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12.06.1 Nullstellensuche, Newton-Verfahren


CC-BY-NC-SA 3.0

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esgibt viele gute Gründe gegen eine Lösung Formelwenn ich jenseits von quadratischen Gleichungen binbei der kurischen gleichen Bedienungsformenhaarsträubend bei derGleichung vierten Grades wird sie noch haarsträubender bei der gleichen fünfunddreißig habe ich keineallgemeine Formel mehrganz viele Gründe es überhaupt nicht mit der Lösung Formel zu versuchensondern es numerisch zu machenin Zahlen zu rechnenandas einfache Verfahren dafürist das Newtonverfahreneinmal gezeigt haben das habe sogar schon mal in Aktion gesehen ?? den einmal gezeigtweshalb es sinnvoll istPotenzen von Funktionen zu definierenan dieser Stelle kommt dann zum ersten Mal eine Potenz eine Funktion ?? genau gucktdas ist ein simplesundelegantes Verfahren null Stellen zu suchen nicht nur von Polynombeliebigen Funktionenaber das funktioniert eben auch mit Polynomals wenn ich solche Gleichungen lösen willnach ?? Gleichung lösen will und ich habe keine Lust auf dieseunsägliche Lösungsformelnwäre das nun Verfahreneiner der ersten Kandidatenfür ein Rechenverfahrenein numerisches Verfahren zügig durch Einsetzen von Zahlen herausfindenoder die Nullstellen liegen solltendurch immer nur gerundetfeminine Sauberes Ergebnisse kriegen hierausdie durch achtundneunzig ?? wusste zwei sondern ich kriege immer nurwas sie drei siebzig Komma acht sechs fünf ??plus minus soundsoviel in Messergebnisanden sich vor sie haben eine Funktion die im Verlauf so aussiehtund ich suche hierdie Nullstellenhoffe das ich eine Stelle Beistrich hoffe das ich eine Stelle kenne die dicht bei der Nullstelle liegtweidlich an der relative Ausdruck istBahnangenommen ich kenne eine die so halbwegsnahe dabei ist Pi mal Daumen schon mal ungefähr getroffen istfang ich mich kann ich das verbessernund dies verbessern kann ist folgendes?? ich bildeichbildetedie Tangentean dieser Stelle X null billig die Tangente an meine Kurveunddieser Schnittpunkt hier mit derder x-Achse mit der Tangenteda hoffe ich dass das eine Nummer besser ist als mein Originaldenen ich dann mal X einsein verbesserter Wert auf und starrte mit einem Wert von dem ich annehme dass er dich bei der Nullstelle istund wenn ich das tue ich die Tangente dran Punkt wo die Tangente die x-Achse schneidetman bei schon eine Nummer besserund das war jetzt weiterkomme ich mir diese Stelle anlegen da wieder die Tangente an diesem ?? gegessen gerade so richtig viel bessernicht so richtig viel besseraber ein bisschen besserX zwei aber irgendwannwenn sich das Ding eingesprungenhat hierdas Ding eingefunden hat geht die Post dabei sindjetzt noch mal die Tangente dran legendas wird schonarg dichtdie nächste Mal jetzt leider gar nicht mehr hinzeitgleich noch das dadurch dann die Post abgeht also sobald man hier in diesemlinearen Bereich rein kommtwird die Nehrungextrem schnell extrem gutwenn X zwei wenn ich bis dahin kommende Leerzeichen Pech gab es geht noch schlimmer ?? für gleich Notfallsituationeneinindes noch viel schlimmer ist das hier wäre die Traumsituationenalles in Ordnung istein Verfahren hat ein paar Probleme muss etwas aufpassenPunkt leiderkommen uns an was hier passiert rechentechnischwenn ich jetzt die Ableitungenausrichten und die Funktion dieser ausrechnenwasabgeht die Nummer achtzehn?? wie komme ich von demersten Näherungswert zum zweiten vom zweiten zum dritten ?? passierte immer dasselbeTangente dran legen Schnittpunkt bestimmen wenn ich weiß wie vom ersten zum zweiten komme weiß ich wie vom zweiten zum dritten Komma so weitwie finde ichden ersten Näherungswertwenn ich den zweiten habe?? den Leuten haben die Stadträtewarenmeines grüngeradenoch diese hier ist die Funktion an der Stelle X nulldieser Abstand hierist X null minus X einsder Wert eine Stelle X null und darfst Kurve hinund genehmigt X null minus X eins das ist der Abstand zwischen meinem Startwert und meinem erstenNäherungswert etwas gerechnet habejetzt kann ich noch was zu der Ableitungssagedie Ableitung einer Funktionan der Stelle X nullfinde ich die wiederder SteigungsdreieckWiki anmalenoder ihr eins anmalen undmusssehr großzügig angehenhier sehen Sie Steigungsdreieckdas ist Steigungsdreieckeinen Steigungsdreieck an die Tangenten gerade an der Stelle X soll das heißt ich kann jetzt sagendie Steigungist alsoF von X nullProzent ?? von X null durchdiesen Abstand X null minus X einsdas ist die Steigung des kann jetzt auflösendann habe aber das ist der wesentliche Schritt beim ?? Verfahren zu erkennen dass ich hier dieses dritte Design Steigungsdreieckistfing sie diesen Zusammenhang und das können sie auflösengegeben X null möchte ich X eins ausrechnenund dann habe ich X null ist der X eins ist gleich X null minusdie Funktionen der Stelle X nulldurch die Ableitung einer Stelle X nurdas ist der erste Schrittder ist Iterationsschrittwie man so sagt es ist ein interaktives Verfahrenmacht X mal das selbe ist man fertig ist man interessierteine Iterationinder Erstiterationsschrittist dasdiese Gleichung lediglich rückwärts gegeben X null bestimme ich X eins das ist eine Gleichung für X einsals im ersten Schritt rechne ich Startwert minus Fusion am Funktionam Start wirddurchAbleitunganund so geht das natürlich weiterX zwei kriege ich dann also alsLeerzeichen sie für ?? zweiimmer der gleiche Farben also das wäre dann X einstut er dasselbe Tangente an den Schnittpunkt suchen X eins minus R von X einsdurch BeistrichvonX einsund so weiteres Komma noch die Funktion erkennen wieder integriert wird ich starte mit der FunktionX minus R von X Beistrich von Xeinmal anwenden oder das Ergebnis wenn ich die Funktion noch mal an und noch mal und noch mal das hatte ich mal als Beispiel gebrachthat dasständigeanwendeneinen derselben Funktionund das wird hoffentlich zum Ziel führt es führt nicht immer zum Zieleben schon richtig bemerkt?? es gibt einige blöde Situationennämlichzum Beispiel folgendezum Beispiel folgende Situationwenn ich hier starte mit meinen X nullpassiert sofort Blödsinn ?? er das nun Verfahren wird nach rechts gehen und nicht nach links gehen wenn ich dazu weit binwenn ichdieselbe Situationhabe aber hier genau auf dem Hügel startewas passiert genau auf dem HügelSteigung soll genau genau auf dem Hügel habe ich die Steigung nur Lichtteile durch Nullauch nicht gutdas heißt manhat schon so gewisse Vorbedingungendas nun Verfahren einsetzen zu können aber wenn es funktioniertdann funktioniert extrem gutwarenund das Komma unsnächste Woche an