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13A.2 Rotationsmatrix in 3D per Differentialgleichungssystem, Exponentialfunktion von Matrizen


CC-BY-NC-SA 3.0

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dieallgemeine Drehung im R dreiMutationenin dreihoffe das wir das gleichschaffen mithilfe von DifferenzialgleichungenSystemmatrizenan das auf eine besonders elegante Art zu schreibeneine Rotation im R drei um den Ursprungsehen um den Ursprungmit einer Achse die durch einen VektorOmega angegeben wirdund ?? weisen auch darauf liegenso?? sie hier einen Vektorhabeneinen Ortsvektoreines Punktesin der ?? zurück Komma HerrOrtsvektor eines Punkt der gedreht werden sollwas wird die Geschwindigkeitsein wenn sie das hier nicht nur alsAchse nehmen sondern auch als Geschwindigkeitsvektordrehgeschwindigkeitsvektorkönnen Sie die Geschwindigkeitdieses Punkteszu bewegen dannkönnen Sie die Geschwindigkeitdieses PunktesangegebenGeschwindigkeitsvektorund sein Geschwindigkeitsvektordieses Punktes angehendas erste was man sich überlegen kann ist das GeschwindigkeitsvektorsenkrechtKomma dass er noch ?? das sehr Geschwindigkeitsvektorsenkrecht auf dem Omega stehen muss dieseArbeit sozusagenvorstellenwie dieser Punkt hier oben läuft um die Achsehinten her und ihr vorne rumdieser Vektorund die Achse die stehen senkrecht aufeinander?? was denn sonst ?? senkrecht aufeinanderwenndie Gischt der Geschwindigkeitsvektornicht senkrechtauf dem Ortsvektor stünde wenn der so zeigen würde zum Beispielwürde derOrtsvektor ja länger werden dass es keine gute Idee für Rotationbesser gefällt dieselbe längerhalteals ob hier auch einen rechten Winkel zwischen demOrtsvektor und dem Geschwindigkeitsvektorsound jetztselbst ohne Formelsammlungich suche einen Vektor V der senkrecht auf Omega und senkrecht auf R stehtwas machen Siean das schreit hier nachVektorproduktKreuzproduktfallen vielfach zu sein von den KreuzproduktVektorprodukt von Omega eherihr Kreuz erund zwar ein positivesVielfacheswegen derrechten Handregelsind sie hierOmega als den Daumen nehmenOmega als den Daumendicker Daumen heuteer sie nehmen eher als denZeigefingerund danndas faul hier in Richtung desMittelfingersein schöner Comic Mittelfinger so ?? groß V in Richtung des Mittelfingers vergehen recht Einträgeso es muss also bloß davor stehenund netterweise stehteine eins davor befindet sich vorführenwerdensomit einfach sein das es total billig also dieGeschwindigkeitals Vektorenkriegen sie als Drehgeschwindigkeitsvektorparallel zur Achselängeist dieLadegeschwindigkeitkreuzt den Ortsvektordamit fing eine Drehung und denUrsprung des R dreiwarennun aber daraus mal ein Differenzial GleichungssystemReisees ist alsoähm die Ableitungdes Ortsvektorvoll der Geschwindigkeitsvektorund das ist Omega Kreuz der Ortsvektordie DrehbewegungKreuz der Ortsvektorund damit haben wir jetzt ein Differenzial Gleichungssystemaus drei Gleichungen X Y Z abgeleitetgibtOmegaKreuzX Y Zambuchstabiert sie das doch mal aus sagen wir zur Ortsvektor ist X Y Zwie sieht das eigentlich aus buchstabiert aus die Ableitungnach der Zeitvon X Y Zist gleich wasbringt lustigerweisewieder Matrix mal Vektorübersehen schon hattenweil ich faul bin sage ich hier mal nicht Omega X Omega Y soweit es ?? immer Alpha Beta Gamma dazuzu den Komponenten von Omegaso der Geschwindigkeitsvektordie Zeitableitungvon X Y Z dem Ortsvektorist Alpha Beta GammakreuzX Y Zund das ist jetzt einfach nurkannst du das Kreuzprodukt ausgerechnetoben streichenBett damals setzminusKameramann Yin der Mitte streichen falsch rumKommaX minusalpha mal Zunterstreichenalpha mal Y Minus Bettermann XFirmen-und YX Klammer zuist eine Böses passiertjetzt der Kunstgriffbesteht darin das mit einer Matrix zu schreibensowie was ihm hattenimmer zurück hier Leertaste versagt ein System mit einer Matrix schreiben könnenmit festen Zahlenkönnte lustigerweise die Lösung sofortmit der Kommentarfunktionschreibenhabendeshalb bitte ich jene Matrix haben welche Matrix gehört?? alsoich gucke mir die oberen drei Jahrendie müssen ja Wetter Z minuskann man mal Yzusammen ergebender erste Mal X plus der zweite Mann Y muss der dritte mal Zda muss raus Komma Wettermahlzeitminus KameramannYX euch gar nichts hiervon steht also nur nullY brauche ich minus Gamma malZ brauche später malso muss die erste Zeile von der Matrix auswendig kann nicht anders ausals auch in Nullmatrixminus Kameramann Y plus Bettermann ZBuchstabe YpsilonKomma Z das von oben rauszweite Zeilesoundsoviel mal Explosion Firma Web Solutionsimmer Z muss das hier ergeben sie sie gebrauchen ?? Y nicht in der Mitte steht ?? nullX brauche ich gerne mal?? und Z brauche ich minus alpha malletzternso rauskommen als SelbstminusBettermann X kein Z dabei deshalb hier nullalpha mal Ysteten AlphaminusBettermannX und es ?? Minus Bettermann X plus alpha mal Ynichtund das Haus hattedie Nachricht muss es sein es kann keine andere seinauf diese Weise habe ich jetzt aus der Drehungdieser kontinuierlichenDrehung mit dem DrehgeschwindigkeitsvektorOmegaeine Matrix gebaut absurderweisedie mir hier diese Differenz des ?? sei das System kontrolliertund ich weiß was die allgemeine Lösung istnämlichdes X YZ zu einer bestimmten Zeit zehnhinschreiben mit der Exponentialfunktionzu beweisendas ist die Exponentialfunktionganz analog wie eben die Gruppen interessiertmeine Matrix mal die unabhängige Variable in der Ex Mensafunktiongenau was in diesem Fall hatten mit speziellen Wachstum exponentiellZerfallbesteht keine Matrix sondern eben einfach dieseKonstanteX ist es jetzt nicht sondern jeweils von der Zeit abhängthier steht also sah Funktion von dieser Matrix?? möchtest jedochgefühlt lieber nach vorne schreiben egal ob von hinten schreibenähm null minus GammabezahlenKomma nullalphaminus BetaAlphanullmalmeinen Vektor zum Anfangszeit Punktvon null Z von nulldas heißt damit habe ich jetzt die allgemeine Drehung hingeschrieben absurderweise wenn sie diesen Weg du ihr vorgebenwas es mein Ortsvektor zu gehensie geben den Drehgeschwindigkeitsvektorvor Alpha Beta Gammasie geben die Zeit vorSack in das Ding für diese Matrixmal den Anfangsvektorist der gedrehte Vektoralso was hier stehtdas hierist die allgemeine Drehungsmatrixabsurderweisehaben in dieser Form mit Ex Mediafunktionist sie nicht so prägend ausrechnenwie gesagt matlap kann das wenn sie Expo ähm verwendenexterne Expertenin matlap rechnet in matlaperklaglos dieses Ding hier auses gibt auch komplette Formel dafür mit Sinus und Kosinusdie man sich beim besten Willen nicht merken kann ich ganz besten Willen zumindest nicht merken das erste sehr handliche Formenanbesonders ?? einen Schritt vereinfachenmal typischerweisebin ich ja um einen festenWinkel drehenähm Drehungsmatrixsicherlich Sonnenfamiliendrehungenhaben ?? von der Zeit sondern ich möchte eigentlich eine Drehungsmatrixhaben DrehungsmatrixDrehungum den Ursprung um O schreibe ich malAchse soll seinparallel zu dem Vektor Omegaund der Winkel soll seinder Betragdie Länge von meinen Vektor Omegaund rechte Hand regeum der Winkel zu messen istwenn man Omega so läuftsoll der Winkelso rumgehen?? die rechte Hand um den Feige begann der Daumen zeigt in Richtung des Fallsman kann man jetzt ablesenwelche Matrix das ist Ex vonden einfachdie Zeiteinszu fertig also einfach ExponentialfunktionPlasma zwei Klammern stehen ganz komisch aussieht externe sah Funktion von der Matrix etwa sah Funktion äußere Klammerwächst von ?? und innen drin steht die Matrix null minus GammaBetaGamma nullalphaspäterwohleine sehr kompakte FormDrehungsmatrix nimmtdann ?? bisschen untersuchen diese Matrix wieder drin steht das wird noch spannendzehn Minutenanwenn Sie sich diese Matrix noch mal angucken wie ebenwie stets den bei der mit EigenwertenEigenvektorendiese Matrix wieder ?? auftauchtist die Eigenwertsicherheitnoch auf der Diagonalenlanderabziehendann sollte Determinante null werdennull soll seinauf der Diagonalender Aktien der Stand der netterweise über nullsollte ?? mal sagen das ist antisemitischMatrix istoberhalb der Diagonalenminus Gamma unterhalb Gamma oberhalb Wetter unterhalb minus Beta oberhalb minus alpha unterhalb Alphaist nicht symmetrisch sondern antisemitischauf der anderen Seite steht immer das Negative von dem was oben stehtminus Gamma Vitamins Alphaalpha hierKomma minus Beta Alphajetzt einfach mit derRegel vom Franzosenminus langsamer minus Sondermann Mindestanlageminus an der dreiminus Kameramann minus alpha mal minus Beta drei Minusminus Alpha Beta GammadasWettermal GammaAlphaPlusAlpha Beta Gamma Venice Alphabet sortieren jetzt kaum lauter minus ?? NebendiagonalenminusähmLambdaBetaquadratminus langsame Wetterquadrathier kommt minusalphaQuadratslanderminusalpha Quadratund ihrem AminslanderGammaquadratmacht dann zum Schlussminus Lamm der hoch dreigediegenes Landerähm die beiden geben sich wegminus langsam mal alpha Quadrat plus Wetter quadratischesGamma Quadratindes das Quadrat des Winkels und inlustigerweisedie Länge des Vektor sindähmKomma die Nullen ablesensie kriegen alsoLander ist gleichwas was sind meine EigenwerteFassung einSchritt weiter zusammen ich klammere das Lander ausMinuslanderund dann steht hier Lander Quadratplus alpha Quadrat plus Wetter quadratischesGammaquadratsowie das etwas übersichtlicherwas muss alsoLander seinKorrektlanderist gleich nulloderLander ist gleichWurzel aus minus vorgemerktminus alpha Quadratsreferates?? besagenLander ist gleich plus Minusvergessen plus minusdie mal die Länge von meinenVektor Omegasozu diesem Lander hinten kann natürlich keine reellenEigenvektorenhier haben sie nur komplexe Eigenvektorendas verwundert Verdrehung ist auch nicht das sein was schief geht mit den Eigenvektorendas senden wir also auf jeden Fallimaginär werden es sei denn man Drehung Vektor hat die Länge null ich dreh gar nicht interessantandas Kind auch schon von den Drehungen zweite Personal das irgendwas schief gehen muss mit den Eigenwerten Eigenvektorenbei Richtungen ja nicht auf die selbst liegen bleibendieses Lander gleich Null da vornebekommt denn das sei nicht zustande was für ?? Eigenvektorerwarten Sie hier für das Lander gleich Nulldazu angucken landergleichennullbietet auch das danach in der Lösung auf dann muss doch nach einer Lösung zu verstehenein Vielfachesvon ihm hoch null mal die Zeiteins jedoch nur mal die Zeit ein VielfachesvonKonstante mal Eigenvektordieser Vektor muss konstant bleiben bei der Drehungnullmein Eigenvektordieses Lander gleich Null da vornediese Lösungmuss für ein Vektor stehen dabei der Drehungliegen bleibt welche Vektor bleibt bei der Drehungliegender Eigenvektor hierzu muss zwangsläufigOmega sein alle vielfachen von Omegadurch das null facheOmega der Vektor längs der Achse der Platte fliegen wenn sie drehendas ist der Trick wenn Sie diesen Punkt hier nehmenund drehen bleibt Berlingenau das Verhalten was wird sie kriegen es gibteine ganze Familie an Vektorenliegen bleiben die hoch null mal die Zeit die sich nicht verändern ?? Eigenvektor dazu wird zwangsläufig dann ein Vektor längs der Achse sein und hintendiversensinnvollerweise senkrecht dann dazu verlaufen im komplexen das ganze noch komplizierter macht