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09B.1 lineare Differentialgleichungen; Begriffe; Beispiel


CC-BY-NC-SA 3.0

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wir – fangen mit einer einfachen Differentialgleichung – eine zweite Ableitung der gesuchten Funktion Y – abhängig von X soll sein – Y selbst – sang immer was das mit über Differenzialgleichungen – ist – und in die sie kennen – und dann bestimmen sie die allgemeine Lösung – vom Typ ✂ her das einfachste ist die Ordnung die Ordnung einer Differenzialgleichung – ist – die wievielte – Ableitung schlimmstenfalls vorkommt die zweite Ableitung konnte schlimmstenfalls – vor – zweiter Ordnung – dann – natürlich die wievielte Ableitung wirklich vorkommen wenn sie noch null mal Y Beistrich – ein Schreiben wird's nicht wirklich dritte Ordnung – nicht im Sinne des Erfinders als echte Füße vorkommende Ableitung – zweiter Ordnung – netterweise steht die höchste Ableitung – direkt auf einer Seite der Gleichung auf deiner Seite taucht sie nicht mehr auf das ist eine explizite Frau – am einfachsten zu lösen wenn die höchste Ableitung in verstecktes – man sowas hat die – mal – Y Zweistreelos – Y – mal den Sinus von Y strichen daraus die Wurzel – ist gleich – sieben oder sowas – das wäre nicht so richtig raffiniert – so Insektiziden – Form – die höchste Ableitung steht auf einer Seite – eine nicht vors nach der höchsten ab ?? aufgelöst – ist das die übliche Form in der man die Versager schon gerne hätte das es am einfachsten so – das erwarten auch die – üblichen Löser – am Computer – versagt ?? Auslöser – vor – besondere – schwierige Sache aber sehr wichtige Sache linear – oder nichtlinear – sie ist im Jahr – meisten wohl gesehen sie ihn ja aber ich muss noch mal erklären was als im Jahr – Linie ?? heißt die gesuchte Funktion kommt so vor – hier steht – irgendwas mal zweite Ableitung des irgendwas man Ableitung bloß irgendwas mal die Funktion – ist gleich irgendwas – weiter Komma die die höheren Ableitungen – vorkommen aber zweiter Ordnung linear – könnte schlimmstenfalls so aussehen – ist auch die Funktion ihre erste und zweite Ableitung auf – den Jahr zusammengebastelt – und diese ganzen – Schmierflecken – hier – dürfen nicht mehr von Y abhängen sondern nur noch von X – Leute dürfen nicht direkt von Y abhängen sie dürfen nur noch von X abhängen diese – Kinder – nicht von – ?? nicht direkt von Y – abhängig – können aber von – X abhängig sein – tun das gerne auch gegebenenfalls – von X abhängig – also wenn ihr sowas steht wie X Quadrat mal Y zwei Strich plus drei mal Y Beistrich – minus Wurzel X mal Y ist gleich – zwei vierzig X das wäre eine lineare Differenzialgleichungen – das X Quadrat steht und die Wurzel X stört mich dabei wenig – wichtig ist es die gesuchte Funktion den Jahr vorkommt – hier steht nicht Y zwei Strich ins Quadrat – untersteht nicht der Sinus von Y Beistrich – und es steht auch nirgendwo Y strich mal – ?? Beistrich mal ?? Beistrich sowas kommt auch nicht vor – das heißt linear – die gesuchte Funktion kommt im Jahr vor – die Variable – von der – alles abhängt hier das X jetzt – die Variable die dann sonst wie vorkommen – oder die Zeit – zum Ableitung nach der Zeit geht die kann sonst wie vorkommen – wichtig ist es die gesuchte Funktion im Jahr Punkt das ist eine lineare – Differenzialgleichungen – das kostet am Anfang überwinden und ich weiß ?? – mit dem X Quadrat das sieht so nichtlinear aus – wichtig ist es das Y die gesuchte Funktion – Komma sie heißt es die gesuchte Funktion in – der Kammer nämlich ganz viele Sachen übertragen die man von linearen Gleichungssystem – gelernt hat – sicherlich im Laufe des Vormittags häufiger sehen – das was man wieder verknüpfen sollte – diese Geschichte – hat wie – ähnliches Verhalten mit linearer Gleichungssysteme – eine Stunde soundsoviel mal – X versuchen immer ?? zur Person Firma Z ist gleich bla – vergibt seine ganze Sachen die man übertragen – ?? – okay das also den Jahr – und nicht nur den Jahr – ist dabei den ja noch weitere – Unterscheidung – die ist homogen – wenn sie – lineare Differenzialgleichungen – haben – sind zwei Sorten – im Jahr – homogen – ?? ja inhomogen – diese hier ist den Jahr – homogen – da muss ich doch mal zu den – Gleichungssystem – zurück ?? sogleich System haben drei X plus vier Y ist gleich zwei sieben X minus acht Y ist gleich drei – auf der rechten Seite hier stetig in Homogenität – ?? auf der rechten Seite null Stunde – X Y dann null sechs Y null wenn der Nullstelle sich ein homogenes hinausreichen – Beistrich – wenn hier was anderes steht ist inhomogen – aber lassen sich nicht von der rechten Seite hier täuschen – dieses Gleichungssystem – drei X plus vier Y minus zwei gleich null – sieben X minus acht Y – minus drei gleichen und auch dieses Gleichungssystem – ist inhomogen – das wäre ja ganz komisch wenn ich das plötzlich homogen nennen würde es ja dasselbe Gleichungssystem – umgestellt – beide sind inhomogen – es kommt drauf an ob ich Therme habe die ohne X und Y da sind das macht das Ding inhomogen – Beistrich sind keine besonderen in so einem Kern das ist die Unhomogenität – diese Differenzialgleichungen – ist inhomogen – dass es die in Homogenität – die könnte aber auch woanders stehen – können sie allerdings schon wichtig ist dass ich einen Kern habe in dem das Y nicht vorkommt oder seine Ableitungen – dann ist es inhomogen – Tisch – steht gerne auf der rechten Seite – traditionell – aber wenn ich irgend eine Zahl gleichen gegeben kriege ist nicht ?? bevor sie ein Modell lösen auf eines nicht garantiert dass die in Homogenität auf der rechten Seite steht sonst verstehen wie hier auf der rechten Seite steht nicht in Homogenität – eines von den Y – in Homogenität ist null – diese – Versagen – der Standardform schreiben für bestimmte Dateien mal Y – zwei Strich plus null mal Y strich – minus – einmal Y ist gleich null – das wäre brutal ausformuliert was diese Differenzialgleichungen – sagt – da sie den Christen offensichtlich – mit der in Homogenität – also suchen sie danach ob es einen Ausdruck gibt der ?? die gesuchte Funktion nicht erhält in dieser ganzen Geschichte – das System – Welt – und es ergibt nur Sinn bei linearen Differenzialgleichungen – wenn hier alles durcheinander übersteht ist – Sinus und bla durch die – schrieb – am – wenn Sie hier schon zwei Strich ins Quadrat haben und Y davon in Sinus und so weiter dann lässt sich nicht eindeutig sagen was er jetzt inhomogen sein soll es ergibt ?? zwar keinen Sinn also homogen inhomogen Unterscheidung nur für den Jahr Differenzialgleichungen – und noch mehr – ist nicht nur homogen – wenn sich die Zahlen ?? angucken eins null eins eins – ist sie noch was anderes – versandte Koeffizienten – das sind die besonders einfachen – linearen Differenzialgleichungen – einzige Konstante nur dessen Konstante minus eins Konstante – versteht nicht X Quadrat – und nicht Wurzel X – vor dem Y sammelt den Konstante Zahlen vor dem Y das macht es noch einfacher – Baujahr sind viele Vokabeln ich gestehe es nun – das gute ist immer diese Vokabeln drauf hat kann man sofort hinschreiben was denn sinnvoll als Lösung wäre – ein Ansatz wie eine Lösung aussehen müsste vom Reformwerk – am heutigen Schreiben nach dem anderen Klassifikationen – zum Beispiel – Klassifikation – mit dem ausklingen ist nicht linear – an den schwarzen Peter aber wenn sie den Geist ganze – rezeptmäßig hinschreiben was im Prinzip rauskommt – besonders aus ?? zusammenfassen – zweiter Ordnung war die höchste Ableitung die zweite ist – die höchst vorkommende Ableitung ?? zweites – explizit war die höchste Ableitung auf einer Seite steht nicht mehr vorkommt des aufgelösten – Aktivisten Ableitung – im Jahr – weil die gesuchte Funktion in der – linearen Form vorkommt – homogen – weil die gesuchte Funktion – in jeder Therme drin steht und es keinen Kern gibt oder die gesuchte Funktion – kann inhomogen werden versandte Koeffizienten – hier bei dem sich der Grün eingeredet habe – die Faktoren – vor der gesuchten Funktion – sind alles Konstanten – nicht X Quadrat und nicht – minus Wurzel X das alles was dann – eine – homogene – Filiale von Saar gleichen konstanten Koeffizienten – zweiter Ordnung – und für so ein Ding gibt es einen Standardansatz – das was man irgendwann auswendig nachdem es einmal gemacht hat – ?? das ?? in – ?? wenn ich diese Situation habe – im Jahr – Homogenkonstante – Koeffizienten – dann weiß ich ich mach einen ganz bestimmten Ansatz – mit Metallansatzes – ?? größtenteils eben auch gemacht – im Hochland einmal X – das ist der erste Schritt – ?? Spezialfunktionsansatz – der funktioniert nicht immer gesehen leider auf welchen Ausnahmen – aber das ist das erste Wort Komma um die Idee zu kriegen was passiert – der Bus unter dem offen eingesetzt – ?? ?? Beistrich ?? Y setzt sich ein – den zweimal ableitenden Hand Auseinanderquadrat – imo hat man der X – das ist Y zwei Strich – das soll dasselbe sein Y also Gleicheosander – mal X – irgendwann einmal X wird niemals null – Punkt – durch den König kürzen – finde also – Lander Quadrat ist gleich – eins – also ist Lander ✂ auch nicht nur plus ein sondern auch minus eins gegebenenfalls – Lander ist gleich – minus eins – oder lange ist gleich minus eins davon keinen Waschlampen – in zwei bis ?? die ausgeprägtes rauskommt wenn sie Vorstände langer Quadrat leicht minus eins – etliche komplexe Zahlen – und müssen mit Eule arbeiten imo immer irgendwas – das ist die Stelle an der – sich die konvexen Zahlenlohn – dafür sind die konvexen Zahlen gemacht in den Ingenieurwissenschaften – das hier dieses Lande auch Komplex haben darf – und ?? mit aller weiter rechnen kann wie immer irgendwas wichtigeres mit Sinus und Kosinus des ?? der ganze Ärger mit komplexen Zahlen – an – Punkt ich habe jetzt also – zwei Möglichkeiten – gefunden – das natürlich nicht alle eine Möglichkeit – ich gefunden habe ist ?? noch einmal X – die andere Möglichkeit ich gefunden habe ist die hochminus – ein malig ?? – und daraus sicherlich eine allgemeine Lösung zusammen stricken – wird es richtig das es eine lineare – Differenzialgleichungen – ist – nicht das dass sie homogen ist eine homogene – lineare Differenzialgleichungen – Punkt – wenn Sie hier eine Lösung gefunden haben – Punkt sie nehmen das zwoundvierzig fache der Lösung – wird sich die zweite Ableitung der zwoundvierzig fachen die Funktion verzweifelt sichtbar steht schon wieder – die Lösung gefunden haben ?? das wahnwitzige annehmen von der Lösung – wenn sie zwei Lösungen gefunden haben – können Sie die Summe nehmen – die zweite Ableitung der Summe ist die Summe der zweiten Ableitungen – gesteht die Summe ?? brauche – man kann den ja Kombination – von Lösungen gegenüber vorher mit Lektoren verrechnet haben – ?? Vektoren – bezahlen und ziehen Vektoren addieren – ganz mit Funktionen hier arbeiten Funktion als Vektoren – schon mal angedeutet – wenn nichts wenn ich eine Funktion habe – ?? das löst – ein Vielfaches nehmen wieder Lösung in zwei Fraktionen haben nämlich die Suche – auch wieder ?? Lösung – jetzt schreibe ich alle Linearkombination – hin von Funktionen – ?? Vektoren die so kriegen kann – Y von X ist gleich – eine Konstante – ?? oder C eins – oder wie auch immer eine Konstante mal die eine Lösung die hocheinmal – X und eine Konstante – mal die zweite Lösung – als ob sie zwei Vektoren überlagern als ob wir sowas wäre BA mal ein Vektor – drei vier groß B mal ein Vektor sieben acht – die von Ionen verhalten sich die Vektoren – bilden ja Kombination – davon soundsoviel mal die eine soundsoviel mal die anderen – Kriege wieder eine Lösung und das dann tatsächlich alle Lösungen die man so kriegt – hoffe das es mehr oder minder einleuchtend das es alles in makelloses begründen aber das wird man diese Stelle zu weit führen – ?? – an – das ist die allgemeine Lösung ich habe zwei – Lösungen gefunden mit diesem Geruchslander – X Ansatz – und die Misch ich jetzt beliebiger Form – das unsinnige check wenn Sie eine Differenzialgleichungen – zweiter Ordnung lösen – müssen sie ja – eigentlich zwei Anfangswerte – vorgeben – was es der Staat wird von Y – Durst der Staat wird von dem Y – und mit welcher Geschwindigkeit geht's los wie der Physik – haben sie auch typischerweise der Mechanik diverser Gleichungen zweiter Ordnung sie müssen den Anfangspunkt – und die Anfangsgeschwindigkeit – vorgeben es deines Glaubens weitergehen – zweite Ordnung sie müssen zwei – Sachen vorgehen – damit sie sagen können was denn nun genau die Lösung ist – hier auch – ich brauche zwei Stellräder sozusagen sonst haut sich den Satz habe ich irgendwas verschlampt – auch diese zwei Konstanten egal wie die jetzt stehen mögen auftauchen mögen und dergleichen – auch in der allgemeinen Lösung zwei einstehe Räder bei zweiter Ordnung – allgemeine Lösung erste Ordnung der Rechner eines allgemeinen ?? dritter Ordnung der brauche ich drei von der Sorte – wenn das sich hinhaut müssen sie irgendwas schief gegangen – das sie sieht gut aus ich habe zwei Sachen zum Einstellen