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03.04_05_06 Skalierung, Drehungsmatrix, Verschiebung

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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kurze – Wiederholung was bisher geschah – ?? – ich hatte Ihnen – abstrakt erzählt wozu Matrizen – da sein sollen – Punkt wenn ich so eine Matrix habe kann ich die zum Beispiel mit einem zweier Vektor multiplizieren – eine zwei mal zwei Matrix mit Amtsweiherweg – durch ?? ?? dreimal zwei Matrix – drei – Zeilen zwei Spalten zwei Effekte modifizieren – und zugleich macht es zweimal zwei Matrizen mit dem – mit zwei Vektoren multiplizieren – Punkt – das ist im Endeffekt eine Möglichkeit und zweier Vektoren wieder zu ?? zweier Vektoren zu machen als er dich jetzt oben – einmal fünf plus zwei null sechs fünf Pluszeichen – fünf plus zwo dreimal – Pfründen – plus vier mal sechs das Smart fünfzehn – plus – vierundzwanzig – Stunde unten – so eine zwei mal zwei Matrix ist also ein Weg – um – beliebige zwei Vektoren – wieder in zwei Vektoren zu verwandeln ✂ und das macht man sich nun zum Beispiel zu Nutze um – dann zum nationengemäße – Schar zu beschreiben nach ?? benutzt man Matrizen auch Gleichungssysteme – für physikalische – Größen – ?? das aller einfachste finde ich – was man sich unter Matrizen vorstellen kann ist dass man damit dann – das Handy auffasst als Translationen – zum Beispiel SR zwei – bis drei – Verformungen – der Ebene oder des Raums – Punkt das Beispiel an eine Skalierung – zwar einen Skalierungsfaktor – drei X – um Faktor drei entlang ?? – Produkt soll erst – in ?? X um Faktor drei und entlang Y vom Faktor – zwei ?? ich möchte alle – X Werte auf das dreifache bringen und allerliebsten Werte auf das Doppelte bringen – heißt wenn ich – das gerne zum – kleinen Häuschen – wenn ich mir sowas ja ein Male – ins – Gnadensystem – schildern – da mal ich mich immer ein bisschen Bild ein – Mann in die zu kriegen was da passiert so – eine Figur – jeder Punkt der Ebene – soll nun so verformt werden – X mal – drei Y mal zwei – Zahn – Y wird ein bis vier gehen – und X wird bis sechs Millimeters – gelegt – bis – sechs – so – der Ursprung – X mal zwei – Jahre X mal drei Y null zwei null null die Ursprung kleine dem Ursprung – dieser Punkt hier – X gleich zwei Y gleich null – sechs mal drei Y mal zwei – dass wir zu sechs – null – dieser Punkt – X gleich Null – bleibt null – Y gleich eins wird zwei werden – dieser Punkt – X gleich zwei Psalm gleich eins – aus zwei wird sechs Autos – eins vier zwei sechs zwei der Wetters werden – und diese hier eins zwei – wird zu X mal drei drei – und die Höhe verdoppeln zwei wird zu – vier Euro – okay – kann sich überlegen – das alle dazwischen tatsächlich auch dazwischen bleiben – wenn sie diese – Operation ausführen bleiben geraden geraden – das heißt die Punkte dazwischen – bleiben wirklich dann auf den – das würde hier passiert – das kann ich mit einer Matrix schreiben – das ist ja Abbildung dieser schon heißt die Abbildung – des R zwei – auf den er zwei – indem ich alle X Werte um dreispreizungsallerliebsten – Wert um zwei spreizte das kann ich zum Beispiel mit einer Matrix schreiben – kannst – in diesem Stile – das ist der Ortswechsel ist Punkt der Rhein geht das ist der Ortsvektor des Bundes herauskommt – bezüglich die Matrix passen Punkt – auch als eine Matrix dafür sorgt dass alle X Werte mal drei modifiziert werden Y Werte mal zwei multipliziert – werden – das will ich X Y mein Vektor Y soll abgebildet – werden auf – eine Matrix – mal diesen Vektor und ich weiß schon was rauskommen soll – X soll verdreifacht werden – Y soll – nach Y soll verzweifelt werden ?? – verdoppelt werden ?? verzweifelt – verdoppelt werden – was schreiben Sie in die Matrix rein damit X verdreifacht werden Y verdoppelt wird – sie schreiben hier drei – null Reindan – muss oben stehen dreimal – X plus Nummer Y sind die Dreiecks – oben erledigt – und unten schreiben Sie einen null zwei – null mal X plus zweimal Y – zwei Y auch – das heißt wenn ich so eine Matrix sehe – bei der nur auf der Hauptdiagonalen – was steht auch in dreimal drei Tankstellen dessen Matrix in drei mal drei vor ihr steht was – da steht was da steht was null null null so eine Matrix sehen auf der bei der nur auf der Hauptdiagonalen – Beistrich müssen Sie – das muss eine Skalierung sein X wird mit dem multipliziert Y wird mit dem multipliziert – sind wird mit dem bezieht – das bedeutet diese Matrix auf – billige Art – und ein einfacher – grafischer Effekt – Komma sofort in matlap an das dann geht – nun – auf eine etwas – überraschende Weise vielleicht am Anfang ?? ich hab dieses – diese Figur hier übersetzt sich in eine Folge – an – Punkten – null null – zwei – null – ?? Office in das weit über die vor Punkten anderen sehen was passiert – war – ?? aufgeschrieben null eins – zwei zwei – eins – drei – null – erste Zeile – einer Matrix – und es geht mit der zweiten Zeile weiter Auswahl drunter Leerzeichen ?? null – null – null – ?? das möchte ich nicht ausgegeben haben erst mal Semikolon – ließ sie das – Beistrich als Matrix – dass wir jetzt eine Matrix mit zwei Zeilen – und – fünf – elf – Spalten lesen Sie das als Liste von – Ortsvektor null null eins null eins eins zwei eins zwei zwei zwei ?? – den – Plot sich tatsächlich mal – als Kurvenverlauf – durch diese Punkte durch Obst – waren – Y Leertaste immer noch – und zwar – bei diesem Befehl muss sich – X Werte Y Werte angeben – und ich hab sofort was dahinter das nenn sie XTC Quellen zu sagen bitte die Maßstäbe – auf x-Achse – und – y-Achse – gleich groß machen und sitzen bisschen komisch aus das macht das hier – so der Plotbefehl Windel ist ein X werden haben und wissen Y werden haben die verbindet er dann in der Kurve – eher – mit ein Polygonzug soll ich sagen – Polygon zu verbindet – mich also null null verbinden mit eins nur Färben mit eins einzubinden mit zwei eins – Liste X werden ist folgendes – nehme dir – dann nicht X – X – dieses dann X Komponenten – ist nehme dir aus diesem X immer die erste – Zeile – und zwar davon – alle Spalten – und für die Y Komponente nehme aus diesen – X – die zweite Zeile und davon ?? speichern – so sieht das Haus – das hier macht mir eine Liste – der – äh – X Komponenten hier – und dieses hier macht nur eine Liste der Y Komponenten – nehme die erste Zeile von – dieser Matrix X nehmen die zweite Zeile von der Matrix – ist Wissen technischer Kleinkram hat nicht viel mit Mathematik zu tun das nette ist das ich auf diese Weise Figuren färben kann – ?? doch kein Häuschen Überraschung der Buchstabe F – ähm – R null null eins null null null eins null ?? und so weiter eins eins – zwei eins – eins zwei plus – eins zwei ist der da oben – und so weiter – ringsum bezogen – also nehmen Sie diese Liste der stets – assistant Punkt – wenn ich jetzt diese – Matrix – hier mit einer anderen modifizieren – zum Beispiel der von eben – das war drei – null – bei – ?? drei null null zwei das war meine – Matrix von eben – wenn ich diese Matrix – mal das Tics nehme – dann heißt das – den – ersten Vektor hier – mal Art zu nehmen – gibt die erste Spalte im Ergebnis ist zweite Spalte von X zu nehmen gibt die zwei Spaltenergebnis – mittig Text ja nicht jede einzelne Spalte durch die Matrix Arthurs – auch wieder nur ein Trick – um das ganze kompakt schreiben zu können was sie also rauskommt – was sie rauskommt – zum gucken was da rauskommt – ist was ich wenn ich jetzt jeden Vektor Einzelnen – durch die Matrixmeister – null null durch die Matrix schmeißen wird null null eins null – X mal drei Y hat zwei drei null und so weiter – das ist das Ergebnis – dieser kleiner technischer Trick – war nicht ganz so dramatisch mir geht's darum jede Folge an Vektorwochen – durch eine Matrix werfen des Ergebnisses Y – gemäß Ergebnis angucken – befehlen ?? natürlich – Y – was aus dem Haus gekommen ist – ?? Befehl an – sie sehen – dass diese Breite von dem – Grund spricht SF nun plötzlich drei ist das dieses zwei wird – das wahrhaben Wollen Sie jeden einzelnen Vektor eigentlich jeden Tag – Punkt sie sanken Ortsvektor Insekt Punkt – haben – durch die Matrix müssen das ist das Ergebnis hier das immer gleich nutzen bisschen mehr zu verstehen was die anderen – Translation – Sonderskalierung – ist die billige Geschichte – das war zum Einstieg – ?? Drehung ist viel spannender – denn sie fallen Drehbewegungen – der Physik oder wenn man – in andere Koordinatensysteme – geht – in der Physik – die gegenüber den Originalen gedreht sind wie komme ich von dem ein System mit anderen Drehung – ein – vorbereitende – Trick ist folgender – wenn sie eine Matrix haben A B C – D – und die loslassen – auf – den ersten Vektor der Standardbasis – eins null – was kriegen sie raus ✂ AC A mal eins – groß B mal null oben steht ?? – und steht – zweite Zeile einzige Spalte – C mal – eins plus de meine – da steht sie – etwas entsprechendes passiert wenn ich diese Matrix A B C D mit null eins multipliziere – aber mal null groß B mal eins der steht nur noch B zehn mal null plus de mal eins da steht die – das heißt – wenn ich meine – Standardbasisvektoren – einsetze – und gucken was die Matrix aus den Standard Basisvektor – macht – das etwas ganz blödes ?? der erste – wird einfach zur ersten Spalte der Matrix AC – und der zweite – wird zur zweiten Spalte der Matrix die können als aus der Matrix direkt ablesen was aus diesen beiden Vektoren wird – des besonnenen Massenwassers Sinne sprechen Punkt nimm sie den Punkt in den D Punkt – beide – Abstand eins vom Ursprung sie können direkt mit der Matrix sagen was passiert dieser Punkt wird bei AC landen – und dieser Punkt wird bei Bd Leitender steht sofort in der Matrix drin – was lesen kann – also das hier ist gratis die erste Spalte – und das ist gratis die zweite Spalte das klappt natürlich auch bei vier mal vier Matrizen und bei – achtundneunzig mal achtundneunzig Matrizen – sie können direkt aus der Matrix ablesen was aus der – was aus diesen Punkten als null null eins oder null null eins null null eins – rauskommt – das kann uns jetzt zu – Nutze machen bei der Drehung – wenden sich eine Drehung durch eine Matrix darstellen – lässt – die lässt sich aber einig mit mir genau überlegen dass das geht – wenn sich eine Drehung durch eine Matrix darstellen lässt – ?? guck ich mir doch einfach an was aus dem wird was aus dem wird – wenn ich diese Ergebnisse kenne kann ich die Matrix wenn ich weiß was aus dem eine Seite mit Sichtung wird nicht die erste Spalte – wenn ich weiß was aus meiner Sekten ?? Richtung wird die zweite Spalte – und kenne die Matrix – das guck ich mir zu Fuß an für die Drehung – auswendig – und zweiundvierzig Grad sonst – am – ich möchte – das die gesamte – Ebene um zweiundvierzig – Grad gedreht wird – Y – aber ich gucke mir nur – diesen Vektor an – uns – diesen Weg zwar – alles um fünfzig Grad entweder das ?? mit dem Häuschens statt mit Buchstabe F – auf Malen also – wenn ich das Häuschen habe – als Figur in der Ebene markiert – möchte ich – das es danach – um zweiundvierzig – Grad um den Ursprung gedreht ist – Matrix Feinstein – mit der gezeigt ?? noch dran zu sagen warum eine Matrix das kann Punkt eine Matrix eine Drehung darstellen das gerne was ich von der Matrix hätte – ähm – und was wir nun wissen – es reicht wenn ich weiß das aus den beiden wird – dann weiß ich was die Matrix aussehen muss als überlege mir was mit dem passiert wenn ich den fünfundvierzig – ?? zwei Tätigkeit will – den zwoundvierzig Grad – besitzt – so dem zwoundvierzig Grad drehen – und den zwei vierzig Karte in das es was mich interessiert – und was da rauskommt – schreibe ich in die Matrix – ?? – vierundzwanzig – Grad darf zwoundvierzig Grad – wie die Komponenten – von diesem Vektorjahr – besagen die Koordinaten von dem Punkt und ich will die Komponenten von dem Vektor haben das für die zweite Spalte der Matrix – sei sie für die Koordinaten von den Punkt – wie kriege ich die – ich nehme diese Länge einst Reh sie das heißt das ja auch die Länge eins – rechtwinklige Dreieck – über die muss mit der Länge eins – das hier ist die gegen Kathete gegen Kathete durch Apotheose ✂ der Sinus – über die Seitenlänge eins das heißt hier ist der Sinus von zweiundvierzig – Grad – hier ist der Kosinus von zweiundvierzig – Grad an Kathete – je Witz müsse komischer – auf Widersprüche Muse länger eins rechter Winkel – dann – die – Y Koordinate ist auch okay das ist hier der Kosinus – von zweiundvierzig – Grad – an Kathete zu dem Winkel – wie groß ist X – vom Betrag her ist das der Sinus – aber im Koordinatensystem – zeigte nun natürlich nach links das heißt hier habe ich minus – Sinus von zweiundvierzig – Grad mich interessieren ja die – Koordinaten von dem Punkt oder die Komponenten von diesen Vektor – und die X Komponente davon ist negativ – minus zweiundvierzig – Grad – und damit habe ich die Matrix – mit einer – relativ billigen Überlegung – wenn ich mich – jetzt sehen – damit weiß ich jetzt die Drehungsmatrix – mit welcher Matrix muss ich die Ortsvektor modifizieren – damit die gedrehten Ortsvektoren – rauskommen – die erste – Spalte – in der ersten Spalte steht was aus dem X Standard Basisvektor – wird – also Kosinus – Sinus – in der zweiten Spalte steht was aus dem Y – Standard Basisvektor – wird – minus Sinus – Kosinus – und das geht natürlich nicht ?? mit zwoundvierzig Grad klar – das geht für alle Winkel damit dann hat man die Drehungsmatrix – dann – was ich jetzt nicht gesagt habe ist warum es für die anderen Punkte eigentlich auch stimmt – wenn ich eine Drehung mit einer Matrix darstellen kann – wenn ich diese Drehung um den Ursprung und sein vierzig Grad im Uhrzeigersinn – mit einer Matrix ähm darstellen kann dann geht nur diese – offensichtlich – denn – ich weiß was rauskommen muss für eins null und was was rauskommen muss für null eins – und damit die Matrix komplett festgelegt – waren – ein ganz strenges müssen jetzt einige sagen ja warum geht's denn auch für den Rest – und für den Rest geht es – weil – sie jeden anderen Vektor natürlich hübsch diese beiden zerlegen können Zerlegung mit dreht – wenn Sie einen – beliebigen Vektor zerlegen – Beistrich damit Index vorgesehenen – Anlagen Komma – wenn sie einen beliebigen – wenn Sie einen beliebigen Vektor zerlegen diese beiden – sagen okay dieser Vektor hier ist zum Beispiel – zweimal – der standardvektorbasierte – Richtung und – null Komma sieben mal der Standard Basisvektor – in – Y Richtung – wenn sie nun drehen – sie dann drehen – das ganze um zweiundvierzig – Grad Punkt – das ganze um zwoundvierzig Grad drehen – dann ist dieser neue Vektor – in der rote gedreht wird ja – analog zusammengesetztes – gelingt – es mir gelingt – sowas – sowas – dieser gedrehte rote Vektor ist er wieder so zusammengesetzt – der ist eher – das – das Doppelte – kommt jetzt die ganze Komma Leerzeichen das Doppelte von dem gedrehten – X Basisvektor – und das null Komma sieben fache wie vorher von den gedrehten Y Basisvektor – diese Zerlegung – bleibt dieselbe – ?? bisschen hantieren – damit er einen – mit aus modifizieren und so weiter – nicht vorführen sieht man dass das nicht anders sein kann – also die dargestellte – zwangsläufig – und das ist – die Matrix welche – für die Drehung für – wenige Zeit vierzig Grad – Drehung zwangsläufig – um den Ursprung – denn – am Sinnidee schon warum muss die Drehung – zwangsläufig in den Ursprung sein Bes mit einer Matrix schreiben – wenn sie eine Drehung haben ein Punkt denn nicht der Ursprung ist – eine Drehung nicht um null Grad und hundert sechzig Grad eine Drehung die wirklich was tun ✂ um ein ?? Punkt denn nicht der – Ursprung ist dann wird diese Drehung den Ursprung bewegen zwangsläufig – der Punkt ist und fang an zu drehen dann musste Ursprung wandern – welcher Wanderung was Hundematrix macht Matrix mal die Ortsvektor des Ursprung ist immer – dem Ursprung – jede – Transformation – dich – einfach mit der Matrix schreiben kann muss den Ursprung liegen lassen – die Matrix mal der Sprung ist der Ursprungsmatrix – mal Artikel des Ursprungsartikels – Ursprung ?? – ähm – also jede Transmission – muss den Ursprung liegen lassen eine Drehung um einen – anderen Katzen Ursprung des ursprünglich liegen kann nicht hinhauen – das muss dann wenn überhaupt zwangsläufig eine Drehung Ursprung sein – das noch als Seminar Aufgabe das man meine allgemeine Drehung sieht um beliebigen Punkt ist keine Aktion aber geht nicht einfach mit – Matrizen – ähm Spiegelungen kann man sich endlich überlegen – sich einen wie – einzelne – ?? wie diese Standard Basisvektor – gespiegelt werden schreibt das mit dem Sprossen sind fertig – damit machen Drehung und Spiegelung – und das – vielleicht billigste von allem – etwas was erstmalig mit Matrizen geht Verschiebungen – ein Wort schreiben ?? – Übungen – wenn ich jeden Punkt – sagen wir um zwei Nix Richtung – auf zwei Nix Richtung und und drei Y Richtung verschieben will – Punkt – den möchte verschieben – gehen möchte Punkt solange – man – den möchte verschieben – den möchte verschieben – auch das geht wieder nicht mit einer Matrix – das simpelste Ding von allen geht nicht mit einer Matrix weil – du ursprünglich liegen bleibt – zumindest wenn sie was anders verschieben als unter Nullvektor – im Mai sind sie wie eine Verschiebung beschrieben wird ?? Verschiebung wird durch ein Vektor beschrieben sie geben den – Verschiebungsvektor – an – Soldaten aus ?? eine Parallelverschiebung – aber sei nicht klar – und Verschiebung redet eine Parallelverschiebung – für durch den Verschiebungsvektor – bestimmt – der Ursprung bleibt nicht liegen – das geht nicht mit einer Matrix – aber es geht anders – wenn – die Nummer immer noch fünfzehn Nervenzellen schrien – an – fünfzehn – was kann ich meinem – Ortsvektor Anton – das kann ich dem ANTUN – damit der Punkt verschoben wird – also wenn ich den Verschiebungsvektor – haben wir zwei drei zwei nach rechts drei ✂ nach oben – nehme ich einfach den Ortswechsel – des Punktes – den ich verschieben will addiere – das dazu – und bin darum – sie addieren einfach den Verschiebungsvektor – Platz schaffen – und so – plädieren einfach den Verschiebungsvektor – finden Ortsvektor vom neun das hier wäre – X Y plus – zwei – drei – das also noch viel billiger als was Matrizen tun sie addieren einfach den Verschiebungsvektor – zu – uns – das für euch im – Seminar denke ich vor – wenn sie das beides – zusammen bringen dieses verschieben – Tradition eines festen Vektor – und – dieses hier Modifikation – dieses hier Modifikation mit einer Matrix in die das zusammenbringen – können Sie auch – Drehungen um jeden Punkt darstellen Spiegelungen – an jeder Achse Darstellungen – Skalierung – aus jedem Punkt heraus – warum soll ich aus dem Ursprung herausskalieren – warum soll ich nicht – aus dem Punkt herausskalieren – das kann man dann – alles hinkriegen wenn man die – Verschiebungen zusammenbaut – mit den Matrizen – jetzt habe ich gar nicht die Drehung im Mittelpunkt wird das ?? ist noch – womit der schon läuft und dass es auch noch als Drehungsmatrix – und zwoundvierzig – Grad – war es gleich – links oben soll der Kosinus von zwoundvierzig Grad stehen – natürlich – kleiner – sein vierzig Grad – elf will – Radiant haben und nicht gerade ich werde es bei dem Winkel um rechnen ?? mal Fifi – es gleich ich möchte aus meinem soll aus Mainz Wein vierzig Grad – jedoch nicht vom ein zweiundvierzig – Grad – in Radiant – als zweit vierzig mal Pi durch hundert und achtzig – ?? vier hundert achtzig Gradstunden – durch hundert achtzig Magie kennt die Rauspersonalität – das ist mein – Winkel – und nun möchte ich meine Matrix bauen – links oben steht der Kosinus – rechts oben stets minus Sinus – links unten steht der Sinus – Augen ja das ?? verdorben hat Komma das Schreiben an das ist doch heikel – so – ohne und rechts unten steht der Kosinus – eine Matrix sein Komma sie doch noch an aller – Schönheit – ähm – das ist die Matrix – nur die nackten Zahlen sieht's – mutmaßlich nicht das das Drehungsmatrix – ist – und nun – kommt wieder der Trick der sich diesen Buchstaben – die Form des Buchstabens – mal die Matrix nehme – ganze Platte – da sind wir überraschenderweise – gedrehter – Buchstaben und können ihr sogar den Treppenstufen – erkennen dass es knapp unter fünfundvierzig Grad es für die Treppenstufen – unten gehen – das als prinzipielle – Idee – was Matrizen denn machen – kann sich sehr viele Matrizen – auf diese Weise vorstellen – zum Beispiel als Drehungen Spiegelungen Skalierung – und welche wirklich wilde Zahlenwerte – drin stehen – sind es – Kombinationen – von solchen – grundlegenden Operationen das wir dann doch etwas schwieriger vorzustellen – ?? bezieht künftig wirkliche Matrix so vorstellen dass sie die – alle Punkte der Emir zweimal zwei Matrix und Verständnis alle Punkt der Ebene nimmt – uns an eine andere Stelle bewegt teilweise auf derselben Stelle belässt – fast überall auf der selben Stelle