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14B.1 Beispiel für Partialbruchzerlegung


CC-BY-NC-SA 3.0

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wir – fangen mal an mit seiner ganz normalen – dummen Rechenaufgabe – zu Partialbrüchen – eine rationale Funktion ist zwar eins durch – X plus zwei mal – X minus drei – Quadrat – dient umwandeln – zu ?? ✂ also der erste Schritt wird sein – Kandidaten für die Partialbrüche hinzuschreiben ?? dass diese nach Schema F macht – minus zwei – ist eine Polstelle – erster Ordnung nur einfache Polstelle sind Erzähler wird nirgends von null kein Ärger damit – das ?? aus Polstelle erster Ordnung – so ein Ter musste auftreten so ein partialbruchjährigen – Polstelle zweiter Ordnung bei drei – deshalb – wird dein Zweifelsfall – sondern erste Ordnung auftauchen – und ein Stern zweiter Ordnung auftauchen – in welcher Reihenfolge auch immer – diese drei Hits stehen – ich weiß dass das auf jeden Fall gehen muss mit Zahlen A B C nackten Zahlen ABC das hier sind die Partialbrüche – mit sowohl man kann sagen bei Partialbrüchen – spielten sie – die verschiedenen Polstellen – ab – in die rationale Funktion und zerlegen den Anteil verschiedener Polstellen – aber es geht ja noch weiter – verglichen ?? Gebietes vorgeführt – wenn ich hier weitere Faktoren habe – die keine Newsquellen – haben – dann – kann sie trotz immer weiter aufspalten – aber erstmals der Gedanke ?? ich spürte die Polstellen – das muss gehen – ?? ?? Polstelle zweiter Ordnung ?? kommen dann im Zweifel sollte sich zwei Terme – auch hier sind ?? zweiter Ordnung und vielleicht – noch intern erster Ordnung sozusagen typischerweise – noch in der erster Ordnung dazu – die ABC sind Zahlen – um das sagen zu können muss ich aber hier mir mal angucken – der gerade sehr leises kleiner als der gratishinaus – ich kann ich dir noch ein Asymptote Polynom ?? Wald mit Polynomdivision – dann weiß ich das Haus hin mit Zahlen ABC ✂ gibt einen kurzen Blick und einen langen Weg – einen – unorthodoxen – kurzen Weg ?? ich zeige mal erst mal den unorthodoxen – kurzen Wildschwein ich den eigentlich viel sinnvoller finde – diese Partialbrüche – wie gesagt das man spaltet die Polstellen – ab nachher noch über andere Sachen Ammann spaltet Verein die Polstellen – ab – bis X plus zwei – das macht eine Polstelle bei minus zwei sind der Ausdruck hier kein Ärger der Ausdruck kein Ärger an der Stelle X gleich minus zwei – ist der erste so meint hier derjenige der mir um die Ohren fliegt die anderen sind harmlos – mit guck ich mir an wie sehr fliegt der mir um die Ohren – ?? Sixtus zwei wie sehr fließt in das um die Ohren das ist dieser Ausdruck – in X gleich minus zwei ist – steht hier vier plus eins hier stets minus zwei minus drei ins Quadrat – in X gleich minus zwei ist wird aus dem Rest fünf – Tour euch – fünf ins – Quadrat – ein Fünftel der ganze Rest hier zu einem Fünftel – das ist wie stark diese Funktion eine Stelle ist gleich minus zwei explodiert – das heißt dieses A hier – muss ein fünftel sein ✂ das war jetzt das Kaninchen – aus dem – Zylinder also noch mal – der erste Term sagt mir – wie schlimm meine Funktion explodiert – an der Polstelle – bei minus zwei – der ist harmlos – des harmlos – ich guck mir die Funktion als Ganze eine der gesamte Bruch wie explodiert das an der Stelle minus zwei hier unten der – eine Faktor da ist derjenige der den Ärger macht – dies der sorgt für die Explosion der Rest ist harmlos – X oder plus eins X minus drei ins Quadrat das man in der Stelle minus zwei kein Ärger – nicht mehr an was von denen jetzt denn – so übrig bleibt an der Stelle minus zwei hier oben steht minus zwei Ziffer drei plus eins macht fünf – und John steht minus zwei minus dreißig minus fünf ins Quadrat – fünfundzwanzig – von fünfundzwanzigste – dieses hier – wird – ein fünftel – und das ganze multipliziert mit eins durch X plus zwei den Kern der Explosion verursacht – ein fünftel mal eins Sixtus zwei dieses A muss ein fünftel sein Satz habe ich nicht dieselbe – Anführungszeichen – Explosion – an dieser Polstelle – wie gesagt das ist der unorthodoxe – Weg Komma den einmal verstanden hat ist der glaube ich ganz leicht aber es kostet dessen Überwindung – hinzukommen – dasselbe kann man hiermit die minus drei ins Quadrat machen – die Polstelle an der Stelle X gleich drei – wird hiervon bestimmt das ist das schlimmste was passiert denn hier macht ?? bisschen – schaden aber das hier ist das Schlimmste sozusagen was in der Stelle – X gleich drei – passiert – dann muss denselben Effekt haben – wenn ich mir oben angucke – was bei ?? – ist gleich drei passiert – das ist der Kern – der zweiter Ordnung – der Explosion verursacht und ich guck man was mit dem Rest passiert bei X gleich drei – ihr steht neun plus eins Tasse oben wird sehen – und hier steht fünf – zehn fünfte – das heißt dieses C – muss zwei sein – damit ich dieselbe Explosion habe an der Stelle ist gleich drei – soundsoviel – durch ?? ins Quadrat und hier im Endeffekt auch – soundsoviel nämlich zwei – durch X minus drei Quadrat ✂ B ist die knifflige Angelegenheit – zu sehen ein sehr schon komisch dass ich den überhaupt kriege wenn ich mir diesen Ausdruck hier angucke – möchte ich ja meinen – naja ich hab hier die Polstelle zweiter Ordnung die Polstelle erster Ordnung – waren glückliche ab dem Term hier – leider bleibt an einer Stelle vielleicht – vielleicht – mit hoher Wahrscheinlichkeit – bleibt an einer Stelle so ein dummer Rest – ist zeitlich weit leichter meinem anderen Zusammenhang – und – dieser dumme Rest lässt sich auch schwer abschätzen man kann im Prinzip B auf diese Weise rauskriegen müssen bisschen mehr Rechner aber im Endeffekt ist es dann doch wahrscheinlich – einfacher B auf die klassische Art auszurechnen – und nicht hier so – Hände wedeln gerade mal abzulesen – aus der Formel – am wenn ich einfache Polstelle habe ist klar – wie schlimm diese Polstelle es muss sich in den anderen Termen hier oben widerspiegeln – hier dieser – doppelte Polstelle der Musik dieser schlimmste Kern hier muss ich in den andern widerspiegeln – und der Herde in noch so – runter fällt – und nervt bei den gibt's leider nicht ganz so leicht – ist ?? der offizielle Weg wird Ralf total irritiert waren konnte zimmert offizielle Weg – ich fasse die drei wieder zusammen – Beistrich ?? HP – raus ich fasse die drei wieder zusammen Hauptnenner wird natürlich sein Sixtus zweimal X minus drei ins Quadrat – das wird man Hauptredner sein – den ersten muss ich multiplizieren mit X minus drei – ins Quadrat und den auf den Hauptnenner zu kriegen – den zweiten – muss ich modifizieren – mit X plus zwei und X minus drei für den Hauptnenner – am – ich muss von X minus drei – auf X minus drei Quadrat – der hier – und X plus zwei der hier – und der letzte – den muss ich mit X plus zwei Reiter – plus zwei – das muss gelten für alle X sonst habe ich keine Chance die drei Brüche wieder zusammenfassen – muss das ergeben – sind die beiden Männer sind gleich also weiß sich die Zähler – müssen für alle X ist gleich sein – das habe ich damit – also dreißig – Quadrat plus eins ist der Zähler des einen ist gleich – oder für Dietrich – sei so arm mal X minus drei Quadrat plus WE mal X plus zweimal – X minus – drei – plus – C mal X plus – zwei – das muss gelten für alle X hat jetzt mal ganz leise für alle X – vergessen – all das ist nicht nur eine Gleichung sondern sind unendlich viele Gleichungen wenn sie wolle solle für alle X gelten – nicht nur eine Gleichung A gleich achtundneunzig – sondern – das hier soll für alle X gelten deshalb – dieses bisschen raffinierter – und jetzt bestimme ich ABC – Zahlen – ABC – sodass das hinhaut – das geht auf verschiedene Arten sie können das ja ausmultiplizieren – auf der rechten Seite – und die Krise kriegen – nun – untermachende Koeffizientenvergleich – nachdem sie die Krise gekriegt haben – als solcher beide – Arten vorführen – die ineffiziente – Art wäre Koeffizienten – vergleiche schwacher Weg eins Koeffizientenvergleich – am – ich multipliziere – rechts aus – und vergleiche die Koeffizienten – links und rechts – X Quadrat – der Koeffizient links ist eins – der Koeffizient rechts – auch – überlegen – X hoch eins X hoch null was ist der Koeffizient – von X noch eins auf der linken Seite ✂ nur genau hier steht wenn sie wollen plus null mal – X X kommt nicht vor – der Koeffizient von X eins ist null auf der linken Seite – unter Kurve sind ?? zu ?? ist eins – auf der rechten Seite mal zusammensuchen – wie Felix Quadrat kriegen Sie hier wie Felix Quadrat kriegen sie da gefälligst Quadrat kriegen Sie da – das gibt Ihnen – hier einen Ausdruck – wie Felix – da da da das gibt Ihnen da einen Aufdruck Ausdruck – und X hoch null wie viel – Zahlen ohne X da da und da – ich würde gar nicht ausmultiplizieren – ehrlich gesagt – ich würde gar nicht aus modifizieren ich würde sofort nach X hoch zwei suchen suchen – ?? zu null suchen – das macht einfach McCartney Felix Quadrat finden Sie auf der rechten Seite – und so weiter und so weiter gibt drei Gleichungen ✂ ?? sich den ersten Ausdruck an wie Felix Quadrat kriegen Sie bei dem ersten Ausdruck – kann ich ausmultiplizieren – brauch man gar nicht – ist etwas wie X mal X X quadratsmal – Aha ich kriege A X Quadrat – aus dem ersten – der liefert Ihnen ein X Quadrat – plus – überlegen sich wie's weitergeht ✂ ?? so – also hier war nicht wirklich einmalig Quadrat jeglichen B mal – X mal X B mal X Quadrat – in keine Quadrat – wenn die linke gleiche Rechteseite sein soll – für alle X – muss ich ging zu Felix Quadrat haben die rechts – ich gucke mir einen links habe ich ein X Quadrat rechts habe ich Artus BX Quadrat das muss dasselbe sein eins ist gleich Abschluss B – Dax ?? eins – links habe ich kein X hoch eins Rechtsmusik genauso viele haben – damit es mit Infos dieser ?? ist das leichteste hier hinten versehentlich habe zehnmal X – bei dem letzten – am einfachsten zehnmal X – bei den anderen muss ein bisschen aufpassen wie beim ersten wenn sie das mit Minogue auseinandernehmen – kriegen sie hat zweimal – X mal minus drei – minus sechs X kommen nie aus dem Quadrat mal A minus sechs A X – also muss hier stehen – minus – sechs – A – so viele X kriege ich aus dem ersten – hier kriegen sie zwei – X mal B – minus drei X mal B – also – zwei B – minus drei B – zusammen minus B mal X – wird – klein X weil ich ja nur die XXL – null X auf der linken Seite so Vielnixe – auf der rechten Seite – X hoch null – wenn Dinge vorne mit Phänomen – schreiben kriegen sie neun – mal A – ohne X Reste von ?? X – lediglich zweimal – minus drei Mal B also minus sechs – B – und – C mal zwei – acht zwei C – besorgt ?? – das kann man auch – machen indem man es aus multipliziert – ich persönlich würde sich ausmultiplizieren – so sprechen schöne – gedankliche Übung sich einer mal die Therme zusammenzusuchen – alle X Quadrat raus zu picken alle X – aus zu picken alle – Zahlen – ohne X rauszukriegen – aus zum Ausdruck – ohne Ausdruck zu multiplizieren – ich kriege also drei Gleichungen – mit drei Unbekannten ABC sind meine unbekannten drei Gleichungen – und netterweise – besteht die Garantie dass diese Gleichungen in diesem Fall immer genau eine Lösung haben ?? es gibt einen Satz Zahlen ABC – die das machen – und nur diese Zahlen ABC die das machen keine anderen – ?? gerade gucken wie man das sehr geschickt vereinfachen kann ✂ sie gerade keinen eleganten Weg – Komma um das freistilmäßig – eins zwei drei – am – ich würde versuchen – weil ich jede Gleichung hab die nur mit A und B geht – würde ich versuchen wir das See loszuwerden – aus der zweiten oder dritten Gleichung – das ich noch ?? Client habe die nur A und B enthält – C loswerden kann ich indem ich zum Beispiel – von der dritten Gleichung zweimal – die zweite abziehen – Beistrich dass – sie raus von der dritten zweimal die zweite abziehen – zwei zehn minus zwei C – von der eins zweimal die null abziehen dann bleibt es nach eins – von den neuen Aha – zweimal – minus sechs A abziehen – neun – minus – minus zwölf – sind neun plus zwölf – sind einundzwanzig – A – von den minus sechs B – zweimal – minus B – abziehen – minus sechs minus – minus zwei minus sechs – plus zwei sind minus vier – B – uff – so – versuche ich mal irgendwas aus der ersten Gleichung und dergleichen zu machen – oder gar überlegen was am einfachsten sich würde für B einsetzen – wenn sie je nach B auflösen – finden Sie B ist eins minus Haar – das es sich hier mal rein und finde eins ist gleich einundzwanzig – A minus vier Mal – eins minus A – hier stehen einundzwanzig – A minus vier ?? minus Adern haben – fünfundzwanzig – A – minus Firma minus A plus vier fünfundzwanzig – A minus vier – eins ist gleich vierundzwanzig – A minus vier vier bringt sie noch rüber fünf ist gleich fünfundzwanzig – A und Überraschung – A ist gleich ein fünftel das wussten wir schon irgendwie einfacher eben – Komma dass sie weder einen offiziellen Wege – minus vier rüber bringen fünf ist ?? von zwanzig A als ein Fünftel so – weiß ich arm – wenn ich aber weiß hier oben einsetzen – eins ist gleich – ein fünftel plus B – B ist also vier fünftel das aber eben nicht – ?? ist gleich vier fünftel weiß ich nun – damit zusammen wieder eins rauskommt – und und und und das ist am einfachsten mit zehn – CS – sechs A plus B – darüber bringen C sechs Abschluss B – also sechsmal ein fünftel – sechs fünftel – plus vier fünftel – sind zehn fünftel sind zwei – was wir – schon wussten – ?? die Neuigkeit – hier ist vier fünftel für B das wussten wir eben noch nicht – das wäre eine Art das zu machen sie sehen – das ist – Zeit für Land – an das kann der Computervereinigung – sowieso besser – aber hier einmal vorgeführt – ?? Koeffizientenvergleich – sie gucken wie viele – X Quadrat stehen rechts wie viele X wie viele X auf null stehen rechts vergleichen es mit der linken Seite – und kriegerlineares – Gleichungssystem – es können natürlich wenn er sie schlimmere Ausdrücke werden neu zur drei hundert und zwoundvierzig werden beide Seiten vergleichen gibt lineares Gleichungssystem – löst man – eine Möglichkeit – zweite Weg – der Weg zwei – hier noch mal – meine Gleichung hier – so der Weg zwei – was könnte ich noch tun – geht etwas eleganter – in der Tat wir können einfach mal für X drei einsetzen diese Gleichung soll für alle X ✂ gelten – nach schönen Komma Sommer an was wir ist gleich drei passiert – das stets links – zehn – hier steht – null dass es schön – hier steht – null – das ist schön – und hier steht sie mal fünf – mit anderen Worten C ist gleich zwei das ist doch fast so elegant wie ganz zu Beginn – also wenn sie hier – einfach mal gucken welche X werde es besonders einfach machen – empfiehlt sich die drei – denn das wird null und das wird nur – die fliegen raus – und ich seh sofort zehn ist gleich zehn mal fünf – C muss also zwei sein – nichts anderes habe ich eigentlich eben gemacht wenn sie sich erinnern die billig auf C gekommen – wenn man unorthodoxe Verwandte bin ich auf C gekommen – ich habe mir angeguckt – was an der Stelle X gleich drei passiert – wie schlimm ist diese Explosion an der Stelle ist gleich drei genau das habe ich eben gemacht – nur auf eine etwas – Ende wählende Art – hier ist es etwas offizieller ich setze X gleich drei ein – und stelle fest – OC muss zwei Seite einer Therme fallen weg – ähm – und – klar muss sie nicht Fragen die nächste kluge Idee ist X gleich minus zwei zu wählen Beistrich nämlich der hintere Term weg und der schlichtweg – genauso wie das eben hatten nur jetzt offizielle Weg – wie schlimm ist die Explosion eine Polstelle – minus zwei – das Mietshaus das nicht raus und dann sehen Sie hier – am fünf ist gleich – A mal – minus fünf – ins Quadrat – Amal fünfundzwanzig – also ist A gleich ein fünftel – das wäre der offizielle Weg zu dem was ich eben – zu einfach abgelesen habe aus der Formel und wieder Hammer den Ärger B gibt's jetzt leider nicht geschenkt – aber er – sieht einen schnelleren Weg B zu bestimmen als gerade eben mit dem genialen Leitsystem – als ein Vorschlag war ✂ doch – jetzt ganz quer zu gehen und hier auf den kompetenten Vergleich zurückzugehen – ?? hier dann habe ich B – wäre eine Möglichkeit warum nicht – an – Wunder bei dem einsetzen bleiben – sie nehmen einfach noch irgend ein X Wert setzen den ein – ?? haben wir noch eine Bedingung bekennen Farbe bekennen Zitatende – B bestimmen – am ein Vorschlag ?? ist gleich null – muss ich hier so viel rechnen ich würde X gleich – hernehmen – Hauptsache irgendein anderer X werde ich würde ist gleich vier nehmen wir damit es einfach wird – dann finde ich hier siebzehn – ist gleich – hier steht Arken war schon als gleich ein fünftel – hier steht auch nicht viel genommen vier minus dreist einsetzt Quadrat – macht es einfach – los – wie kennen wir nicht – vier plus zwei also mal sechs mal – vier minus drei wird einfach mal eins – genommen ?? gesagt – plus und hier steht C mal sechs C kennen wir es zweimal sechs – am – und dann habe ich habe mich habe ich ja bis zwölf bin ich rübersiebzehn – minus zwölf sind fünf ist also ein fünftel – groß B mal sechs – damit habe ich – fünf minus ein fünftel – sind vier – vier fünftel – immer noch – gibt sechs B – zwanzig fünftel plus vier fünftel vierundzwanzig – fünftel ist sechs B – B ist – vierundzwanzig – fünftel – durch sechs vierundzwanzig – durch sechs – je vier vier fünftel – was eben auch hatten das wäre – die zweite offizielle – Vorgehensweise – als erste offizielle Vorgehensweise – offiziell Vergleich – gucken sich an wie viel von den verschiedenen – Potenzen sie auf der rechten Seite haben – zweite offizielle Vorgehensweise – sie setzen – geschickte Zahlen ein – ?? gibt ihn auch im Zweifelsfall lineares Gleichungssystem – hier ein so billiges lineares ?? System das man sofort Lösungen schreiben kann – oder sie machen alles querbeet sie setzen ein paar Zahlen einen See – machen Koeffizientenvergleich – sie lesen direkt – von dem Original Ausdruck ab was es sein muss wie auch immer – Hauptsache man sich Zahlen aus – für ABC – die Hammer jetzt ja