergehtwenn die nicht gerade jemandeine mathematische Pathologieserviert hatdas es daab erstes aber hier das Gleis Weser da weitergeht heißt die Lösung ist eindeutigüber ein bei den in der gleichen System Eindeutigkeit der Lösung es gibt keine andere Lösungskurveund natürlich existiert sie erst mal überhaupt die Lösunghat auch da der Wiederexistenzund Eindeutigkeitunter streng mathematisch hin schreibtsie das alles grausam aus das will ich gar nicht tunman kommt so durchs Leben