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07B.1 Eigenwerte einer 3x3-Matrix


CC-BY-NC-SA 3.0

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dummeRechenaufgabenzum Einstiegfolgende Matrix gegeben ?? dreimal drei Matrixeins zweidreinull vier nullnullfünf sechsbestimmen Sie alle Eigenwertedieser Matrixsicherheitshalberwenn eine Matrix einen Vektor zu einem vielfachen von sich machtdas nicht der Nullvektor ist eines solchen Eigenvektorvektorderparallelzu sich selbst bleibt nachdem die Matrix drauf wirktähm und der Trick warzu sagen oh das Vielfache ist dann da mal die Einheitsmatrixmal der Vektordann bring ich das rüber dann habe ich nämlichdie Matrix minus Sammler mal die Einheitsmatrixmal der Vektorist gleich der Nullvektorund das sagt uns was über diese Matrix hier vorne nämlich wassicherheitshalberwenn sie haben dasMatrixmal Vektor gleich null ist dann heißt das nicht dass diese Matrix gleich null sind zum Beispiel folgende Matrix eins minus einseins minus eins mal diesen Weg zur eins einsdas ist der Nullvektorwas daraus kommt aber wieder der Vektor hier ist der Nullvektor noch diese Matrix ist der Nullvektoralso das heißt nicht zwangsläufigdas diese Matrix der Nullvektor sein musswie sie das Leerzeichen System eine MatrixVals unbekannterVektor und es soll Null rauskommendann weiß ich dieses gleichen System hat Lösung nämlich diesen besagten Eigenvektorenstehende Einsätze kommt nur raus es gibt Lösungenwie stets mit der Eindeutigkeitvon Lösungen für dieses GleichungssystemV ist sozusagen die unbekannte besteht mit der Eindeutigkeitvon Lösungenwie viele Vdie das lösen können finde ichunendlich viele jawenn sie einen Eigenvektorhier habendann könnte das Doppelte nehmendas Doppelte von null raus und sie können das Vielfache nehmen und das Vielfache von Nullvektor aus ?? unendlich viele Lösungen wenn Sie eine Lösung haben Fragezeichenviele Lösungendas heißt die Lösung hier ist nicht eindeutig bestimmtnicht eindeutig bestimmenwas heißt das für diese Matrix hier welche Kennzahl der Matrixist dann ausschlaggebendwas weiß ich weil Kennzahl der Matrix wenn die Lösung von diesem gleichen System nicht eindeutig bestimmt istnoch ein paar Leute in sich dann nochder Effekt ist nicht nullDefektsMistwie uneindeutig das ist sozusagen der Defekt null istnull dimensionale Kern ist die Lösung eindeutig wenn es eine gibt?? ist nicht eindeutig ist dieser Effekt nicht nullwenn der Defekt nicht null istdann müsste das der Rang nicht so groß ist wie er sein könnte es muss mindestens eins beim rangierenund dann weiß ich dass diese Matrix ein Problem hatdas bis zum Schluss der Grund dass die Determinantevon dieser Matrix hier Armin Sander die Einheitsmatrixnull sein mussdas ganze kann rückwärts verfolgen wenn diese Determinantenur Listen der muss es hier einen Vektor ungleich Null geben und so weiter es muss ein Eigenvektordas war der Trickist abstrakte Geschichteist aber eigentlich etwas das aus den Gleichungssystemfolgt die gleichen System verstanden haben sollte das hier auch hinhauenwenn es ein Eigenvektor zum eigenen Lander gibtistdie Determinantevon Matrix minus andermal EinheitsmatrixnullPunkt umgekehrt wird wieder dem null ist finde ich so ein Vektor der nicht der Nullvektor ist und zu einem vielfachen wirddas nimmt man alsKriteriumdas wenn sie oben mal an ziemlich blindlingsich seh gerade eine Sache die man sofort sagen muss die Determinanteeiner Differenzwas möchte ich also bilden ?? ich möchte bildendie DeterminantevonMatrixdichtehatteMinuslandermal die Einheitsmatrixdie hierMatrix hatte ich eins zwei dreinull vier nullnull fünf sechsdavon möchte ich die Determinantebildendas ist aber nichtnicht nichtfolgendesVorsichtaus ganz vielen Gründen ist das nicht folgendesAuswahl an was geht alles schief wenn sie das machenwas geht alles schief wenn ich das jetzt soausbuchstabierenesschreit irgendwie danach aber das stimmt nicht wo sich das bestimmt nichtwas geht alles schiefwarum kann ich diese Differenz nicht raus ziehen aus der DeterminanteDeterminante minus Determinantewas sie doch irgendwie plausibel aus was ist daran faul was darf ich nur tunbei Determinantengenau das ist eine Müdigkeit Sie sehen sofort was passieren muss man sich um die Determinante ausrechnen sind sie eins minus andermal vier minus andermal sechs MinuslanderBarbara und John kriegen sie einmal vier mal sechs?? Minuslandermal irgendwas das kannbeim besten Willen nicht hinkommenan aber rein jetzt aus den Rechenregelnfür Determinantenwelche Rechenregel gibt es denn für Determinanten mit einem Minus wann darf ich ein Minus aus der Determinante raus ziehen hier nicht in welcher Situation darf ich ein Differenz aus der ?? dominant raus ziehenKomma habenwenn sie in einer Determinantein einer Spalteetwaspassierenwenn sie einer Spalte eine Differenz haben danndürfen Sie die Auseinandersetzungenmedizinischerdes restlichenvier fünf sechs sieben zehndann können Sie das auseinanderzieheneiner Differenzoder einer Summe in einer Spalte oder in einer Zeiledann können Sie zerlegen die anderen Spalten mit den zwei Zeilen bleiben dann dieselben und nur die eine Spalte hier jetztauch Zeile Pommes andersrum hatändert sich das ist erlaubtdas war diese Geschichte wenn ichähmmanchmalwenn ich die Fläche vondiesem Parallelogrammhaben willund ein Vektor ist zusammengesetztein Kantenvektor ist zusammengesetztaus zwei anderendann kann ich auch rechnenwas ist die Fläche vondiesem Parallelogrammhierplus die Fläche vondem Parallelogrammparallelogrammin die jeweils voneinem dieser beiden summierten Vektoren aufgespannt werden mit aufgespannt werdennimm einfach die Strike der unten Register obendreindas war zum Schluss der Grund dafür dass man das machen kann wenn ich in einer Spalte oder einer Zeilensummevon Vektoren habe und Differenz von Vektoren habe kann ich zerlegenaber die anderen Spalten müssen gleichsam gerne zahlen müssen gleich sein das habe ich nicht sie können Determinantennichtso verarbeitendas sie insgesamtaddieren und zu trainieren das funktioniert nichthier oben müssten zwei Spalten oder zwei Zahlen übereinstimmensoll genau sagenmüsste alles bis auf eine Spalteoder alles bis auf eine Zeit übereinstimmen das haut nicht hindas Minus können sie nicht rausholen aus der DeterminanteBeistrich die beiden Matrizen nicht genügendübereinstimmendie nächste Geschichte das Lander hier was halten Sie von der Determinantevom landerfachender Einheitsmatrixkann ich das Lander nicht einfach da vorziehenja wenn ihr zwei zwei zwei Stunden die Länge verdoppeln in nächster Richtung die Menge verdoppeln?? Richtung die Länge verdoppeln EZ Richtung HandelsvolumenNachtfahrtDoppellängenX Richtung Doppellängen ?? zur Richtung doppelte Länge EZ Richtungdann haben sie einen Würfel der achtmal das Volumen vom Original würfeltdie dürften nicht einander raus ziehen sie müssen wenn überhaupt dann Landau drei rausdas ginge aus jeder Spalteden Faktorlanderrausanalog zu dem von ebenwenn in einer Spalte ein Vielfaches steht dann kann ich das Vielfache ausanderen Spalten müssen sobleiben wie sie warengenauso beizeitenes immer spaltenweiseoder zeilenweiseihr müßig aus der ersten Spalte das dann daraus ziehen aus der zweiten und aus der drittenganz viele Gründe weshalb das hier nicht stimmt sich manchmal wieder wegdas ?? jetzt mal richtigeinigehatten schon Ergebnissewenn sie schon was raus hatten sich mal an ob sie Eigenvektorenfindenansonstenaber erst mal hiermein taktisches Polynom soll Null sein so heißt das dann ja null ist gleichdas buchstabieren sie aus welche Werte für Lander sind möglichich muss der Verweis hier zum Lander Fach an der EinheitsmatrixSagenlandermal die Einheitsmatrixbisschen vorsichtig sein das man Determinantenund Matrizen nicht durcheinander wirft Lander mal eine Matrix ich mache verglichen Beistrich mit Zahlenbeispielenzweimaldie Matrix eins zwei drei vierheißt wirklichjeden Eintragmal zwei zwei vier sechs achtdas heißteine Matrix mal soundsovieljeden Eintragwas passiert mit der Determinantedieser Matrixdie Determinante dieser Matrix links nehmen und die Determinante dieser Matrix rechts haben was passiert mit der Determinantegenau die Determinantevervierfacht sichvorsichtigdas ist bisschen verwirrend zugegebenermaßenwenn ich die Matrix verdoppelneine zweimal zwei Matrix verdoppelteist die Determinantemal vier genommendie erste Spalte mal zwei die zweite Spalte mal zweiLänge mal zwei breite mal zweidie Fläche also mal vier wenn es einmal drei Matrix ist ich nehme wieder einmal drei mal sechs mal zweiist die Determinante mal genommenund das Volumenzweimal zwei mal zwei wirdprivat wirdnunalle vorsichtig da das Vielfache nicht durcheinander schmeißen das Vielfache einer Matrix heißt jeden Eintragmal diese Zahldeshalb ihr Landerlanderlanderdas ist langsam mal die Einheitsmatrixder einzelnen dann lauter Land als die Nulleneinanderbleiben nulljetzt lesen Sie das hier so wie sie sonst lesen würden den Sinus von vier minus drei Fische mit vier Grad minus drei Grad eines zwischenden Sinus von vier Grad minus drei Gradist der erste Job vier Grad minus drei Grad auszurechnenund dann will ich den Sinus genauso hier die Determinanteder Differenzin der Reihenfolgeerste Differenzund dann die DeterminanteDifferenz zweier MatrizenEintrag für Eintrageins Minuslanderals außer Vektoren werden Differenz zweier Vektoren drei vier minus zwei eins macht drei minus zwei gibt eins vier minus eins mal dreiEintrag für Eintrag voneinander abziehen??null minus null ist null dar und steht auch nullzwei minus null S zwei drei minus null sechs drei vier Minuslandersteht hier ganz in der Mitte null minus null null fünf minus null sechs Minuslanderso sieht das aus??das kann man sich dann auch kurz als Rezept merkenauf der Diagonalenwird einfach Lander suchenüberallauf der Diagonalenlanderabziehen das ist der Effekt von diesem Ausdruck hierund davon jetzt die Determinante bildenich hatte sie ?? mit Strichen hin alternative Schreibweise für Determinante einer Matrix ist jastrikt links und rechtsdrei null vier Minuslandernull null fünf sechs Minuslander und der Neffe geziert das dumme RezeptHauptdiagonaleneben der ?? Neuwahl erst einmal drei istdie Maschine ja nicht so?? für drei mal drei geht es Produkt auf der Hauptdiagonaleneins Minuslandervier Minuslandersechs Minuslanderzweimal Nummer null egaldrei mal null mal fünf egalminus null mal platt minus fünf mal null mal bla egal minusirgendwas mal null mal irgendwasplus null minus ?? schreibt weiterhines ist in Japan gedachtdas es allesund das soll Null seinmathematischerTrickwar noch nicht bei allen daein Produkt ist nulldieses Produkt ist nulldas heißt einer der Faktoren muss neu sein und für das Produkt mich null wenn sie zwei Faktoren haben wir nicht nur sind dreizehn mal zweiundvierzig?? sie niemals nur auseiner der Faktoren muss Null sein ?? sogar allemindestens einer muss Null sein dann sehen Sie Ahalanderist eins oder vieroder sechsund wenn Lander gleich eins ist ein Unterzeichnung aus und so weiterDamit kenne ich meineEigenwerteeins und vier und sechsgibt keine anderen die andere Landes sie einsetzen kommt nicht null rausund wenn sie eins oder vier oder sechs Einsätzen kommt nur raus das sind einBesitz ihr so das die Zahlen auf der Diagonalen sind Barriere viele Nullen entstehendas muss nicht immer so seinim allgemeinen wird das nicht zu seinist es jetzt besonders einfachamich muss aber zu Schreibweisen sagen was ich gerade eben gesehen habewenn die Sonnegleichung haben bitte nicht direkt weiter schreibeneinzelnes Lander und so weiterbestimmt ja nichtist gleichDeterminantevon eins ?? Sander und so weiternull soll sein die Determinante dieser Referenzmuss jedoch so weitergehen ist gleich die Determinante diese Differenz erkannte nicht die Determinante weglassenich verwende ja diediese Art die Physiker das gerne veranstaltenmit Schweif kann man drunterinnen drin dasist diese Matrix aber es bleibt die Determinante davor stehen