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07C.2 Eigenwerte und Eigenvektoren von Spiegelung und Drehungen im R² und im R³


CC-BY-NC-SA 3.0

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mal – was zu eigen werden was weiß man über die Eigenwerte – folgen vier Arten von Abbildungen – und zwar von erstens – eine Spiegelung – an einer ursprungsgeraden – im März zwei – zweitens eine Drehung – um den Ursprung im März zwei – irgendein Winkel was weiß über Eigenwerte – drittens – eine Spiegelung der Zimmer im R drei eine Spiegelung an einer Ursprungsebene – im Erdreich – eine Ursprungsebene – irgend eine Ebene die dem Ursprung enthält – im R drei – und viertens – ?? natürlich eine Drehung – und den dreidimensionalen – dann eine Drehung sinnvollerweise – um eine Achse eine Drehung um eine – Achse durch den Ursprung – durch den Ursprung im R drei – also eigentlich selber diesen – Transformationen – was weiß ich über die Eigenwerte – wenn sie die als Matrizen schreiben – Punkt was wissen Sie über die Eigenwerte – aber die Determinante – muss fassungslos an aber erst mal die Eigenwerte Eigenvektoren – Eigenwerte ?? müssen ✂ zum ersten Teilspiegelung – an eine Ursprungsklagen – irgend eine Ursprungsgerade – meine ich damit – X Y irgend einen Ursprungsgrade – eine beliebige Ursprungsgrade – die soll sein – das sollte Spiegelungssachse – sein – wenn ich diesen Punkt zum Beispiel habe und ich möchte wissen wohin der gespiegelt wird denke ich senkrecht durch die Spiegelung Sachse durch – selbe Strecke noch mal da bitte hin gespiegelt dass das Original – dass das Bild – so fusioniert die Spiegelung – senkrecht durch die Spiegelungsachse – durch ?? wird der Laden hier oben – der wird – hier landen – am – ?? wird dieser landen könnte ?? unter der Achse liegen der wird – neuer – oben so ungefähr landen so – sofort die Spiegelung – an einer geraden – diese gerade welchen Ursprung geht ?? auch mit der Matrix darstellen – diesem Fall zwei ?? zwei hundert sechs und ich kann mir überlegen was den – Eigenwerte – und Eigenvektoren – sind – wenn sie nun diesen Punkt hier nehmen auf der Achse irgend ein Punkt auf der Axnick hat den Ursprung des langweilig – wird – wenn sie Männer Matrix arbeiten muss Punkt bleibt in dem irgend ein Punkt auf der Achse aber nicht den Ursprung ?? sich dessen Ortsvektor an – dann sehen Sie – dass dieser Punkt bleibt – bei der Spiegelung – der Ortsvektor bleibt derselbe der Ortsvektor wird zum einfachen – Hier haben Sie ein Eigenvektor – zum Eigenwert eins – alle Punkte auf der Achse die Nichte Ursprung sind – haben Ortsvektoren – die Eigenvektoren zum Eigenwert eins sind die Ortsvektoren der zum einfachen sie bleiben gleich – wenn sie senkrecht zur Achse gehen – so – so ein Punkt neben dessen Ortsvektor – dieser Punkt landet da unten dessen Ortsvektor – wird – invertiert wirklich negatives Vorzeichen – modifizieren mit minus eins – Ortsvektor zu dem Punkt senkrecht – aus der Achse raus – aus dem Ursprung – wird mit minus eins mal genommen das heißt hier habe ich einen Eigenvektor – zum – Eigenwert – minus eins – ?? zwei verschiedene ?? werde – dann muss Feierabend sein ?? zweimal zwei Matrix meckern sie nicht haben – das nebenbei was über die Determinante und die Spur von dieser Matrix was wissen Sie jetzt über die Determinante – und die Spur – von der Matrix ✂ genau es heute Determinante – die Determinante von so einer Matrix – ist der Feld vollkommenen – Eigenvektoren – ich habe zwei verschiedene Eigenwerte – in zwei dimensionalen – die Determinante das Produkt sein einmal minus eins die Determinante ist also minus eins ein Wunder – Determinante sachte mit dem Vorzeichen – optische Orientierung ändert meine Spiegelung im zweidimensionalen – ?? überhaupt wird sich wohl Orientierung ändern minus – und die Zahl der Determinante die eins sagte sich die Fläche ändert eine Spiegelung wird die Fläche gleich bei Determinante minus ein ?? sein muss und die Spur kommt nicht so häufig vor – oder TR Komma TR Schrägstrich Spur also wenn Sie diese Matrix haben – summieren einfach links oben Beistrich unten oder einer drei mal drei Matrix entlang der diagonal – immer die Summe der Diagonalen – der diagonal das ist die Spur die Spur ist in diesem Fall dann die Summe – minus eins plus eins ist nur – ersetzen allgemeines Resultat für Matrizen – für solche Spiegelungen – in zwei dimensionale – Determinante minus eins Spur ist null – immer – nicht über die Sachse auch wenn sie die x-Achse nehmen und die y-Achse oder du sagst oder was auch immer – immer muss das Geld – und das jetzt irgendwas gerechnet haben absurderweise – doch hier nicht ein einziges Einzel – da einmal ✂ das Herz aber normal was ist die Determinante was ist die Spur wenn Sie diese zweimal zwei Matrix haben eine CD – Determinante wäre also AD – minus PC – was jetzt müssen bin ich hier nicht minus eins rauskommt kann das kein Spiegelung gewesen sein – egal – was er jetzt für Unsinn steht wenn das nicht minus eins ist diese Zahl wieder rauskommt ganz Entwicklung sein müssen sein – die Spur ist bei dieser Matrix – ?? schreibt das mal ich hab es mal so OCR – von der Matrix – A B C D – die Spur ist die Summe der Diagonalelemente – A plus die – Jungs Matrix haben – A plus de links oben und rechts unten muss Null sein – als ein Spiegelungsmatrix – gewesen sein – man kann sich das diesem Zusammenhang – auch leicht merken – wird Sinne einfache Matrix hinschreiben die komplett zerfällt – er sich diese Matrix mal vor – Uhren null null V das Essen sei das war keine Spiegelungsmatrix – wenn sie davon die Determinante – ausrechnen – und die Spur ausrechnen – was gegen sie für die Determinante was gegen sie für die Spur bei dieser Matrix ✂ des geschenkt – mal V für die Determinante Uma V minus Normalnull – und die Spursumme – auf der diagonal – groß V – was gegen sie für diese Matrix an – Eigenwerten – raus ✂ so die Eigenwerte sind ?? und V – sind ?? wunderbare ?? alles in die Eigenwerte sind und V die Determinante das Produkt die Spur ist die Summe so merke ich mir das wenn sie so ?? Symptomatik – haben sie sofort – wieder Zusammenhang sein muss und das hübsche ist der Zusammenhang gilt allgemein – muss ich irgendwann auch mal erzählt haben aber das ist – meine meine Eselsbrücke wie ich mir das merken kann Gruppen ist eine ganz banale Matrix an – sich die Determinante ist das Produkt – der Eigenwerte und die Spur ist die Summe der ?? – das klappt solange diese Matrix wirklich komplett – zerfällt das immer gleich bei der Drehung – mit bisschen heiter – wenn sie genügend – Eigenvektoren – haben sozusagen – dann funktioniert das Komma wo diese beiden Eigenwerte herkommen schönes oder zwei Möglichkeiten haben also die – strenge Möglichkeit wäre diese hier sie gucken sich – die charakteristische – Gleichung an die Determinante – aus – U null – null V Minuslander – mal die Einheitsmatrix – soll Null sein das sie super strenge Möglichkeit – bestimmen offiziell die Eigenwerte – Beistrich da die Determinante – minus Lambda null – null V minus langsam – ?? was ist das das SU Minus dann da mal V Minuslander – und eines Klarlander – gleich oder Lander gleich V Tim erledigt – das wäre die – offizielle Variante sozusagen – das ganz anders gemacht ich hätte gesagt – ich rate die Eigenvektoren – U null null V ich rate Eigenvektoren – nicht das mit eins null modifizieren – kriege ich raus wo mal Einfluss Normalnull – Nummer eins Plus formal null – adressbuchfache – von eins null – will sagen eins null ist ein Eigenvektor zum Eigenwert – und einen analog dann eben – mit null eins – dieser TV Ausgangsfrage – so könnte man das auch begründen – dass es auf die Schnelle – die Eselsbrücke – warum die Determinante das Produkt der Eigenwerte sein wird und die Spur die Summe der Eigenwerte seine wenn sie genügend – Eigenvektoren haben – sie gleich bei der – Rotation Matrix dass es nicht unbedingt der Fall ist – allerdings in diesem Sinne mal über die Rotation jetzt nach das war die erste Aufgabe lösen der ersten Aufgabe es gibt in Eigenwert eins in einem minus eins – und sonst nichts – bei mir als diese beiden ganzen ?? geben zwei ✂ Personal – einmal die – Situation für den zweiten Teil mit der Drehung – eine allgemeine Drehung um den Ursprung – sind – Spezialfälle – aber eine allgemeine Drehung um den Ursprung – hier ist der Punkt von dem ich ausgehe – dass es sein Ortsvektor – drehe ich diesen Punkt – um den Ursprung und lande dann vielleicht ?? mir – sowas immer mehr lande dann vielleicht hier das heißt – ich gehe mit dem Bau begann die Matrix ein und kriege den grünen Vektor aus – das wäre die – Drehung – die Frage ist – gibt es Ortsvektor – und die dabei parallel zu sich selbst bleiben – ?? das wären dann Eigenvektoren – seitens ✂ der Nullvektor natürlich der Nullvektor zählt nicht als ein – welche Ortsvektoren – bleiben dabei parallel zu sich selbst – als im allgemeinen Fall wenn sie irgendwie und dreizehn Radwege oder zwei vierzig Grad Gen – ist er nicht mit Eigenvektoren – jeder Vektor ändert er seine Richtung im Normalfall – bei der Drehung in zwei dimensionalen – erwarte ich nicht – ein Eigenvektor zu finden und ich erwarte dies auch kein Eigenwert zu finden – typischerweise – fast sichere Wette typischerweise – typischerweise – kein Eigenvektor – kein Vektor wird zu einem vielfachen von sich – bei dieser Operation – und ohne Eigenvektor gibt's natürlich auch – kein Eigenwert – typischerweise – wird das stattfinden – bei der Drehung zwei dimensionalen – Ausnahme – kann sie auch gefunden die Ausnahme – oder Ausnahmen sicherheitshalber – die Drehung um hundert achtzig Grad – dann haut es zufällig in sozusagen bei der Drehung um hundert achtzig Grad ?? wird jeder Wechsel natürlich – umgekehrt und da wirklich jeder Vektor – das ist das überraschende – jeder Vektor werden plötzlich Eigenvektor – bei der Drehung um hundert achtzig Grad sie nehmen diesen Vektor den Ortsvektor zu dem Punkt drehen um hundert achtzig Grad Wanderung – jeder Vektor zum Eigenvektor das ist eine eigenwillige Geschichte – nicht – den hundert achtzig Grad daraus folgt jeder Vektor – mit Eigenvektor – mit Eigenwert – minus Einsseins – zu – uns – mäßig – eine Drehung um null Grad – ist auch eine Drehung in der Mathematik – sowie null eine Zahl ist und spart eine Farbe ist ?? Philosophen leider nur diskutieren – in der Mathematik ist das alles klar eine Drehung um null Grad ist auch eine Drehung – ?? natürlich nichts machen dann ist jeder Vektor – nach ?? sind wie vorher – als jeder Vektor ist dann ein Eigenvektor – zum Eigenwert eins – mit ?? Getier Eigenwert eins – natürlich genauso – hundert achtzig Grad – und achtzig Grad plus drei hundert sechzig Grad minus hundert achtzig Grad natürlich genauso die null Grad neunzig Grad siebenundvierzig Grad – minus sieben hundert zwanzig Grad minus hundert sechzig Grad und so weiter – dann natürlich genauso an zu haben – so ist das bei den Drehungen – ?? man kann jetzt in diesem Fall wenn es gar keine Eigenvektoren – gibt's mich einfach sagen ?? ich produziere die Eigenwert und hat damit – die Determinante und ich addiere die Eigenwert und damit die Spur wenn ich keine habe – aber natürlich ist die Determinante – plus eins – die Fläche bleibt gleich und die Orientierung bleibt gleich die drittem ?? muss Plus sein – die Spur einer Rotation Matrix ist nicht so spannend – Beistrich großartiges Anfang an wir haben – teilweise den Versuch die Eigenwert – auszurechnen – Beistrich – festgestellt – sowas – wie – Lander Quadrat gleich minus eins kommt daraus – im komplexen geht das natürlich wenn ich jetzt sagen ich bin nicht im März zwei – sondern ich gehe in den – C zwei – ins komplexe – dann geht das – Wasser durch schwierig vorzustellen was Präsident eines komplexen Komplexen geht das – aber – das ist ?? andere Geschichte kann ein geometrischer Mann hat man keine Chance – solange man der reellen Zahlen bleibt – ein geometrisch – so das war dieses wohnt jetzt die Spiegelung an eine Ursprungsebene – in R drei – müsste dann relativ geradlinig sein Punkt sie haben – im R drei – X – Z – sie haben im R drei eine Ebene durch den Ursprung – Herausforderung – immer – ?? – die – weit nach vorn und hier nicht siedeln Punkt – sie formen – vorne vorne – hinten – Komma das als Ebene durch den Ursprung irgendwie erkennen – ähm – ein Vektor in dieser Ebene sollte sagen – ein Ortsvektor – eines Punkt in dieser Ebene – verbleibt – der selbe – und wenn sie senkrecht zu der Ebene geht so senkrecht zur Ebene gehen dann wird – dieser Vektor umgekehrt – also habe ich – den Eigenwert – minus eins – den habe sozusagen einmal – in der Richtung senkrecht zur Ebene – und den Eigenwert plus eins Sinn habe ich sozusagen zweimal – ?? – ich habe zwei – unabhängige Richtungen mit Eigenwert plus eins DS doppelt – produziert ?? tatsächlich drei Eigenwert und kann dann sagen was die Determinante – ist ?? und kann sagen was die Spur ✂ ist – so das bin ja nachrechnen – am – Mittelmeer dieses Produkte Eigenwert also minus eins mal eins mal eins – der zweimal vor minus eins mal eins mal eins die dem Landes minus eins – auch kein wunder das Volumen bleibt gleich bei der Spiegelung – wiedererlangte Zahlenwert eins Orientierung wird sich um minus das wussten schon von der Determinante – und die Spur ist jetzt die Summe minus eins plus eins plus eins SR zweimal minus eins plus eins Plus als es sich wohl eins – in den dreidimensionalen – eine Matrix haben – bei der die Summe hier – auf der Hauptdiagonalen – nicht eins ist und sofort sagen das ist keine Spiegelung an einer Ebene – müsse diese Summe ja eins sein – das alles wieder ohne dass sie irgendwas gerechnet haben – außer – minus eins ✂ plus eins plus eins – dann noch im Raum die – Drehung um eine Achse – zu – Koordinatenachsen – hier – X Y – Z – jetzt irgend eine Achse das so meinen Drehung Praxis sein neunzehn Ursprung auch noch einmal klar das es nicht weiter geht – das um eine Drehungsachse – sein – und es wird – um diese Achse gedreht Komma das mal – irgendwie wird hier um diese Achse gedreht – gelungen – vorne sehr dicker – Perspektive von hinten ist dünner ?? – es wird um diese Achse dreht zum soundsoviel Grad um diese Achse – was wissen Sie über Eigenvektoren – und über Eigenwerte ✂ die Punkte auf der Achse bleiben liegen – wenn sie da ein Ortsvektor haben – so so ein Punkt auf der Achse des ?? Ortsvektor unten – dieser Punkt bei der Drehung dieser Ortsvektor bleibt gleich – hier haben Sie – ein Eigenvektor – Eigenvektor – zum – Eigenwert eins – das heißt – egal wie die Achse die ich habe immer den Eigenwert eins – besteht sonst mit Eigenwert in Eigenvektoren ✂ ?? ansonsten wieder bei der Drehung im zweiten Missionar sicherlich das ?? vorstelle sie quasi in einer Ebene hier – senkrecht zu der Drehungsachse – eine zweidimensionale – Drehung machen – dann passiert dasselbe – wie das eben hatten – das heißt – typischerweise – keine weiteren Eigenwerte – Weise – keine weiteren Eigenwerte – es sei denn – Ausnahmen – und keine weiteren Eigenvektoren natürlich keine quer – zu der Achse ihren – Ausnahmen – wieder Drehung um Vielfache von hundert und achtzig Grad – dann kriegen sie plötzlich Eigenwerte eins Eigenwert minus eins – und das heißt weitere Eigenwerte eins und zusätzlich Eigenwert minus eins – vielfachen – von hundert und achtzig Grad wird natürlich das null fache drehen und das ist ein Vielfaches – an – Ausnahme schreiben – mit dem das null fache drehen – jeder Vektor ein Eigenvektor mit dem Eigenwert eins jeder Vektor bleibt – dieselbe nachher – ist derselbe nach ?? hervor – könnte jetzt auch was über die Determinante zumindest sagen die Determinante – einer Drehung im dreidimensionalen ✂ Plus einstweilen – plus die Orientierung ändert sich nicht eins das Volumen ändert sich nicht plus eins – ich kann sie sich über die Eigenwerte direkt begründen weil – quer zu dieser Achse – ist Feierabend mit Eigenvektoren – nicht genügend Eigenvektoren – allgemein zumindest habe ich nicht genügend Eigenvektoren aber über dies Volumen und die USA die Determinante des plus eins