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21B.3 Beispiel Gradient in 2D und 3D; Äquipotentialflächen

CC-BY-NC-SA 3.0

Nachtmodus Pausen an Schnitten Tempo: 0,5 0,7 1,0 1,3 1,5

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noch – eine Funktion zweier veränderliche jetzt – ohne Einheiten – nicht ganz so eklig eine Funktion – die soll folgendes sein die hochminus – X vertrat Minsk zum Quadrat – sicherheitshalber – X Quadrat – ist hier zuerst rechnen ich Sohn Ausdruck habe minus – X Quadrat ist gemeint – X Quadrat davon minus und es ist nicht gemeint minus X Quadrat das Quadrat – ist stärker sozusagen – als das Minus – wie es gemeint erst vertrieben und dann minus – das um eine Funktion sein und an der Stelle – eins eins – wollte ich wissen – was ist da der Gradient – das wirklich ein konkreter Vektor – ein Vektorfeld – was ist da das totale – Differenzial – und was ist da die Tanz ja leben oder die lineare Näherung dann – an – die partiellen Ableitungen – diese Funktion ableiten – nach – X – je hoch irgendwas ableiten die äußere Ableitung – bleibt die hoch irgendwas – die innere Ableitung – minus sechs Quadratmeter siebzehn Quadrat – ableiten nach X Websites konstant betrachten – das minus siebzehn Quadrat ist dann auch eine Konstante – fällt weg beim ableiten ?? vorne muss ich ?? ableiten minus zwei X mal – minus zwei X – und es passierte genau dasselbe – gesehen wenn ich nach – Y ableiten – die hoch minus sechs Quadratmeter siebzehn Quadrat mal minus zwei – Y – an dieser Stelle eins eins – der konkrete – Vektor der konkrete Fall der jetzt rauskommt wäre – wie hoch minus – zwei – mal – minus zwei – und hier die hoch minus zwei ?? minus zwei dasselbe noch mal – grob abgeschätzt – ?? – jedoch minus zwei einzige Quadrat also ein neuntel Pi mal Daumen minus zwei neuntel – Pi mal Daumenindexkomponente – in der Expertenkomponente – das ist der Gradient an dieser Stelle der Vektor – sie das kann ich ein ?? ausklammern – der Vektor eins eins mal – in die hoch minus zwei mal minus zwei – entdeckte der diagonal zeigt – und die Längeneinheit – könne aus der X Komponenten ?? – beides mal das – ausklammern – so das totale Differenzial – wie ändert sich meine Funktion – ?? wenn ich X und Y – Infinitisi – mal in der ZDF – die Änderung meiner Funktion was passiert – in der sich die Funktionen – abhängig von X mal TX bloß verändert sich die Funktion abhängig von Y mal der Y das ist das totale Differenzial – wissen über was DF nach TX und der Vertriebs in die partiellen Ableitungen soll ich sagen was sie sind – das ist beides jetzt in diesem Fall Glück gehabt – minus zwei malige ?? minus zwei – macht also – meiner Kurve ausklammern minus zwei malige hoch minus zwei mal TX – plus D Y – wenn Sie also – an dieser Stelle – den vier Wände als an der Stelle eins eins Cent ist gleich eins Pixeln gleich eins und wir – gehen ein Stückchen weiter Nix Richtung können sich kein Stück über den X Richtungen und Endlichkeit über den Y Richtung ist das das was der Funktionswert – minus zwei minus zwei mal wie weit sie nicht Richtung gegangen sind plus dreizehn – Richtung gegangen sind Dachser in das totale Differenzial – dann ist man sofort bei der Tangentialebene – ich scheue mich jetzt zu schreiben F ist gleich – ich glücklicher weiter raus und schreibe keine Gleichung für die Tangentialebene – sondern – nur den Ausdruck für die Tangentialebene – dieses hier ist – wie die Funktion sich ändert – wenn ich X Ende und wenn ich Epson ändere wissen Sie natürlich noch berücksichtigen – was in der Originalfunktionswert – war – soll ich den Andererseits immer vorne hinschreiben was ist der Originalfunktionswert – an eins eins er ist – eh hoch minus – zwei – mal das wird sein wie hoch minus zwei ?? los – und was habe ich jetzt an Änderungen – offensichtlich nur Plus sondern minus minus zwei E hoch minus zwei – wie ändert sich X – X minus eins Plus verändert sich Y Y – die tangential – gerade mal – in Aktion – bringen – meine Funktion – hier an der Stelle eins eins – habe ich das hieraus wirklich das ist eine Nehrung – an meine Funktion – in der Umgebung von eins eins Sekunden sich gerade mal folgendes an – meine Funktionen – für – den Wert eins Komma zwei – null Komma neun – Adidas mithilfe der Initialebene – näher an – Solis eigentlich irgend ein fürchterlicher fliegender Teppich in 3D – der Tangentialebene – habe ich – um den ein Punkt hier der halbwegs brauchbaren näher und ich gucke mal auf der Tangentialebene – nach – der Gedanke – gucken sie das nur auf der Tangentialebene – nach was kriegen sie gerundet raus mit der gleichen deren Potenzial eben ✂ Interneterlebnis – ?? noch ?? beim totalen Differenzial an was sagt uns das eigentlich – meine Funktion – so ist es immer dreidimensional – man Herausforderung – X Y – Klinsmann Funktion ?? MAZ – in die Achse – ich kenne – einen bestimmten – Wert meiner Funktion – so – F von eins eins ?? das ist der Wert um den sich dann alles bald gerade um den herum ich mir alles angucken Stelle um die Dominanz angucke eins eins – angenommen ich kenne den Wert und ich möchte jetzt wissen okay wie sieht meine – Funktionen jetzt in der Umgebung aus ich weiß auch das muss irgendwie ein – fliegender Teppich sein der durch diesen Punkt läuft – und den möchte ich nähern durch eine Tangentialebene – das ist doch viel einfacher mit der Tangentialebene – als mit dem fliegenden Teppich – ich gucke mir an – was machte der fliegende Teppich wenn ich ein Stückchen in X Richtung weitergeht – wenn ich so weiter gehe – er sagt mir die partielle Ableitung hier wie steil das wird – in X Richtung – nicht den Teppich durch Schneider – entlang der X Richtung – sagt mir die Persil Ableitung hier wie steil das wird – die andere partielle Ableitung hier – nach Y – die sagt mir was passiert wenn ich das wenn ich den Teppich so durchschneiden – in hübscher Richtung durchschneiden – wie steil das wird – jetzt gewagt zu zeichnen – Punkt sowas – gestaltet das – und das kann ich jetzt alle miteinander verrühren – und kriege die Gleichung einer eben das ist das was hinter dem totalen Differenzial steckt wie ändert sich die Funktion insgesamt – wenn ich ein winziges Stückchen in X Richtung G ein winziges Stückchen psychischer Richtung gehen – die partiellen Ableitungen – sind denn da die Faktoren die mir sagen wie stark sich diese Änderungen auswirken auf das Gesamtergebnis – hier steht aber erst die Änderung – ausgegangen – von meinem Originalniveau – wie ändert sich das Niveau – wenn ich lange Zeit im hinschreiben will – muss ich natürlich sagen was das Niveau ist hier bin ich ja insgesamt – dieser grüne Balken auf dem Niveau ?? hoch minus zwei ist jetzt wirklich die eins eins Eindruck was rauskommt – das ist mein Startniveau – die Höhe des Grünbalkens – und dazu kommt jetzt – darunter – nachdem auf ?? abwärts dazu kommt es auf jeden Fall das was mir das totale Differenzial sagt – wie wirkt sich die Änderung in X auswendig mit X ein bisschen weitergebe – wirklich der neuen X aus – wenn ?? selbst ein bisschen weitergebe ergibt sich die ?? mit Y aus versteht man eine Internetseite – drin – zusammengebaut – aus dem totalen Differenzial – mit dem Startwert – im Originalfunktionswert – an der Originalstelle – und sie handeln nicht mit X Y sondern sie schreiben rein was denn wirklich die Abweichungen sind – nicht nur unendlich sondern endlich gesammelt Initialebene – bei der Funktion des auch wenn ich zehn Meter zur Seite gehe oder weil ich dazu Seite gehen – an und ich würde sie auch gar nicht ausmultiplizieren – X minus eins und so weiter – es hübsch zu sehen – für X gleich eins wird schon gleich eins und das exakte Resultat – großes R gerade gebaut ich suche eine Ebene die sich nicht an meine Funktionsfläche – der Schmied – Schrägstrich als Y gleich eins – Effekt – richtig – jedoch minus zwei – und das ganze gilt auch nur vernünftig wenn ich mit X und Y nicht weit aus der eins eins rausgehen nur dann ist die Tangentialebene – wirklich ungefähr die Originalfunktion – ansonsten ist zu Fragen des Lebens – des richtigen Einzeltermins einsam entstehen lassen das müssen kleine Zahlen sein Leerzeichen Problem – ?? einfach einsetzen was passiert hier ich benutze die lange Zeit neben und nach zu gucken was die Funktion sagt – wie hoch minus zwei – ist der Wert wenn ich eins eins einsetzt und jetzt kommt die Korrektur minus zwei E hoch minus zwei was ist die Korrektur eine kleine Korrektur – X minus einssteter – also null Komma zwei ?? zumindest ein steter also minus null Komma eins das ist die Korrektur – dass der Hirnstamm vom totalen Differenzial – hier – das totale Differenzial was passiert mit der Funktion – wie weit ändert sich die Funktion – wenn ich mit X und Y bisschen – männlich wenig Makler – jetzt wacklig nicht mehr lief wenig sondern endlich wir dann wird sich auf der Tangentialebene – nicht – zu – meinen – könnte man jetzt zusammenfassen – ist also einmal – neominus – zwei – tausend Einzelschritten hin Komma so raus – null Komma eins – habe ich einmal jedoch minus zwei minus zwei mal null Komma eins war jedoch minus zwei der nördliche Gesamt null Komma acht malige minus zwei – minus zwei ?? Engpass bei – ein neuntel – Das heißt Originalwert – ich gehe vom Originalwert – etwas runter – ?? um zwanzig Prozent runter – wenn sie so – stur ablesen – wenn sie – zu ist gleich eins Komma zwei ?? Rechnung Komma neun Gehen erwarten Sie – dass der Wert um zwanzig Prozent sind bei dieser Funktion – ohne großartig gerechnet zu haben – das klappt natürlich nur wenn ich nicht zu weit rausgehen ?? wenn ich hier mit dem X bis zehn Geometrie müssen bis zwanzig gehe dann passiert sonst was – meine Funktionsfläche – nach die wildesten Geschichten – und Yuppie unten irgendeine Zahl in ?? angelegte den Punkt ?? verglichen – lange Zeitebene angelegt – Punkt den Wert nach ?? danach – kleinerer völliger Blödsinn raus aber wenn ich in der Umgebung dieses Punkt bleiben mir das hinhauen – was Dennis eingespannt wenn ich sagen will wie weit ich weg kann – wie weit kann ich weg ohne einen ganz dicken Fehler zu machen was müsste man sich eigentlich angucken um das zu entscheiden – und zu sagen und das ist zu weit weg ist okay aber das ist zu weit weg was muss sich merklich angucken rechnerisch – genau die nächste ✂ Ableitung – je – stärker diese Funktion hier gekrümmt ist – desto schlimmer wird die zweite Ableitung oder eine der zweiten Ableitung oder eine Kombination der zweiten Ableitungen die zweiten Ableitungen werden mir sagen wie stark dieses Ding hier gekrümmt ist schlimmes gekrümmt ist es so schlechter ist die Nehrung mit der lange Zeit jeden – Tag kommen an die zweiten Ableitungen spielen dir zum Beispiel – bessere Stoff für – Donnerstag und Freitag – die – Matrix mit dem zweiten Ableitungen – der Hesse Matrix kommt ein Spiel – je schlimmer die wir hier schlimmer deren Eigenwerte sind – desto – weniger – genau werden die Ergebnisse – wenn ich weit rausgehen – müssen Beistrich noch Duldung haben – Komma da meine Klammer zu – das ?? also für diese Funktion hier Gradient – an einer Stelle ausgerechnet total Financial – Punkt totales Differenzial und die Tangentialebene ✂ jetzt ✂ Komma war folgendes an eine Funktion dreier veränderlicher – was wir jetzt eigentlich passieren – sie da drei veränderliche – haben – am – ich hätte mir auf es aufgeschrieben eins eins null aber festgestellt das es ja langweilig Ansatz nun – die Magma eins eins zwei – eine Fusion dreier veränderlicher – schreibt die Oma ganz dreist minus Z Quadrat noch dazu – was passiert an der Stelle eins eins zwei derselbe Kran – aber jetzt mit drei veränderlichen ✂ was wird passieren ich mir das tatsächlich mal dazwischen ?? ähm wenn sie dieses hier ableiten bleibt natürlich eh hoch und so weiter mit dem Z Quadrat erstehen – X ableiten – will Z als konstantes bleibt so – an der Stelle eins eins zwei – muss ich jetzt natürlich aufpassen hier steht minus eins minus eins minus vier also – eh hoch minus sechs – bleibt – rülpsen genauso hier kommt minus Z Quadrat eines Weibchen jedoch minus sechs – und jetzt kommt noch der Nacht setzt – wenn ich kein Platz mehr habe – ?? gelaufen – ist Komma der nach Z – am – City natürlich minus zwei Z als innere Ableitung – aber ich muss jetzt zeitgleich zwei Einsätzen also mal minus – vier das Ansehen – aller ausgeprägt – und damit habe ich den Gradienten – für das das wird dann als so manche minus zwei über Ausklammerung – nur – eins ein zweimal jedoch minus sechs mal minus zwei oben steht minus zwei malige minus sechs der hier – öfter steht minus einmal minus sechs Runden steht minus vier minus zwei ?? zwei malige minus sechs – ?? wie schlecht das auf das totale Differenzial – durch Stern steht hier – natürlich auch minus zwei mal eh hoch minus – sechs und wir bekriegen das noch mit der Patient Ableitung machte dazu die partielle Ableitung nach ZDF setzt – und hier steht ja – nicht minus zwei sondern minus vier Mal jedoch minus sechs – Menge unten also – Meyer den Weg plus zwei D – Z – Z wird wirkt doppelt so schlimm – offensichtlich für die beiden anderen minus vier statt minus zwei – bestehenden – Tier und die Tangentialebene – kriegten wir noch eben – ansehen Punkt natürlich minus sechs oder – hier ein hoch minus sechster hat nur ein hoch minus sechs – und schied gegenüber dann – das doppelte von dem was den Veranstalter also plus zwei Mal setzt minus – zwei – Z hat ja als Ausgangsposition – die zwei – hundert zehntens zwei – so sieht da die Denunzianten – ?? für das schwierig hier – einfach schlimmer finde das mit zwei Variablen können mit zwei veränderlichen können wir das mit rein basiert mit hunderten das Problem ist es so schwer vorzustellen – in zwei Variablen stell ich mir die fliegenden Teppich vor und mit hundert Variablen habe ich ganz – mentales Problem mir das vorzustellen – rechnerisch passiert da nichts anderes – das was sie mit X und Y gemacht damals auch mit U und V und W und – ein hundert anderen – Kritiker normal bei dieser Funktion mit der weiteren Variablen – eine Nummer – nachdenken – das – ich mir noch mal raus – einmal dieses hier eine Funktion zweier veränderlicher – die ist eh hochminus X vertrat – minus Y – und eine Funktion – bei den man nicht noch mal erfinden sie Magie eine Funktion G von drei veränderlichen – und die ist eh hoch minus sechs – Grad – Grad für die Anschauung – wie gesagt mit drei veränderlichen wird es schon haarsträubend – mit der Anschauung mit hundert veränderlichen hat man praktisch verloren – an ?? mit drei veränderlichen geht es gerade noch mit der Veranstaltung – überlegen Sie sich mal die mit zwei veränderlichen – die Höhenlinien aussehen im Prinzip wie sehen im Prinzip die Höhenlinien – dieser Funktion – aus – und dann überlegen Sie sich was passiert mit drei veränderlichen – was ist die Analogie – sicher versuchen Sie mal ein zwei Höhenlinien einzuzeichnen – die mal Daumen – wie sehen die im Prinzip aus – dann überlegen sich was jetzt passiert – was passiert in einer Dimension mehr ✂ geht immer Tipp wie man das anders schreiben kann D hoch minus – Klammer auf – X Quadrat plus Y Quadrat Klammer zu – auf der Höhe Nina auf jeder Höhenlinie – muss dieses Ding hier konstant bleiben – wie sehen Höhenlinien – aus das müssten sie ohne groß Rechnung irgendwie hinkriegen können – etwas mehr nachdenken als rechneten soll es in vielen ✂ ?? entdecken den Pythagoras – vier X Quadrat plus Y Quadrat – das ist mein X das ist mein Y – das Quadrat – von dem Abstand zum Ursprung wenn das hier Malpunkt X Y ist – steht hier das Quadrat vom Abstand zum Ursprung – das rechne ich eigentlich – sein das ist er hier – steht hier – wie hoch minus er Quadrat – nach Pythagoras – ich gucke mir zu jedem Punkt an was ist der Abstand zum Ursprung – ?? Quartiere dem – Minuszeichen davor eh hoch das Ding – das heißt je größer dieser Abstand wird – desto größer – wird er Quadrat – umso heftiger größer wird er Quadrat – besteht minus – Quadrat das heißt umso negativer wird das was im Exponenten steht – eh hoch was – sehr negatives – wird null werden sie das Platten was passiert mit E hoch X – wenn etwas sehr negatives einsetzen kriegen sie null raus – also wenn der Radius sehr groß wird – er Quadrat – noch viel größer – minus er Quadrat eine sehr negative Zahl dann jedoch eine sehr negative Zahl praktisch null – ich arbeite mich quasi – hier von der null so durch die Kommentarfunktion – durch wenn der Radius Null ist wenn ich im Ursprung sitze – kommt eins raus wie hochminus – null Quadrat – und dann kann es noch kleiner werden – ?? aus – man das jetzt hat's es hängt nur von dem Radius ab dann weiß man dass die Höhenlinienkreise – sein müssen – stellte sich ein Kreis vor – das muss eine Höhenlinie sein – denn – alle die – haben denselben Radios denselben Abstand vom Ursprung des kommt überall eh hoch minus dieser Radius ins Quadrat raus – ohne Rechnen sehe ich dass das eine Höhenlinie sein muss – und ich weiß außerdem – dass die Funktion nach außen abfällt – ?? sitze hier in der Mitte irgendwo Offenberg – müssen schöner Hügel in der Mitte sein und nach außen fällt die Funktion ab – ?? – irgend sowas wird das werden von den Höhenlinien aus – Punkt wenn es in drei D Platten würden – eine Glocke ich hoffe das gelingt mir so halb – Glocke – sich ins unendliche erstreckt – in alle Richtungen – so sieht sie aus und hier blickst – sie so wollen die Zeitachse durch – die Höhe einzelner außen fällt sie ab und ?? sind die Höhenlinien – ist der Wanderweg sozusagen hier nicht der Wanderweg immer schon auf gleicher Höhe das Höhenlinien das ist ein Kreis im Ursprung – noch ?? Höhenlinie ein Kreis um den Ursprung so sehen die aus ohne Rechnen ✂ warum der flacht – was passiert eigentlich Beistrich eine sozusagen wechselnde Zahlfunktion – rückwärts drin – in der Sexmensafunktion – ist – staatlich hierbei Radius Null – und arbeite mich dann – ins unendliche ins Negativ unendlich als es auf jeden Fall klar dass er nach außen abflachen muss er schmiegt sich mehr und mehr auf die Höhe null an diese Funktion schmiegt sich mehr und mehr auf die Höhe null an – ähm gute Frage ist natürlich warum wir die Funktion – eine Glocke warum wir das in der Mitte nicht spitz – können ganz dreist sagen okay es kann in der mit den spitz werden weiß ableiten kann können die Ableitung bilden es gibt eine lange Zeit – Punkt – sie können mir sogar – den Gradienten ausrechnen – ?? welches ?? gedacht das es glaube das aller einfachste die können den Gradienten ausrechnen was wird passieren – warum der Gradient an der Stelle null null – sie kriegen raus – soundsoviel mal null soundsoviel mal null der Patient an der Stelle null – existiert – die Fraktion hat kein Knick – und es sogar der Nullvektor – an dieser Stelle ist der Gradient der Nullvektor will sagen – die lange Zahl eben ist – die Tangentialebene – ist horizontal – genau – liebes für den weichen Hügel haben müssen ?? das wäre die rechnerische Begründung – oder – die andere Begründung hier ?? ich hier nicht Exponentialfunktion – hier dadurch sehen sie nicht die eigentlich mit den Quadratsrates – Quadrat heißt dass ich hier in kleinen Schritten anfangen – und dann immer schneller werde – wenn ich – null Komma eins nehme und Quartiere habe ich null Komma null null eins ?? hier ganz langsam an mit dem Quadrat und werde dann sehr schnell – der langsame Anfang führt dazu dass hier kein Klick entsteht sonderlich schön – weich rausgehen – aus diesem Krieg – dann – eben hier im unendlichen gegen null auf – also ganz auch mit etwas Mühen anschaulich begründen aber die einfachste Begründung gesehen Gradienten aus an der Stelle null null Stellen fester Gradient existiert nicht nur – sagen sind keine knicke oder Sprünge oder Schlimmeres – sondern der Gradient ist nun es gibt hier also ein horizontales Endergebnis – geht in keiner Richtung lokal rauf und runter – muss ein schöner – Berg sein – dieser Form – zum ersten erzählt – überlegen Sie mal gerade was heißt das jetzt eine Variable mehr zu haben – was passiert hier eigentlich ✂ ich brauche offensichtlich – eine Achse mir – das kann das nicht funktionieren – ?? die übliche Anordnung der Achsen X Y Z sowas – nur eine Achse mir X Y Z – im erkennbaren Bildchen hier – eine Achse mehr offensichtlich – die Höhe Nina sind jetzt keine Höhenlinien – mehr sondern Flächen – Grünflächen würde ich natürlich würde anhören – ?? Potenzialflächen – iso Flächen – nennt man das dann – Klasse werden Flächen werden – hier steht – wieder mal nach Pythagoras jetzt im Raum – der Abstand vom Ursprung ins Quadrat – im dreidimensionalen – wird die Länge des Sektors X Y Z – der Abstand vom Ursprung ins Quadrat im dreidimensionalen – Mini ein bestimmter Wert rauskommen soll immer derselbe Wert – wusste Rates konstant sein was sie kriegen sind keine Linien sondern Flächenkugeln – Kugelflächen soll ich sagen so eine Kugelfläche – auf dieser Kugelfläche hat die Funktion überall denselben Wert – und wenden andere Kugelflächen nehmen – den drin zum Beispiel hat da die Funktion – auch überall denselben Wert auf der gesamten Kugelfläche und wenn sie noch ?? Kugelflächen ähm – weiter draußen von mir aus überall auf dieser Kugel auf der Oberfläche dieser Kugel sich als ?? Oberfläche dieser Kugel hat die Funktion – denselben Wert – Worte den größeren Wert violett grün oder blau – genau violett es fällt ja wieder ab je größer der Radius wird umso stärker – tätig ist die Fusion abgefallen – als in Brindisi am größten hier sie kleiner – als sie noch kleiner je weiter ich rausgehe desto mehr nähert sich der null innen drin ist sie gleich eins null Quadrat null Quadrat null Quadrat – an – als die Höhenine sind keine Höhenlinien mehr sondern Flächen im Raum hier natürlich besonders einfache Flächenkugeln – wenn diese Funktion nicht zu einfach wäre – würde es fürchterlich werden Beistrich man kann das gerade noch verallgemeinern – die Idee der Höhenlinien – kann sie noch verallgemeinern – die sogenannten Nicki Potenzialflächenisoflächen – ist aber schon – wirklich heftig von der Vorstellung her – im vier dimensionalen können Sie natürlich mit Animationen – arbeiten wir sie hier noch eine Variable mehr haben – könnte zeigen wie sich diese Flächen in Abhängigkeit von der letzten Variable verändern – den in die letzte Variable als Zeit – haben sie Flächen diese allmählich verschwinden oder größer werden Löcher kriegen – ?? Und-Zeichen Henkel kriegen – eine Fläche die vielleicht so anfängt und sie entwickelt sich dann als geschlossene Fläche mit Kartoffel anfängt und entwickelt sich dann im Laufe der Zeit – vielleicht so das da – plötzlich – irgendwelche – Löcher entstehen und dann das könnte man tatsächlich man könnte noch die Zeit als zusätzliche Variable nehmen dann klingt es tatsächlich auch mit vier veränderlichen noch irgendwie gebacken – aber es ist haarsträubend ✂ tatsächlich tun könnten wenn sie Sonderfunktionen – haben eine Funktion – von – X Y Z und derzeit – das kann er sogar ganz physikalisch nehmen – eine Funktion die von Ort und Zeit abhängt – und die soll einen bestimmten Wert haben – natürlich nicht drei seinerzeit vierzig bekanntermaßen – die markieren alle Punkte – in Raum und Zeit sozusagen – für die die Funktion den Wert zweiundvierzig – hat Ereignisse Komma das nennt im Sinne der Relativitätstheorie – Ort und Zeit zusammen ist ein Ereignis an einer bestimmten Stelle zu einer bestimmten Zeit passiert etwas markiere – alle Ereignisse für die Fusion in der zweit wird sichert sie können – gucken – zum Beispiel zum Zeitpunkt drei – wie sie die Funktion zum Zeitpunkt gar nicht die Fusion – wenn die Zeit gleich drei Äste welche X Y Z – ist zum Zeitpunkt drei – diese Funktion – gleich zweiundvierzig wird irgend eine fürchterliche Fläche sein – Vater kein einziger Punkt – typischerweise irgendwie eine fürchterliche Fläche und dann gucken sie okay was es zum Zeitpunkt eh gleich vier – sie markieren im Raum alle Punkte – bei den zur Zeit vier diese Funktion den Wert zweiundvierzig – hat – gibt irgendwie eine andere – Fläche typischerweise – weit über zwei Flächen was weiß ich – denn jetzt quasi die Zeit durchlaufen lassen würden sie sehen wie sich hier ein – komischer Tropfen vielleicht umformen – in zwei Tropfen oder was auch immer – man könnte tatsächlich auch nur vier Dimensionen behandeln – immer die Zeit dazu