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11E.1 Dahlquist-Testdifferentialgleichung, explizites und implizites Euler-Verfahren


CC-BY-NC-SA 3.0

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wasdie numerische Lösung von Differentialgleichungangeht gucken uns einfach mal an was den schief gehen kann an den einfachsten möglichen Fällenfolgende DifferentialgleichungY Strich ist gleich minus drei Yund wir starten mit Y von null ist gleich einsdie Lösung jetzt gleich auf verschiedene Artennumerisch was natürlich blödsinnig ist ?? Differenzialgleichungenkönnen Sie lockerauchmit Bleistift und Papier lösenKomma dann vergleichenund mal lernen was dennschon hier schief gehen kann wenn man numerisch löst?? manchmal so im ersten Schritt lösen sie glatt noch mal selbstwas ist die exakte Lösungdeiner waszum vergleichenmit dem was numerisch passieren würde die Lösung jetzt einmalwie Sis in den vergangenen Wochen gelernt habensollteSchreiben exakt gelöst nicht das dasWirkungen gibt das Wort exakt komplette Freizeitgleichungauch in anderer Stelle voreineim Jahr Differentialgleichungsiehst homogenwie eben gerade besprochenalles was hier steht stehtmit Faktoren Y Apps Beistrich und so weiter es steht hier nicht noch irgendwo plus Sinus von X oder plus zweiundvierzigdabei sie ist homogenich suchedie allgemeine Lösung einer homogenen Jahr sein ?? mit konstanten Koeffizientenansatzerst mal als Ansatz Y ist gleich E HochlandX haben sie eingesetzt ?? was finden Sie Lander mal Johanna mal X ist gleich minus drei Marihuanaalso Lander ist gleich minusdreiund daraus folgt die allgemeineLösungso also die allgemeine LösungY von X ist gleichgeschrieben habeneh hoch minus drei mal X davon ein beliebiges Vielfacheseine Lösungfür diesehomogeneJahre versah gleichen wenn sie beliebiges Vielfaches nimmtmit auch funktionierenund sie haben ?? Schrägstrich plus drei sogleich null wenn sie das hingekriegt haben können Sie Y mal drei zwanzig nehmenwird auch ?? rauskommt an zwanzigmal neuist möchte ich aber diese Anfangsbedingunghabenanfangs bedingt erfüllensoll ich sagenund von null soll Einsseinalso Y von null solleins seinwenn sie das Einsetzen stellen sie Festabendmal die hoch null soll Einsseinalso gefälligst alle gleich eins das ist einfachdie gesuchte Lösung ist alsogesuchte spezielle Lösung genau die eine zu dieser Anfangsbedingungist also das Y von X ist gleich E hoch minusdrei mal Xdas sieht man dann häufig gemacht hat ?? sofort sehen sollen Differentialgleichungdie Ableitung ist das so zu Vielfache der Funktionund der Staat mit dem Wert eins eine Stelle Nullen wissen sie sofort versehen zu habenund das darf man dann ja auch es gibt nur diese eine Lösungmit dieser Einlösung hinschreibensind sie fertigegal wie sie hinkommen irgendwann ist man dann soweit das man die einfach hinschreiben kanndas exakt gelöstsondert es aber gar nicht gehen das war nur als Vergleichmit gucken was passiert wenn man sie numerisch löstdas schreiben Sie mal hinnumerisches wird niemand diese Differentialgleichungnumerisch lösen das wäre absurd und ?? testenwas denn passieren würde für ein Unsinn wenn man sie numerisch löstMonte Thomas als erstes an das explizite Eulerverfahrendas es so der Klassikerman ganz faul istund Däumchen rücktmit fünf leicht funktionierenwir startenmit einem X Wertnimmer X null von nullund einem Y Wert von eins Y gleich einsund jetzt gehe ich inkleinen Schritten weitereine Schrittweitevon Hase weiß das üblicherweiseheißt vielleicht ein Hundertstel oder ein Tausendstelhängt von derDrehzahlgleichungabhängt von den Anfangsbedingungenabich hatte sich allgemein mal hinweg in ein kleines Stückchen weiterin Xes wird sich Y ändern müssenmüssen sich schon was ichbis ?? eigentlich ändern müsste wenn alles korrekt wärees ist ja nur Näherungsweisedes wird es jetzt nicht dieses Ergebnis seinwas wird für Y rauskommenund das weitertreibennoch ein Schritt noch ein Schrittdrei Schritte machenmit demexpliziten Eulerverfahrenfür X gleich zwei Haar Schrägstrich drei Haarwas werden sie rauskriegenmit dem expliziten Eulerverfahrenfür die Y WertekennedenPunkt an dem ich starte Xist gleich null Y ist gleich eins hier staatlichX YDifferentialgleichungsagt mir in welche Richtung das weitergeht?? Universal kleines A Klammer zu Y Strich istjetzt will ich wissen ?? okaywenn X gleich H istihr Haar weitergehenwenn X gleich heißt was soll bitte dann sinnvollerweiseder Y wert sein das macht das explizite Eulerverfahrendas simpelste und dümmste was man tun kannangenommen sie wüssten Y Strich?? besonders so malan dieser Stelle hieran der Anfangsstelle Ergänzungsstrich ausrechnendas ganze mit der Differentialgleichunggesagt in was Y Strich ist was würden sie es vorher sagen was ist der Y wirdwenn X gleich H istsoalso Y wird sich ändern näherungsweiseumHaar mal die Steigung das erwarte ich dassdas hier drauf kommteinmal die Steigungich gerade ausgerechnet habeich schon bei den Wortender Medizin ich sagen muss was YBeistrich ?? Beistrich und so weiterich bestimme die Steigung hier am Anfang wie kann ich ausrichten mit der Differentialgleichungund es sei ganz dreisteine Millisekunde später oder einen Millimeter nach rechts wo bin ich da?? ich bin nach oben gegangenumHaar mal die Steigung dich eben ausgerechnet hattedas ist das explizite Eulerverfahrenwas gehört jetzt also hin für Y eins was gehört da hin für Y zwei Y dreiSie gehen immer um H mal die Steigung weiter von dem Y Wert den sie vorher hattendie Steigunghaben sie am Anfang des Schrittes bestimmtmöchte diesen Schritt machen und von da nach daam Anfang des Schrittes bestimme ich die Scheidungund hoffe das sie gleich bleibt das natürlich nicht tut?? aber es ist Näherungsverfahrenhatsein Zimmer was schon eins zwei drei dann sein müssenPunkt ich bin auf der Höhe eins hierbin ich auf der Höhe eins und dann guck ichwas kriege ichdie mal Daumendazu H mal die Steigungals immer so stehen von wegen eins?? plusH mal die Steigungwas ist denn die Steigung hierbevor ich diesen Schrittmacherwandwird schwierig ?? Requisiten oder Verfahren recht meine Steigung am Anfang des Schrittes ausund zwar mit der Differentialgleichungdie Differentialgleichungsagt die nämlich wie kriegen Sie die Steigungsteigen bis minus drei Mal Y Wertden Y werden am Anfang kenne ich aberdas setzt sich jetzt eindie Steigung ist minus drei malmein Y Wert und wird ist einsdas steht auchsie sind auf der Höhe eins und dann gehen Sie bei dieser DifferenzialgleichungenStückchen nach unten nämlich das dreifachevon dem was sie nach rechts gegangen sindPi mal Daumen ist nicht exakt weil die Lösung natürlich keine Grade werden wird höchst wahrscheinlich sondernin was krummes werden wiraber als Näherungdas ist mein neuer Y Wertjetzt gehe ich von diesem neuen Y wird aus eins minus drei das Einmaleinsnervt ja zumindest einmal ein Scheibchenvon diesem Gibson wird gehe ich aus und sage dann was kommt jetzt dazuH mal die Steigung des was dazu kommt wieder so ein Faktorhaarund hier vor steht die Steigungist durch die Steigungwas ist die neue Steigung hierminusdrei Mal Y einsunser Differentialgleichungsagt an jeder Stelle ist die Steigung minus drei mal der Y Wertund mein Y Wert hier am Anfang von dem Schritt ist eins findest einmal ?? minus drei Mal Y eins also hier stehtminus drei Mal eins minus drei Haar mal anzusehen das wird etwas längersoll dazu sagen wenn das mit dem Rechner gemacht wird jetzt sicher zu Fuß ausgerechnet jetzt amüsiert mit dem Rechner machen stehen hier einfach irgendwie leid Komma zahlt Y eins ist gleich null Komma neun neun irgendwaswird schon zwei ist gleich null Komma neun neun acht oder was irgendwases kommen jeweils richtige Zahlen raus und es wird jeweils mit den richtigen Zahlen weiter gerechnetohne dass da Variablen drin stehen dem Rechner wird es eine Stelle schnurrtimmer sie zu Fuß um besser zu sehenmit Mitarbeiterin H drin um besser zu sehen was für Unsinn passiertdas wäre der zweite Schritt gewesendas Ergebnis nach dem zweiten Schritt das Ergebnis nach dem dritten Schrittwird fürchterlichGanztag zusammenfassenwo bin ich angekommen nach dem zweiten Schritt eins minus drei Haar minus drei Mal eins minus drei Haar mal HaarPunkt jetzt guck ich was sich ändern muss H mal die Steigungsoundsomal Haar die Steigung meinerDatensätze drauf plus Steigung mal Haar und wir wissen was die Steigung ist drei mal der Y wird am Anfangdreimal Y zweiminus drei zur minus drei mal der Y wird am Anfang als müsst ihr stehenminus drei maldas jeder eingesetzt eins minus drei Haar minus drei Mal eins minus drei Haarsieht ganzschrecklich ausund da habe ich noch den Faktor H vergessen soes aber allewie kann man das zusammenfassenKomma nachher sagen was nach dann zwanzig Schritten passiertsehen Sie da das Musterschreibtweiter Komma mit Variablen hier im zweiten Schritt was ist YzweiY zwei ist was ich vorher für Y eins hatteund jetzt muss ich korrigierenSteigungan der Stelle einsmal Haardie Steigung ist das minusdreifachevon dem Wertalso minus drei Y eins mal Haardas ist selbst ?? zwei passierthier steht Y einseinsund hier steht minus drei minus drei Mal Y eins mal Haarkönnte man zumindest dasbillig zusammenfassenwas ist die billige Zusammenfassung der vonLeutenals Ausnahme besteht also eins minus drei HaarmalY eins kleines Ypsiloneins aus wenn ich das anguckenIslands weiß also schlicht und ergreifend ein Vielfaches von Y eins der neuen Y wird es ein Vielfaches vom alten Y Wert nämlich das eins minus drei haarfachebesser dem ersten Schritt auch funktioniertder neue Epson wird das eins minus drei haarfache vomalten Y wirdund es hat in diesem Schritt auch funktioniertimmer ganz genau Punkt sie nehmen den alten Y Wert das ist der alte Y wird und ziehen ab dreimal den alten Y wird mal Haares ist immer wieder dieselbe Rechnung wieder passiert bei dieser Differenzialgleichungenwar so schön einfach ist immer wieder diese Berechnung in jedem Schritt wird multipliziert mit eins minus drei Haardas heißt man kann jetzt schnell hinschreiben was denn allgemeinpassieren wird ??vorgemerkt bei dieser Differenzialgleichungensonst wird Spiegel sage X Nnach N Schritten ist mein Pixmeisenmal Haarwas ist mein Y nach N Schrittenbei dieser simplen Differentialgleichungsodas analoge dann also eins minus drei Haar mal den vorigen Y Wert Y in minus einsaber sie wissen was der Vogel schon wert ist es eins minus drei Haarshop das um ein einzelnes drei hat der vorige Y Wert ist eins minus drei Haar mal Y in minus zweider VorvereinY Wert und so weiter und so weiter wie können Sie das insgesamt zusammenfassenzum SchlussPunktalsodie Entepotenzvon eins minus drei Haardas machen Sie weiter bis sie bei Y null an Komma dann haben sie einen Faktoren stehen als minus drei Haar hoch ähm und Y null ist aber eins mal eins wenn Sie so wollen genau weglassendass sie das Ergebnis sein weil diese die Versager so schön simpel ist kann man das so schnell hinschreibeneins minus drei Haarhoch indie gesagt wenn es wirklich programmiert wird am Rechner oder sie das in der Tabellenkalkulationrein hackendann stehen hier richtig handfeste Zahlen ?? Komma neunundneunzigKomma neun neun ?? Kommadamit die Zwischenergebnissetatsächlich als Formensich das jetzt angucktheißt die Schrittweiteich gehe mit einer bestimmten Schrittweitedurch die X Werte durchwenn ich schnell vorwärtskommen will natürlich mit einer großen Schrittweitesehen Sie das Problem was passiert wenn sie eine große Schrittweite nehmen wenn Haar sehr groß was heißt Na sehr groß wird in H groß wirdwas wirdhier plötzlichan Unsinn passiert mit ihrer Anführungszeichen untenLösung die sie rauskriegen die numerische Lösungwann wird die numerische Lösung offensichtlich blödsinnigwerdensowenn dieses Haar gleich ein Drittel istes ihm aufgefallen ?? Titel nur noch inwenn sie die Schrittweite gleich ein Drittel wählenheißt das nach einem Schritt landen sie auf der nullbesonders keine Verbindung dazwischen mal sound dann bleibt es nulldas ist nicht gerade toll finden Differenzialgleichungenderen Lösung eigentlicheine ablehnende Kommentarfunktionsein sollte das ?? ?? wird sich immer noch exakt nur aus Ringes bei H gleich ein Dritteldasist außerhalb ist okayin der Mathematikwenn Haar so groß ist das hier innen drinnen einenegative Zahl stehtwenn sie Haar noch größer wählen Haar größer werden als ein Drittel entsteht hier in den Klammern eine negative Zahldas heißt die erste Potenz wird negativ werden die zweite Potenz wird positiv werden negativ werden positiv werdenso was hätte passieren wenn in den Klammern was steht von wegen minus null Komma einsempfing sie Sonne Abklingendes Hin und herals Lösung auch dasist es zwar schon ziemlich blödsinnig war auch das toleriert man nochin der Klammer was steht was unter minus eins Lichtstellt sich vor der Klammer steht was von wegenminus eins Komma eins hoch ähm Sie wählen Haar so großdass hieraus noch minus eins Komma eins hoch indann haben sienach dem ersten Schritt minus eins Komma einsnach dem zweiten Schritt haben sie eins Komma eins ins Quadratden dritten Schritt haben sieminus eins Komma eins hoch drei und so weiter dasexplodiertfaszinierendes geht hin und herund explodiert dabei das ist dann was man nun wirklich nicht mehr haben will ab da sagt mandas soll nun verboten sein?? gibt's den Begriffder Stabilitätwas die numerische Lösung von der Basargleichungangeht ?? die Zahl in der Klammer soll bitte nichtunterhalbvon minus eins liegen war das Ganze dann faszinierendexplodiertauch minus eins hätte man gerne nicht in der Klammerzur minus eins in der Klammer hätten minus also in der Krise raus eins minus eins eins minus eins eins minus eins auch das möchte mandas heißtsie sehen an diesem Beispiel des eben das simpelste Beispiel ?? bauen kannfür das explizite Eulerverfahrenwenn die Schrittweite zu groß ist passiert ziemlicher Unsinn sie kriegen Lösungen raus faszinierenund explodierendas passiert nicht nur bei dieser Differenzialgleichungendas passiert ziemlich allgemeinein Effekt bei dem expliziten EulerverfahrendasKommen und setzen Nummerallgemeineranin der Differentialgleichungwenn jetzt nicht ?? Beistrich gleich minus drei Y bestanden hätte sondern allgemein Y Strich ist gleichLander mal YErmessen allgemeines Lander gestatten hättewas dann passiertmit dem Eulerverfahrenvor allgemeinPunkt was die einen Y Strich ist gleich Lander mal Ymit Y von null ist gleich einsdas nennt sich die DataquestTest Gleichungdiesimpelste Differentialgleichungdie man sich an der Stelle vorstellen kannund guckt sich an wie denn die diversen Lösungsverfahrenauf dieses Lander reagierenund das Zusammenspielzwischen dem Landerund der Schrittweitemit einer mit dem expliziten EulerverfahrenangehenexplizitesEulerverfahren?? Commerce picken was rauskommen mussX enden ist also in mal Haarwas sind Y Ende seinwenn sie jetzt diese Differenzialgleichungenlösen jemand gibt Ihnen das Landerdreiundzwanzigwas auch immer komplette Zahlsieben ?? siejemand gibt Ihnen das Lander und sie lösen diese Differenzialgleichungenmit dem Lander mit dem impliziten Eulerverfahrenwas wird Y ändern seineinsPlus Lander mal Haar sieauch ändern sie nehmen die ganze Rechnung von eben statt minus dreisetzte sie Überlander eindas hier war für minus drei?? mirdas sie war für minus drei auf der rechten Seite minus drei Mal Y wenn sie überall statt minus Dreilanderschreibenmuss das genauso durchgehendas muss dann die Lösung sein für diesen Tag ist es gleich mit irgendeiner Zahl anderer drinund dann guckt man sich an okay für welcheWertevon diesem Lamm da mal Haarist denn das sinnvoll und für welche Werte ist das Blödsinnigslandermal Hahne Normal Zund das könnte man sich fragenfür welche Werte von Zgeht Y ähm gegen nulldas ist das ?? Verhalten was icheigentlich haben willdass man über ?? zu den komplexen Zahlen sie haben Y ist gleich eins plus Z hoch entsetztdieses Lander mal Haarwie muss man Z wählenin konvexen Zahlen vorgemerktdamitY N gegen null gehtwelche konvexen Zahlen sind möglich schrammte meine Bedingung hin Punkt wissen Siewas sollte man außer sagen dieses Lander ist irgend eine komplexe Zahl das hatte ichnicht hingeschriebenirgend eine feste komplexe Zahl ist also nicht ?? minus drei irgend eine feste komplexe Zahlwas weiß ich über dieses Land Ammann Haar in welchemBereich welche Bedingungenkann ich angebendamit was vernünftiges passiert es mittels Y N gegen null gehtlösen Sie mal Auffrischung Marktbedingungendes Laufwerken als auch Plattendie konvexen Zahlen sind das in der konvexen ZeitebeneSommermuss ich also erinnern wie komplette Zahlen publiziert werden und potenziert werden sie multiplizierenzwei komplexe Zahlen indem sie die Längen multiplizierenund die Winkel addierensiebilden Potenz einer komplexen Zahl indem sie die Länge potenzierenund den Winkel entsprechend vervielfachenoder sie rechnen es Algebra ich mit ihmaber deswegen die geometrische Art interessiert mich die geometrische Art ich möchte das Ende Potenz einer komplexen Zahlgegen null geht die Ente Potenzdas heißt die Längein die Erde Potenz den Winkel vereinfachen der Winkel des Megadie Länge von diesem Ergebnis soll gegen null gehen dass es das richtigedas heißt aber dass die Länge der zahle ich ja potenzierendass die kleiner sein muss als eins?? Länge unserer Zeit produziert wird alsoY N geht gegen Null genau dann wenndie Zahl DDR drin steht einegroß Zjetzt mal in die eine länger Hattie kleiner ist als einssie nehmen dann diese länger Quadrat hoch drei und so weiter kriegen was was gegen null geht in die Länge gleich eins istsie potentiell bleibt die Länge immer gleich ein Zwillinge über eins ist und sie potenzierenexplodiert die Länge so muss es sein das könne man gerade auf Plattenschöne Erinnerung als erste Semesterwo finde ich die komplexen Zahlen mit dieser EigenschaftPlatten sind immerin die komplexe Zahlenebenesichdas geometrisch angucken ist nicht nur Beispiele suchen sondern geometrischdiese Zahl eins Plus Zsoll einen Betrag von weniger als eins habendas heißt dochdass diese Zahl eins plus set aus einer Kreisscheibestammen muss mit Radius eins und den Ursprunghier muss also seither stammen eine Kreisscheibe mit Radius eins ohne Rand um den Ursprungdas sind alle komplexen Zahlen den Betrag kleiner als eins haben sind weniger als eins vom Ursprung entfernt ?? eins Plus Z muss in so einer Kreisscheibeliegenmuss Z liegen das Brüssel verschobene Kreisscheibeseinsie gehen um eins nach linksmit den zed eins drauf dann sind sie wiederda wo sie sein möchten also eine Kreisscheibemit Radius einsnicht um den Ursprung sondernum eins zur Seite verschobensowie die Figur ausdie minus weiß gerade nicht dabeiist die minus eins oder zu schreiben ohne Randdas ist die Menge der zulässigen Zdas sagte was über Lander und haben sie es wissen was wenn Lander in dieser Gleichung tatsächlich vorgekommenist können Sie dann sagen welches Haar möglich war dieses Produktmuss in dieser Kreisstadt gelingt es sachlich auf dem Rand ging es muss innerhalb der Kreisscheibe liegendann ist alles in Ordnungin dem Sinne das Yabklingtgegen nulldas mag man so typischerweise auf für die diversen Arten Differenzialgleichungenzu lösen nimmt dieser Dataquest Testgleichungund malt dann auf welche Werte von Lander mal Haarsind im komplexen den zulässiggesehen dass sie nicht allzu viele Werte zulässig sind eine Kreisscheibe ohne Rand hier den Kringeldas sagt einem schon das ist nur sein kleines Gebiet ist das Item schon das Insektizid oder Verfahren nicht so richtig gut funktioniertPunkt auf die Stelle noch mal an was beim implizitenEulerverfahrenpassiertbeim explizitenEulerverfahrennehmen Sie die Steigung am Anfang das ist einfachsie wissenwo sie angekommen sind sie hatte Differentialgleichungsie nehmen die Steigung am Anfang für den nächsten Schrittimpliziten Eulerverfahrendem sie die Steigung am Endewas komisch ist und sie wissen noch gar nicht die Steigung am Ende des ?? implizit ?? muss auflösendas aber noch mal hin wie das jetzt aussehen fürdas implizite Eulerverfahrenim Staate weiterhin mit X null gleich nullundY null gleich eins Sitz gehe ich einen Schritt weiter X eins ist gleich Hund Y einssoll seinder vorherigeY wirdjetzt nämlich als Steigungaber die SteigungvomEnde des Schrittes was schreiben Sie dann also dahinplusSteigungmal Haaraber nicht über expliziten Eulerverfahren die Steigung vom Anfang des Schrittes die steigen vom Ende des Schrittes wie groß ist die Steigung am Ende des Schrittesbei der DataquestTest Gleichungsoalso Lander Mal Y eins wäre die Steigunglaut des Gleichung am Ende des ersten Schrittes andermal Y einseben hatten wir explizites EulerverfahrenLander Mal Y eins für den zweiten Schritt nannte man ?? sondern einfach Fortschritt an der Madison eins für den zweiten Schritt hier für das Y zweiund jetzt habe ich hierLander Mal Yeins was müssen komisch aussieht ich kenne besser als er noch gar nicht und ich schrei mir schon hinein Ausdruck der schon eins enthält deshalb implizites Eulerverfahren Y eins steht jetzt implizitnicht mehr explizites ist noch nicht aufgelöstnach Y eins wird sich etwas ein die Steigung am Ende des ersten Schrittsein ?? gar nicht ausrechnen kann das macht es eklig das implizite Verfahrensowieso alle in diesem Verfahren werden dadurch ekligich rechne mit Sachen die noch gar nicht kenne ich muss auflösen und sie lösen das nach Y eins aufdas Seite steht eins minus langsamer habe ich rübermal Haarüber Mal Y einzelneist gleich Y nulldas heißt unsereinsjetzt aufgelöst ist gleich Y null durch eins Minuslander mal Haarhier kann ich tatsächlich auflösen bei fiesen Differentialgleichungnicht Beistrich nur mehr auflösenmuss man sich was anders überlegen immer näherungsweiseauflöste Kriegs tatsächlich aufgelöst Y einsnach diesem Schritt soll also sein Y nur durch einzelnes Land Ammann Haar zum Vergleich bei dem expliziten Verfahrenhatten wirsowas wie eins Plus Lander mal HaarmalYvom vorherigen Schrittund hier haben wir eins Minuslander mal Haar unten stehen sehr im Nenner stehendie sagen Wasser in Schritten passiert und so weiter und so weiter nach N Schritten X ähm wird werdenN mal Haarwas wird Y N werden nach in Schrittensowaslösen Sie also auf Y ähm ist der Wert von Y beim Schritt davor durch einzelnes andermal Haaroder wird vom Schritt davor ist ja einst durch einzelnes andermal damalsder Wert vom Schritt davor so weit und so weiter wieder alles zusammenauf gedrosselt wird einst durch eins Minuslander mal Haar auch ähmmal den allerersten werden dabei eins mal eins wenn Sie so wollen sie das jetzt aus ebenbeimexpliziten Verfahrenhatten wir sowaswie eins PlusLander mal Haar war hier der rechte Sittenverfall beeinflusst andermal Haar hoch ähm und jetzt haben wir beim impliziten Verfahreneinst durch eins Minuslanderwar hoch indie selbe Überlegung für ebenwenn ich sage dieses andermal heißt Zwelche Werte von Z sind denn möglichohne dass allzu viel Unsinn passiertY N geht gegen Nullgenau dann wenn was muss mit Z seindamit dürften in gegen null geht das überlegen sich unter PREISE das mal was ist das in der komplexen Zahlenebenewelche Zettelsin der konvexen Zahlen ?? sind möglichRealteil von Z Imaginärteilvon Zwas ist hier erlaubt so das diese Y Werte dichtersimulieren sozusagen das die gegen null gehenwas ist das Martin schreibtals Bedingung für Z und wie sieht das in der komplexen Zahlenebenesoanalog zu dem eben die Habicht ?? so will ja die Entepotenzvon eins durcheins minus Z stehen so etwas auch schreiben könnendiese Ende wurden soll gegen null gehen das heißt der Betragvon dem was hier steht eins durch und so weiterder muss kleiner sein als einsBetrag von eins durch eins minus selbst der muss kleiner sein als eins wenn der Betrag kleiner ist als eins Pence auf die andere Seite der Betrag voneins minus Z muss also größer sein als ein sie müssen klar durch eine große Zahl teilendann haben Sie ein Kleinbruchunternimmt Besuch in ?? sind immer kleinerals der Gedankeeins minus selbst im Betrag kleiner als eins das heißtwenn ich eins minus Z Plattedanke ich alles außerhalb der Kreisscheibeso mit Radius eins das es was da raus kommt das äußere Kreisscheiben mit Radius zu der Landes nicht dabei das was sich hieraus Kriege für eins Minuszeicheneins minus Z der Witz ist auf die einzelnen Z nehmen oder Z minus ein Betrag ist ja egal hier die achtzehntens eins reinschreiben könnten vielleicht dazu händeln Z minus eins muss auch in diesem Bereich liegenbin ich von Z eins abziehen beziehen sie von einer konvexen Zahl eins ab sie gehen eins nach linksdas SZ das SZ minus eins das heißt die Zahlen erlaubt warensind diejenigen die ich kriege wenn ich eine Kreisscheibenehmerechts vom Ursprung eins rechts vom Ursprung Soda ist die zwei ist die einsnun nämlich alles was außerhalb liegt das sind die Zahlen selbst erlaubt sinduns schon auf den ersten Blick dass es offensichtlich ein vielgrößerer Bereichals ebeneben beimexplizitenEulerverfahrengab es diese eine Kreisscheibelinks vom Ursprungund jetzt haben wir allesbis auf eine Kreisscheibe recht zum Ursprung offensichtlichdeutlich besseres wird erkauftmit einem teilweise recht teuren Preissie müssen nach dem Y eins auflösenes ist eben ein implizites Verfahrenaber wenn sie so weit sind mit dem auflösendann funktionell richtig gut sie können mit größeren Schritten durch die Lösung durchgehen