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14.1 Tangentengerade, Schmiegeparabel, Taylor-Polynome


CC-BY-NC-SA 3.0

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wiekann man die Tangenten gerade verallgemeinern?? mir somit der Tangenten gerade andas wird uns dann zum nächsten großen GebietdieTäler Polynomtellernährungund danndie Tälerreihezum Schluss Potenz warenaber los geht es ?? ganz im ?? mit der Tangenten geradekann ichdas verallgemeinernkann ich die Idee der Tangenten gerade verallgemeinerneine FunktionskurveX und Ydann irgendwo lege ich eine Tangenten gerade drandaan diesem X nulleine Tangenten gerade ?? wenn ich mir das unter der Lupe angucke heißt dasman Gruppeunter der Lupe heißt das ich sucheeine geradedie sichbestmöglichbestmöglichzudie sich bestmöglichan meineFunktion angelegtGruppe sollen die beiden sichimmer näher kommen je weiter sie vergrößerndesto genauer sind die beiden übereinstimmenddas hier ist die Funktionwichtig im allgemeinen bisschen wegder Richt von der Seite oder billigt sich sodann durchunddie Tangenten gerade soll sichbestmöglichdaran gelegen Tangentengerademit der Ableitungund dafüreine Formel geschenkthatten wir schon hin und wieder ?? ich suche eine geradedie durch diesen Punkt gehtdie Höhe ist er von X nulldie SteigungSF Strich von X null das gibt ja gerade die Steigung an die Ableitung gibt das gerade an was ist die Steigerung der Tangenten geradean der Stelle X nullund daraus baue ich mir jetzt einegerade zusammen das ist dann die Tangentengerade an der Stelle X null Punktwurdean?? zu schreiben an der StelleTangenten gerade an die Kurve an der StellestelleX nulldie gleichen einer geraden soundsoviel mal Explosionzu vielund der Trick istdem anderen irgendwannverinnerlicht hat der Trick ist hinzuschreibenwas an der Stelle X null rauskommen soll er von X null das weiß ich nämlichan dieser Stelle soll mein Originalfunktionswerterauskommenpluswenn ich jetzt nach links und rechts geheich eine Änderungproportionaldazu gewaltig nach links und rechts gehenso weit gehe ich nach links oder rechtsX minus X nullgewaltigrüber marschierenpositiv nach rechts negativ nach linksmal die Steigungsteht da die Gottesmannsteigunguntersteht hier den gleichen derTangenten gerade das ist im Endeffekteine konstante Zahl eine konstante Zahl das es konstant klein X nullund da steht das X im Endeffekt habe ich eine Konstante Matrixplus eine Konstante im Annex groß B wenn sie wollen nur schräge Weise hingeschriebendiese schräge Weise zeigt sich leider sehr hilfreich das kann man mich verallgemeinernin diesem Sinne dieser Schreibweise kann damit ja geradeverallgemeinernwas ist der absolute Wert an der Stelle X nullplusAbleitungwie weit ich zur Seite gehe mit meinem Xwenn ich hier guckebekriegten wird auf der tangential gerade den Tangenten gerade ich nehme den Originalwertden ihrPlus gewaltignach rechts gegangen binmal die Steigunghabe ich daswas was hinzu kommtdas ist eine billige Art immer sich die Tangenten gerade merken kanndie erste Verallgemeinerungich möchte da keine Tangenten gerade dran liegen ich möchte eine quadratische Parabel dran denndas wird hoffentlich viel besser passennunmal das selbemal das ganz dreist in dasselbe Diagramm herum einKomma dreidie Schmiedeparabeldie heißt dann nicht Tangentenparabelsie heißt Schmiedeparabelnicht ganz gelungenaber sie an hoffentlich diese Waffen sollte besser maldas Spiel Parabel auf das wäre die schmierige Parabelwas ist die Parabel die an dieser Stelle X nullunter dem Mikroskop amdichtestenan der Kurve langsämtliche Staatenaussoda mir die Schminkewarwillich die Schmiede sondern die Schwieger sie schmiegt sich an Schmiede Parabelschmiegt sich an die Originalkurvean?? soll das heißennundas soll heißen dass meine Parabel hier durch den Punkt läuft den ich vorgegeben habe eine Stelle X nullsie soll das in der richtigen Steigung tun an dieser Stelle soll sie dieselbe Tangenten gerade habenund sie soll obendrein die richtige zweite Ableitung haben auch die zweite Ableitung dieserSchmiede Parabelsoll an dieser Stelle die zweite Ableitung einer Funktion ?? bei der Tangenten gerade ist es ja nur die erste Ableitungbei der Tangenten gerade habe ich die ganze Zeit konstantAbleitung einer Funktion an dieser Stelle die erste Ableitung stimmt zwischen Funktionund Tangenten geradebei der Spiegel Parabel möchte ich das an dieser Stelleder Funktionswertstimmt ?? erste Ableitung stimmt und die zweite Ableitung stimmt das so heißen Schmiedeparabeldannist das unter dem Mikroskopeine immer bessere Näheanders Komma hinschreiben muss das heißtdas ist eine sehr simple Verallgemeinerungdieser Formen hierSchmiedeparabelStelleX nullY ist gleichdas sieht aus wie die Tangenten gerade aber bekriegeneine Verzierungder fährt an der Stelle die Ableitung an der Stelle die erste Ableitung soll ich sagen an der Stelle meilenweit zur Seite gehenpluswenn Sie das jetzt aus dem Bauchhinschreibenmüssenwas wäre der nächstedergenau ein halb sogar schon in der Tatals das mit der Ableitung können Sie raten hierdie Originalfunktioneinmal abgeleitet ?? Komma jedoch wohl Überraschung zweimal abgeleitetdie Originalfunktionetwas quadratisch während keine Parabelannaja wenn was quadratisch dann hoffentlich das sehr quadratischdas einzige worüber man bisschen nachdenken mussist das der steht durch zweisind gleich warumdas wäre dieSchmiedeparabelwenn ichdie Parabel suche die sich an einem gegebenen Funktionskurveeiner gegebenen Stelleund dem Mikroskop am besten an schmiegthier steht sie das muss natürlich dann wenn man unbedingt will auflösen und vor mir steht eine Direktion zu Felix Quadrate soundsoviel Explosion so vielsteht jedem vertretenen X vertrat Mariana und der Kontonummer zwei mal X mal minus X null sechs Konstanteähm das ist ?? direkt in der vom Sohn zu viel Matrix fordert es uns meine Person zu viel und Vorsicht lässt es auch in dieser Formtypischerweise schreibt man es nicht um in soundsoviel Matrixquadratesoundsoviel mal Explosion zu viel macht das ganze noch viel komplizierterwar und ist sehr unhandlichlassen Sie es in dieser Form offensichtlich verpflichtet dass sie weiter aufzulösenXL sechs null zwei sechs ?? Quadrat ist ein sehr schöner Ausdruck der kommt dabei über den Fall einer mal wieder vorwarum ist das die Schmiedeparabelberechnet einfach nachdannerst muss der Funktionswertstimmenwenn sie X null einsetzenmuss der richtige Fusionswert rauskommen will durch diesen Punkt durchlaufenwenn sechs null einsetzensteht da der Fusionswertplusnullplus null es von einer Stelle X null tatsächlich der richtigeFunktionswert Punktdannmöchte ich feststellen das die Ableitungstimmt an dieser Stelle X null wenn sie ableitenwennsie nicht zum mitschreibenBismarck nebenbeiwenn sie ableiten kriegen siewas wird aus demX null soll feste Stelle seinan der ich mir diese verschiedenen Kurvender verschiedenen Ehrungen anguckeX null ist fest in den Ableitung ?? null raus plusdie Ableitung an der Stelle ist natürlich auch fest was nicht fest ist es das hierX ist meine Variable pleite ab hier mal einsund hiersich ableiten dass zwei Kopf nach vornedas ist jetzt der Grund warum die zweite unten stehtBeistrich vonmalhinterher ableitet und die zwei nach vorne kürzlich mit der zwei ?? da untenzweimalX minus X nullhalbedes ?? hat eindeutig zwei gestandene mögliche Kürzen ganze brauche ich die daso das ist die Ableitung wenn ich jetzt in die Ableitung X null Einsätze sehen Sie Ares ist die Ableitung der Originalfunktionplusnullsechs null sechs nulldass die Ableitung stimmtder hinten wird nulldie Ableitung stimmtwenn sie zweimal ableiten??null bleibt null das Essenkonstantewird nullvier Konstante mal irgendwasKonstanteKonstante Maat XXXLableiten ist einsdie zweite Ableitung ist die ganze Zeit die zweite Ableitung meiner Originalfunktionan dieser Stelleetwas an dieser Stelle stimmtdie zweite Ableitungkann man sich dann überzeugendass diese Kurve hierdiese Parabel tatsächlichdieselbe Funktionswert hat an der Stelle dieselbe erste Ableitung dieselbe zweite Ableitung für meine Originalfunktionsehr nebenbei hinten muss Hall bestehenweil das hier kürzen muss das es etwas überraschendes plus ein halb alles stehtandas die schmierige Parabelund Analogie das weiter wenn ich die beste kubische Parabel haben will die beste Parabelsind gerade soll ich sagen das beste Polynomzehnten Grades haben wir das beste Polynom hundertsten Grades habeich das analogich in das immer wieder weg Punkt dazu habennundie sehen wie die Formel weitergehtfünftenserkubische Schmiedeparabelan dieser Stelle Y ist gleichdasselbewie vorneund am Ende kommt natürlich jetzt die dritte Ableitungan der Stelle X nullmal X minus X nullQuadratmeinhoch drei natürlichein zweiterBruch eins jedoch nur wenn sie wollen ?? zum sechsten null hoch null acht eins ?? Bruch eins hoch zwei hoch dreidurchnicht durch drei sondernhier brauche ich in der Tat drei Fakultätnichtdrei sondern drei Fakultäten also sechsgehen möchte ich dreimal ableitenund dann die dritte Ableitung hier nackt raus kriegen sie dreimal ableiten Punkt aber die drei der Vorsitzendezweite Komma die zwei davordreimal zwei ?? das soll sich kürzen dieser drei Fakultätenund dieäh deshalb im Original das Taylor Polynom vierten Gradesein Schritt weiter noch das Taylor Polynomvierten Gradesist dann Y ist gleich all das all das all dasLosglückvierte Ableitungder Pizza männlichen bisschen heftig mit den Striche nicht ??Klammer aufvier Klammer zuzu sagen die vierte Ableitung F hoch vier FO vier wieder heißen die Funktionviermal miteinanderanwenden er von ?? von F und F das nicht gemeint ?? F viermalableiten dass meine mitFirmen ableitenan der Stelle X nullstatt vier Striche?? X minus X nullvier durch vier Fakultäten das ist das beste Polynomvierten Grades?? Polynom nennt sich dann Taylor Polynom an das geht natürlich genauso hundert Grad und im tausendsten Grad sie summieren einfach immer weiter aufdie komische Pflegeparabel?? Kellerpolynom dritten Grades und diequadratische SpielspiegelParabel ist die Telefon und zweiten Grades und dieTangenten gerade wenn man will es dieErsteller Polynom ersten Gradeskann man auch als AnnäherungenSauce wieder Ordnung nehmen was ist die Mehrung erster Ordnung zweiter Ordnung die Nehrung nullter Ordnung wäre ich sage meine Funktion ist ja eigentlich näherungsweisekonstant gleich diesem Funktionswertdie Höhe erwische malso konstant ?? die Funktionswerte sind in ihrer Notverordnungist nicht so richtig Geldan den geraden ?? erster Ordnungpolynomersten GradesSpiegel Parabel ?? zwei tausend ?? zweitenund so weiterdas geht allgemein die Taylor Polynom nennt sich das dass die Verallgemeinerungder Tangenten gerade auf beliebige