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15.5.1 Potenzreihen, Konvergenzradius, Teil 1


CC-BY-NC-SA 3.0

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hier – ging's um Taylor Polynom – entspreche – ab – nach einem bestimmten Grad hier nach dem zweiten Grad und kriege eine Schmiede Parabel – jetzt wieder zurück zur Tellerreihe – was ist wenn ich das bis ins unendliche Fortsätze – wird das hinhauen – oder kriege ich Probleme – man dann eine Tiefe guckt – was denn da fehlermäßig passiert und ob überhaupt funktioniert zunehmend unendliche Summe – eine Reihe – hat so ihre Tücken beschreiben Komma die Täler bei – Entwicklung an einer Stelle X null – an dieser Stelle möchte die Funktion ihrer Ableitungen – ausrechnen – und damit sagen wie die Funktion anderswo aussieht – äh – nämlich den Funktionswert – die richtige Ableitung – sechs null – die richtige zweite – Ableitung – so weit schon – Schluss und so weiter – plus – irgendwo kommt die Enteableitung – an der Stelle X null – mal X minus X null – hindurch – in Fakultät – plus und so weiter das ist wichtig plus und so weiter bis ins unendliche – eine Reihe keine schlichte Summe – sondern bis ins unendliche – das ist nicht mehr ganz so einfach – jetzt nicht mehr nur die Frage wie groß der Fehler ist die Frage ist ob das überhaupt funktioniert – eine Summe mit unendlich vielen zum Anden – ist's nicht ganz ungefährlich – die dümmste somit sie bauen können dieser Art die dann schiefgeht wäre folgend Sie addieren eins und eins und eins und eins unendlich häufig – und es nicht an die war also diese – Reihen unendlich dankbar langen Summen – müssen ab Werk schon mal gar nicht korrigieren – wie das so schön heißt – das kann sein dass dieser Ausdruck überhaupt keinen Sinn ergibt euch kann es nach einem Fehler zu fragen – ich kann gar Summe bilden – am – dass die zwei Fragen die man sich jetzt für die Reihen anguckt als ich kann nicht einfach nur – Fehler fragen – ich muss erst mal fragen ob das überhaupt hier – möglich ist und viele Sachen auf zu summieren – ?? – erste Frage steht im Skript – ergibt – die Reihe sind diese unendlich lange Summe – sollte das anders umschreiben ergibt die unendlich lange Summe – und endlich – eine Summe sind – unendlich – nur – Sinn Fragezeichen – der professionelle – Ausdruck wäre – konvertiert – die Reihe – das wird jedoch viel teurer an – konvergent die Reihe – die lange Summe ist dann eine Reihe – man sagt – sie korrigiert – das wird uns nach auf dem Begriff Konvergenzradius – typischerweise – gibt es so einige XL für die das tatsächlich funktioniert – aber nicht für alle – das gibt also einen neuen Begriff den Konvergenzradius – und zweitens – kann man sich fragen – wenn – das der Fall ist – wenn Jahr – kommt dann aus dieser Reihe wieder die Funktion – heraus – so ähnlich wie die Fehler Untersuchung bei den Teller Polynom – die häufig natürlich – wenn ich nämlich viele Klammer auf summieren es sich da keinen Fehler habe Komma stellt sich heraus gut – auch das kann schief gehen also selbst wenn die Reihe – auf zu mir weist – konvertiert bis zu Schönheit – selbst dann kann schief gehen dass aus dieser Reihe nicht die Originalfunktion – heraus Punkt es gibt einen zweiten Begriff der äh auf den das dann für das es die einer Elastizität – von Funktion sind Funktion analytisch – ist dieses F analytisch – dann haut das hin ist das F nicht analytisch dann haut das nicht hin – also Punkt eins – führt auf den Konvergenzradius – Punkt zwei – führt auf den Begriff – analytische – Funktionen – nicht jede Funktion – hat diese Eigenschaft – zu dem ersten – Konvergenz dieser Reihe oder fliegt anders um die Ohren – guckt sich eine allgemeine – Potenzreihe – an diese Täler rein sind Spezialfall – von allgemeinen Potenzreihen – eine – Potenzreihe – die sieht so aus ich addiere A null und dann kommt da eins – X minus X null und dann kommt A zwei – X minus X null – Quadrat – plus – irgendwo – steht der Y – A N – X minus X null hoch ähm – und auch wieder los ins unendliche – sind nicht durch die Fakultäten geteilt Vorsicht – das wäre an dieser Stelle kontraproduktiv – bei der allgemeinen Potenzreihe – hat ?? nicht durch die Fakultäten steht nicht durch zwei durch sechs durch in Fakultät einfach so gelassen das heißt – wenn sie übersetzen zwischen der Tälerreihe und diese Allgemeinpotenzreihe – nehmen Sie – dieses hier – die Enteableitung – durch in Fakultät – als das AN – das wäre die Übersetzung – ähm – damit es einmal geschrieben haben – dass sie professionell geschrieben so aus von N gleich null bis ins unendliche summieren – A N – X minus X null hoch ähm – ähm gleich – die null einsetzen – A null mal – null eins einsetzen A eins – eins zwei Einsätzen hat zwei hoch zwei – Wissens unendlich – so steht es in der Literatur – an – was soll das heißen eine unendlich lange Summe – das muss man definieren – es gibt eine offizielle Definition – dafür – was soll das heißen soll einfach nur heißen – ?? schreibe ich wird definiert durch – ?? wird definiert durch – ich zum ihre – ?? nicht bis ins unendliche sondern ich bleibe – im endlichen bis einem groß N – spreche diese Summe ab – unendliche Summe – das ist eine endliche Summe – über sie kennen und lieben – auf einer jetzt dreißig Milliarden zum anstehenden ist eine endliche Summe – als die oben abgebrochenen Tellerpolynom – nach ?? – und davon will ich den Grenzwert – das soll heißen – eine Reihe zu – bilden – eine Reihe auf zu summieren – ich bilde – alle Summen mit endlichen – Obergrenzen – und gehe dann weiter und weiter und weiter und hoffe das sich das irgendein Wert – deshalb dann auch – Konvergenz – eine Reihe konvertiert – dieser Grenzwert konvertiert – das heißt die Reihe konvertiert – was man jetzt rein gefühlsmäßig – schon sieht ist folgendes – wenn – X weit weg ist von X null zur Erinnerung X null war die Stützstelle an der ich – Ableitungen ausrechnen ?? X ist – der ?? die Stelle an der ich tatsächlich – einsetzen will und den Wert nähern will – wenn die weit voneinander weg sind – wird mir das hier – um die Ohren fliegen – zehn hoch entlehnten – zum Beispiel – den ganzen zehn voneinander weg den TTC noch ein – das sieht nicht gut aus geweihte die beiden voneinander weg sind umso gefährlicher – wird das insofern ist es nicht unplausibel – das – am – dass der Abstand zwischen den beiden was damit zu tun hat ob diese Summe hier funktioniert – dieser Grenzwert konvertiert oder nicht – ein Gericht tatsächlich dann folgendes Bild – auf der x-Achse hier – dem Zahlenstrahl – irgendwo ist das X null – an dem ich entwickle – und es wird so sein das sich weit draußen – keine Chance habe – dass diese Reihe hier konvertiert – X minus X null wenn es eine nennenswerte Zahl ist hoch ähm – werde ich garantiert Probleme kriegen weil das wächst und wächst mit zwei vier acht sechzehn – das wird niemals – endlich werden – es sei denn diese Zahlen A werden wirklich extrem schnell klein – ansonsten – wird das explodieren – ich erwarte also das sich weit draußen Divergenz habe – umgekehrt – wenn die beiden nicht zusammen sind wenn ihr X ist nicht dabei – ein halb – Punkt eins ein halb hoch zweieinhalb – hoch drei – als ein halb Entwickler nach der sechzehnte – den wird es hier superschnell – super klein – ich schon des Gutes das – insgesamt zu mir weist man wird erwarten das – dicht an X null – Konvergenz – herrscht – und das überraschende ist – das überraschende ist – dass das auf beiden Seiten gleich weit entfernt – nach da und nach da es gibt eine harte Grenze – zwischen Konvergenz und Divergenz – und dies nach links und rechts in der gleichen Entfernung – das nennt sich der Konvergenzradius – Konvergenzradius – innerhalb vom Konvergenzradius – stellt ?? voraus – innerhalb vom Konvergenzradius – wenn X – die – innen drinnen – der Abstand kleiner ist als er – dann funktioniert – das – die Summe konvertiert – außerhalb – vom Konvergenzradius – endlich hier oder da – kann es auf keinen Fall funktionieren – auch nicht zufällig für irgend ein X auf keinen Fall – außer des Konvergenzrades – geht es mir zwo – und innen drin geht es immer – genau auf dem Konvergenzradius – gibt's – beide Fälle mal geht's mal geht's nicht – da muss man – genauer hingucken aber innerhalb ?? auf jeden Fall Konvergenz außerhalb auf jeden Fall – Divergenz – miteinander zu zeigen ?? über dieses Prinzip erklären – am dass es überrascht das genauso weiter unten geht dies nach oben geht – noch überraschender ist ?? des Komplexen macht – wenn ihr schon die Exponentialfunktion – in komplexen – ?? hoch drei – L drei plus vier I – mit einer Potenzreihe ausgedrückt haben eins plus drei plus vier I plus drei plus vier I quadratshalb – und so weiter – können auch komplexe Zahlen einsetzen wenn ich mir diese Reihe im komplexen angucke – erhält der Begriff Konvergenzradius – nun wirklich eine sinnvolle Bedeutungsubstanz – Imaginärteil – schreiben X heißt plötzlich meine Variable – so – im komplexen – ich sitze hier komplexe Zahlen ein – eine komplette Zahl an der ich die Ableitung bestimme Compaqs Ableitung hat man nicht ?? wusste müsse sein soll – ein – doppeltes ?? werde ich Ableitungen bestimme und hier X – komplette Zahl an der ich ausrechnen will wie meine beiden so funktioniert – folgendes wird passieren stellt man dann gleich fest – ?? noch nicht zeigen das Volks passiert – ist das X null – weit draußen werde ich Divergenz haben – die beiden weit voneinander weg sind – ?? – soll passieren – Beistrich Divergenz – auf jeden Fall ohne wenn und aber auch nicht zufällig irgend ein Punkt an dem es konvertiert – innen drin – habe ich Konvergenz – garantiert – und ohne wenn und aber – und die Randlinie das Wetter spannt ganzen Ding die Randlinie – ist total überraschender Weise finde ich zumindest ein Kreisverkehrkreis – hin – Punkt ein Kreis die ?? ging es genau – an Kreis – und – der Radius ist – der Konvergenzradius – und es gibt wirklich eine Kreisscheibe – aller Punkte die man einsetzen kann – und einen – Wert aus der Reihe raus kriecht die Reis zu mir war die Summe konvertiert ?? drei konvertiert – wird man es bezeichnen will – außerhalb des Kreises geht garantiert nicht – auf dem Kreis – es mal so mal so und jeweils gucken – so sieht das Unterstrich ?? gemacht – so sieht das dann im komplexen – unterbringen – da der Begriff Konvergenzradius – in wirklich einen Sinn es ist wirklich der Radius einer Kreisscheibe – als in so eine Potenzreihe – kann ich dann nicht – alle X einsetzen typischerweise – um eine Funktion auszurechnen – sondern nur die Echse – auf so einer Kreisscheibe – maximal – im Abstand er soll ich sagen maximal – ähm – dann Abstand kleiner als der Konvergenzradius – von ?? Punkt er dem ich entwickle – ?? punktgenau auf dem Rand weiß ich nicht ob es klappt oder nicht ?? das müssen Sie mal – anders überlegen dann – bei den gutartigen Funktionen Sinus Kosinus sechs Mensafunktion – bei den gutartigen Funktionen ist der Konvergenzradius – unendlich – das heißt dieses Gebiet geht bis es endlich es gibt nichts wo das divergent wird oder hier das geht bis ins unendliche bei – Sinus Kursen sechs mit der Funktion aber das muss nicht so sein bei den – etwas schlimmeren Funktionen – reicht das nicht der Wissens unendlich und wird ein echter Kreis – es könnte ganz blödsinnig ist passieren dass der Konvergenzradius – Punkt Konvergenz wieder – dass der Konvergenzradius – null ist – dann haben sie nur – an dieser einen Stelle an dem ein Punkt Konvergenz – oder nur da Konvergenz das ist nicht sehr hilfreich