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27.03 Stetige Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsdichte


CC-BY-NC-SA 3.0

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letztesMalgab's die diskretenZufallsvariablenZufallsvariablendie endlich viele oder abzählbarunendlich viele Werte annehmen könnenals maximal so viele Werte wenn sie wollen dies natürliche Zahlen gibtdie beschreibe ich mit einem Restaurantkann für jeden Wert einfach angeben was denn seine Wahrscheinlichkeitist wie häufig kommt eins vorwirft konnte ?? zwei vor und so weiter alle Werte durchgeben direkt die Wahrscheinlichkeitenan für die einzelnen Werte das ist die Verteilung einerdiskretenZufallsvariableheute soll's um stetigeZufallsvariablengehen die typischen Messwerte die in der Physik habedas sind stetigeZufallsvariablestetigsollheißenes gibt eine Dichtees gibt eine Wahrscheinlichkeitsdichtees gibt eine Wahrscheinlichkeitsdichtealso etwas andere Idee hinter dem Begriff stetig als das was sievon den Funktionen bis erkennen eine stetige Funktionganz in einer Linie ziehen zumindest wenn der Definitionsbereichzusammen hängt es andieser Begriff stetig ist offensichtlichetwas anders es gibt eine Wahrscheinlichkeitsdichtemuss ich natürlich sagen was ein Wahrscheinlichkeitsdichteist sonst hilft das nichtsWahrscheinlichkeitsdichtewieder eines der Wörter die man nur schwer gleichzeitig sprechen und schreiben kannwarum brauche ich sowas überhaupt angeblich nicht einfach Wahrscheinlichkeitenan Punkt ?? wird sich mit einerwahrscheinlichdichte Dichte kennen Sie schon aus der Physiksoundsoviel Kilogramm pro Kubikmeterähnlich hier die Wahrscheinlichkeitsdichteamwarum brauche ich sowasweil die Wahrscheinlichkeitenals solchevielleicht nur Blödsinn ergebenwie groß ist die Wahrscheinlichkeitexakt eins Komma vier eins und so weiter exakt Wurzel zwei Grad Celsiusaus derTemperaturmessungrauszukriegenwenn irgendwas in der Welt Sinn ergibtdann sollte dasNull seindie Wahrscheinlichkeitexaktdiese Zahl zu treffen eins Komma vier eins und so weiter und so weiter bis aufunendlich viele Stellen nach dem Komma die wahrscheinlich gar diese Zahl genau zu treffenmuss null seindas heißt diese Einzelwahrscheinlichkeithilft mir nichtsbei dem Würfelund anderendiskreten Zufallsvariablendaher für die Einzelwahrscheinlichkeitendiesen sinnvollals in Texte bei den Würfelbei so einer Zufallsvariabledie Sendephysikvorkommteine Messgrößemeist Meß groß es gibt oder andere Messgrößen die typischen Messgrößen der Physik haben diese Eigenschaftdas die genau einenWert annehmen den sie vorgeben die wahrscheinlich ?? dafür ist null das heißt es hilft mir gar nicht die Werte für jeden die die wahrscheinlich dann für jeden Einzelwert zu kennen?? damit nichts gewonnen jeder von den einzelnen Werten hat die wahrscheinlich ?? nullwas soll ich damit anfangenauch eine andere Größe da kommt die Wahrscheinlichkeitsdichteins Spielund zwar eine wasch eine Zufallsvariable heißt stetigwenn es eine Wahrscheinlichkeitsdichtegibt'sin dem folgenden Sinnewas das sein solleine Funktiondie ich integrierenkann und dann kriegt Wahrscheinlichkeiteine Wahrscheinlichkeitsdichtesoll so funktionierendass die Wahrscheinlichkeiteinen Wert ich schreib das jetzt mal so das die Wahrscheinlichkeiteinen Wert zum Beispielzwischen dreizehn und zweiundvierzigzu habenwie groß ist die Wahrscheinlichkeitdass meine Zufallsvariableeinen Wert zwischen dreizehn und zwoundvierzig hatdie muss ich dann mit der wahrscheinlich als Dichte schreiben können als integralnatürlich nicht nur für dreizehn sein vierzig sondern für alle Paare von Zahlenwahrscheinlich dass sich die wird gerne mit dem kleinen P geschriebenkleines B zu erkennen wie von X die X als ich gebe nicht mehrin diesem Fall die Wahrscheinlichkeitfüreinen ganz genauenZahlenwert ansondern ich gebe Sohne Arztaus geschmiert Wahrscheinlichkeitanmuss die erst integrieren und kriege die Gesamtwahrscheinlichkeitähmmeines Plot wirdirgendwo ist meine Kurvevon der WahrscheinlichkeitsdichtedasBild komischerwurde Wahrscheinlichkeitsdichtedas hier die WahrscheinlichkeitsdichtewarDichtediese Funktion muss so gemacht seinwenn ich die integriere von dreizehn bis von mir aus zweiundvierzigwieder oben wenn ich das integriereist die Fläche unter der Funktiondie Wahrscheinlichkeitdass meine Variableeinen Wert dazwischen hatdas sie dann im Endeffekt wieder Auswendigprogrammaber wie ein unendlich feines ist Programmzum Beispieles ist eher unwahrscheinlichbei dieser Kurve nicht auf gemalt habe ist das eher unwahrscheinlicheine Zahl von mir aus Zwischenmarktessein zwischen drei und fünf eine Zahl zu treffen das wäre die Wahrscheinlichkeitdiese Fläche dich hellrot chauffiert habe er die Wahrscheinlichkeiteine Zahl zwischen dreiundfünfzig treffen die Wahrscheinlichkeiteine Zahl zwischen dreizehn und fünfzehn zu treffenist deutlich höherüber die Fläche unter der Kurve so stellt man sich das vorWahrscheinlichkeitgenau eine Zahl zu treffen ist dagegen null bei einerstetigen Zufallsvariablendaskann man sich damit jetzt entsetzlich vorstellen wie groß ist die Wahrscheinlichkeitgenau eine Zahl zutreffend nämlich die Zahlzweiunddreißigwie groß ist die Wahrscheinlichkeit?? ich hoffe also dass die Zufallsgrößegleich zweiunddreißigistdas ist die Wahrscheinlichkeitdass meine Zufallsgrößeum dieseFormulierung wieder aufzunehmengrößer gleich zweiunddreißigund kleiner gleich zweiunddreißigistbis auf diese Verträge weiß oben umschreibtzwar das ich kleiner gleich X unszwar Access kleiner gleich zweiunddreißigdas wäre die Wahrscheinlichkeitgenau zwounddreißigzu erwischen aber wenndiese Übersetzung immer gelten soll dann heiße Zufallsvariablestetig dieser Übersetzung soll immer gehen ich solle ich soll die wahrscheinlich kalt von so einem Ereigniseine Zufallsvariableliegtzwischen A und B immer als integral von A nach B schreiben könnenwenn das auch hier funktionieren soll muss das auf das integral von zwei ?? dreißig bis zweiunddreißigüber dieP von X die wahrscheinlich als Dichte seinundein integralbei dem sich dann nur einen einzigen Punkt raus blickendiese Fläche hier sinnvollerweiseschlicht und ergreifend gleichNullBeistrich weil sich dann auch sowie sichverhalten solldas heißt Wahrscheinlichkeitsdichtewenn ich es schaffe die Wahrscheinlichkeitvon allen solchen Ereignissender Wert meiner Zufallsgrößeliegt zwischenA und Bmit über schallest aller solche Ereignisse schreiben kann integral von A bis B über meine Wahrscheinlichkeitsdichtedann heiße Zufallsgrößestetigund man guckt sich dann nicht mehr die Einzelwahrscheinlichkeitenan die alle null sind wie groß die Wahrscheinlichkeit dass die Größe gleich Zeit wird sich S nulldreizehntes null das sie dreißig ist nullPunkt sich nicht die Einzel wahrscheinlich galten ansondern guckt sichdiese Dichte andie übernimmt dann die Rolledes ist du kannstalso eine die Verteilung einer stetigenZufallsvariablekann ich beschreiben indem ich einfach diese Funktion angebendas sie zum bisschen aus wie das ist okayhat noch eine weitere Eigenschaftwie das ist Programmwenn sie nämlich angucken wie großdie Wahrscheinlichkeitisteine beliebigereelle Zahl zu treffendie Wahrscheinlichkeitdass dieVariablebeliebigistein knappes ?? gesagt das die Variable irgend einen Wert annimmt sowie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass diese ein irgendein Wetter mit seitlich Einsseinklaraber wie kann ich das jetzt auch schreibendas wäre die Wahrscheinlichkeitzwischen dreizehn und zweiundvierzig zu liegenam wenn ich die Wahrscheinlichkeit bestimmen wollen würde zwischen minus zehn hoch hundertund groß zehn hoch hundert zu liegenwäre das das integralnichtwissen will wie groß die Wahrscheinlichkeitist überhauptirgendeine reelle Zahl ausglich zu haben werde ich von minus unendlich bis plus unendlich integriert die komplette Flächeunter der Kurveist die Wahrscheinlichkeitüberhaupt eineZahl erwischt zu haben und dies natürlich einsdenn es soll immer eine reelle Zahl rauskommen also dieses integral von minus unendlich bis plus unendlichüber die Wahrscheinlichkeitsdichtesoll Einssein damit das funktioniertdas passt auch wieder zu dem ist Programmbei dem es zu Komma dass eine Summewenn sie alle Balken Aufsummenmüssen sie hundert Prozent rauskriegenhiermuss es so seindas die gesamte Flächeunter der wahrscheinlich als Dichte eins istdie wahrscheinlich als Dichte darf sich ins unendliche erstreckenes muss aber in jedem Fall die Fläche drunter Einssein??das wäre erlaubtdasextrem groß extrem kleine werde ich Mama etwas allgemeiner Kurve hier extrem groß extrem kleine Werte auftauchensie müssen nur hinreichend selten auftauchen diese Fläche hiermuss Einsseindie Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsdichtegelesen?? ?? gewesen??ein unterschiedGemüt aber schon mal dingfest machenbei derbei dem ?? Programmbei dem ist Programm darf keiner dieser Balken über eins liegensind jaquasi Prozentangabeneins kommt eben zehn Prozent der Fälle zwei kommt in zwanzig Prozent oder fünfzehn Prozent der Fälle und so weiterkeiner dieser einzelnen Balken dafür hundert Prozent liegen ?? Programmsonst ganz fürchterlich was falsch gelaufen bei der Dichteist das etwas andersdie gesamte Flächemuss Einsseindas heißt aber nicht dass diese Spitzennicht über eins liegen dürfendas habe ichohne Lücken Texte steht im Text dazwischen ich mag aber einmal aufsowas kann passieren bei der Dichtedie Fläche unter der Kurve muss Einsseinaberdieser Blick hier zum Beispielder dürfte auch gerne die Höhe von mir aus dreizehn habenbei Mistprogrammwäre das Verbotbei der Dichte dürfte der Blick die Höhe dreizehn haben die kriege ich das hin könnt wie wie kann ich das erlauben das subjektive dreizehn hat weit über einsalso ?? das hinkriegen dass dieser peak was von der Größenordnungein dreizehnte breit istdann Haut sehr hindann haben sie insgesamt Fläche von einsdas kann passieren bei der Dichtedie Dichte kannweit über eins groß werden anders als das ist Programm wichtig ist nur dass wenn sein Kickauftrittweit über eins dass der schmale ist der kann ich über monströs breiten Bereich auftretenmuss so schmal sein dass die Gesamtfläche weiterhinEinsseinähmdas Dichte heißtsieht man am besten immer ?? Einheiten macht ich schreibst malmit Einheiten in das ist dann endgültig der Lückentext Nummer zwölfwas passiert mit Einheitenalso angenommen dass er jetzt wirklicheine Kurveüber Temperaturmessungendie Wahrscheinlichkeitsdichtefür irgendwelche Temperaturmessungenwochenweisedurchgeführt werdenandann habe ich noch was weiß ichhier vielleicht irgendwo meine Zimmertemperaturoder zumindestbasierende Natur sank bei drei hundert KelvinWahrscheinlichkeitsdichtein welcher Einheitmuss ich jetzt Wahrscheinlichkeitsdichteangebendie Fläche unter der Kurve soll Einsseinweiterhinein schöner Platz für die einzig ?? dahindie Fläche unter der Kurve soll Einsseinangenommenmeine Zufallsvariableistin Kelvin gemessenenTemperatur in Kelvinwelche Einheiten sind diese Dichte habenwelcheEinheit muss P haben??nimmer ?? Beistrich ein Rechteckmit einer ?? Qualität mit dem integral nehme man ein Rechteck und überlegen uns in welchen Einheiten die Fläche gemessen fürdiese Kante unten würde in Kelvin gemessendiese Kante würde gemessen in der Einheit?? in der die wahrscheinlich plötzlich die gemessen wird und das Ergebnissoll eine Zahl plötzlich ohne Einheit seieine nackte Zahl keine einer der weiche hundert Prozent und sie wollen oder die nackte Zahl eins damit dieses ProduktKelvin mal irgendwasohne Einheit dasteht muss die y-Achsedie Einheit einst durch Kelvin habendie Wahrscheinlichkeitsdichtemuss die Einheit einst durch Kelvin habensie hier brauche ich was wie einst durch Kelvinmüssen sich überlegen ?? dass sie auf geteiltesTannen Kelvinder Benutzung dieser völlig danebenAmazon wirklich als Kelvin und dann mal das mal so hindass hier tatsächlich bei null Schluss istbei der Kelvinskalades physikalischen ?? etwas sinnvollerin welcher Größenordnung müssen wir ?? liegen als es müsste irgendwie eine Zahl sein Mal eins durch Kelvinsowas wie Wahrscheinlichkeitpro Kelvin ähnlicher Größenordnung müsste hier liegensicher das sagen ja mir tatsächlich die null Kelvin vorgestellt im Ursprungdannhier muss stehen ein drei HundertstelPi mal Daumennur dass man mal klargemacht hat in welchen Größenordnungenlebt dennwenn das hier ein Dreihundertstelist das S drei hundert ??habe ich hierein Dreieckdas ist drei hundert Kelvin breit einst durch drei hundert Kelvin hochdas heißt die Fläche von diesem Dreieck wäre ein halbTannen Kelvin ByteEinzelteile geben hoch die Fläche wäre ein halb und hier habe ich ungefähr noch mal dieses Dreieckinsgesamtgemeinsam die Fläche einsangibt die noch Lichen Idee warum Dichtehier steht der Kehrwert der Einheitvon der EinheitderZufallsvariablenhier meinen Kehrwert WahrscheinlichkeitproKelvin Wahrscheinlichkeitpro Meterso kann man sich das grob vorstellen was die Wahrscheinlichkeitsdichtemachtdas es nicht mehr jetztnur der Wert einer Wahrscheinlichkeitsondern das integral davon das integral der Wahrscheinlichkeitsdichteist die Wahrscheinlichkeitdas führt zu diesen komischenEffektendie wahrscheinlich als Dichte darf größer werden als eins?? dich nie negativ werden klar sie darüber größer werden als eins wenn denn dieser peak schmal genug istund sie hat typischerweise eine Einheitwenn die Zufallsvariableeine Einheit hat die Dichte den Kehrwert der Einheit damit die Fläche wieder ein Asus sein kannähmdiese beiden Sortenan Zufallsvariablensind leider nicht alles was theoretisch vorkommen kann dass sie weder stetige eine kleine Dichte hatletztes Mal das mit Mistprogrammdiskrete Zufallsvariablendie nurendliche oder Absorber unendlich viele Möglichkeiten haben als Wert anzunehmen?? werden zunehmendanin der Mathematiksind das nur die Extremfälleist jedoch noch ganz andersich mal einen auffolgendes Experimentwerfe eine Münzefür Münze steht im Textnicht ab zumalwerfe eine Münzedie liefert entweder Kopf oder Zahlnicht aufgeschriebenähmfällt sie auf Zahlsage ichX ist mein ist die aktuell gemessene Temperaturaktuelle Temperaturund fällt sie auf Kopf die Münze sage ich X ist gleichsieben oder von mir sieben Kelvin neunzehn Einheiten passtPunkt das wäre eine Arteine Zufallsvariablezu bauen?? auf eine Münzewenn die Münze auf Kopf fällt ?? Zufallsvariablesiebenmit die Münze auf Zahl fälltaufs Thermometerund sage das was auf dem der Mieter steht ist der Wert der Zufallsvariablenist erschrägdas Ergebnis ist auch eher schräg aber eine ordentliche Zufallsvariablean wenn ich das jetzt auf Malendas hier istder Wert meiner Zufallsvariablenin die Höhe die Dichteannach irgendwo ist die Zahl siebenpersönlichen Kelvin machen wir wobei drei hundert von mir ausdie müsstedie Dichte dafür aussehenwenn es eine gäbedie Wahrscheinlichkeitdas sieben raus kommt die wird ein halb sein das heißt es müsste sowas gelten wiewenn ich das integralervonsechs Komma neun neun neun bis sieben Komma null null eins über die Wahrscheinlichkeitsdichtedann müsste das ein halb seidenn es kommt der Wert siebenmit der Wahrscheinlichkeitein halb dieses integral müsste denWert Einhalt haben ein halb habenbei sieben genau dazwischen liegtwie müsste die Wahrscheinlichkeitsdichteaussehen als Kurveein halb diese Fläche ein halbmuss ich auf einem unendlich kleinen Stückchen auf der x-Achse unterbringendie einzige schon sie einen monströsenpeak zu habenähm?? keinen Jahr wenn sie wollenin gewisser Art eine Polstelle ein dichtes erst mal verbotenPunkt das Problem ist ja dieser peak muss sofort weg sein bei sechs Komma neun neun neun neun darf nichts mehr davon zu spürensein Besitz Komma neun hundert neunundneunzig an ist davon üppig zu spüren sei dieser peak muss in endlich mal sein unendlich hoch und die Fläche ein halb habendas haut mich wirklich gut hindannalso Summe sich den den Dichter unterbringenunendlich hochunendlich schmalund mit der Fläche ein halbso lediglich ein halb ?? und danke mir noch die Verteilung der aktuellen Temperatur dazuauch Norma mit derFläche ein halbso sehr das dann insgesamt aus die beiden addierenandas Ergebniserstmaligin der Schulmathematik geht das nicht es gibt in der Schulmathematik eine Funktionäh die null null null null null ist nur an dieser einen Stelle siebenunendlich ist was dann auch schon verboten ist und dann noch die Flächen Hauptrunde hatdas Haus nicht wirklich gut hin also dieses hier wären weder diskretnoch stetigbemerkt dass es Lückentext mal dreizehn Uhr statt ?? darüberKomma dass es weder diskret noch stetigist natürlich an den Haaren herbeigezogenwenn manStochastik korrekt macht muss man sich über sowas daneben Gedanken machen das es solche Fälle geben kanndie man nicht?? mit dichtenerledigen kann alleine die man aber auch nicht mitihrer Familie die man auch nicht mit Isogramm alleine erledigen kannin der Praxis netterweise haben sie das eine oder das andere entweder haben sie zwar den Zustand einer Maschineund erst bei dem seit exakt zwei verschiedene Möglichkeiten gibtodersie habeneine Messgrößeund dann ist das Dingauchaußer in extremen Fälleneher eine stetige Variable in der Quantenmechanikkönnte das etwas anderes passieren aberbei den typischen Messgrößen haben dannstetige Variablenaber das ist noch nicht alles im Prinzip es könnte einsowas pathologisches Jahr passierenund erst bei dem seit exakt zwei verschiedene Möglichkeiten gibtodersie habeneine Messgrößeund dann ist das Dingauchaußer in extremen Fällenäh eine stetige Variable in der Quantenmechanikkönnte das ?? was anderes passieren aberbei den typischen Messgrößen haben sie dannstetige Variablenaber das ist noch nicht alles im Prinzip es könnte einemsowas pathologischesJahr passieren