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13.02.1 z-Transformation


CC-BY-NC-SA 3.0

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ich – hab mich während meiner Studienzeiten – lange gefragt – wozu denn man – solche Funktionen nun wirklich Bräuchen brauchen könnte wo kommen die echt vor – allem – man muss – etwas länger warten müssen sie schon paar Semester Geduld bitten diese Funktionen kommen zu einem Schrecken tatsächlich vor – sobald es ums – regeln geht's – oder uns filtern – sieht man gerne solche Funktion ich möchte es grob – einmal zeigen – wo das auftauchen kann – mit einem Ding das ich dann Z Transformationsent – dass es weit voraus gegriffen – das kommt irgend von der Signalverarbeitung – mal vor – arm – also insofern nicht weit jetzt zur Prüfung sitzen muss – und möchte damit zeigen dass tatsächlich diese rationalen Funktionen – vorkommen sobald man anfängt – Signale zu filtern – weil hier bemannten – Zittern Summationraum – was soll ein Signal sein ich gucke mir ein Signal an – wie es denn im – Rechner nachher typischerweise – dargestellt – wird – ?? ich messe – irgend eine Größe in regelmäßigen – Intervallen – heute kann man das auch anders tun macht man teilweise auch anders – mit etwas effizienter in unregelmäßigen – Intervallen zu messen aber das was man nur neunzehn hundert Prozent der Fälle macht es man hat irgend eine Messgröße in regelmäßigen Intervallen – an – das ist noch kein Lückentext das noch – später – nahm – ich Messen regelmäßig Komma zum Beispiel bei audioklassischer – Weise gehen vierzig tausend ein hundert mal pro Sekunde – an – beim Wetter vielleicht einmal pro Stunde – bei irgendwelchen chemischen Prozessen leicht einmal pro Sekunde – auf jeden Fall typischerweise – in regelmäßigen Abständen und ich kriege dann einen Wert – pro – Messung – so sehen typische Signale aus nachher im Rechner – und nun möchte ich die verarzten – die verarbeiten – wie könnte man – so ein Signal im Rechner leicht verarbeiten – wenn sie ein einzelnes solches Signal haben müsste ganz einfach was sie damit machen können Sie modifizieren – es mit irgendeiner Zahl könne zum Beispiel mal zwei nehmen – steht als im Skript kurz ?? aus buchstabiert er – nicht zum ab mal die könnte Signal – einfach mal zwei nehmen jeden Wert mal zwei ?? das keine große Kunst – als ein Signal mit einer konstanten multiplizieren – wenn sie zwei Signale haben – sie vor sie haben zwei Messungen – damit baue ich jetzt mal was zusammen ich mag auch sofort an so aufwies nachher aussehen wird in der – professionellen – Praxis – für Nummer zwei – zur möchte ich folgendes habe ich auf ein Eingangssignal – das man gerne X damit ist wirklich so eine Folge von – Messwerten gemeint – mit diesem Eingangssignal – möchte ich folgendes tun – möchte später was zu addieren – was – aus der Summe rauskommt – möchte ich verzögern – um ein Sample um eine Abtastungshöhe – gerne hätte er's verzögern schreiben soll und dann den Kasten malen soll ?? verzögern um einen simplen – Einzelplatz ein Abtastwert – Sample Abtasten – das soll mein Ausgangswert – sein – ?? Platz lassen – Y – so – aber damit nicht genug – das wäre zu billig was untypische Herz typischerweise hat sind solche – Schleifen rückwärts – Feedback – und zwar möchte ich hier folgendes tun – das Ausgangssignal – möchte ich mal null Komma eins nehmen – wohl sondern mal – mal null Komma eins nehmen und da dann einspeist – das wäre eine einfache – Filterschaltung – als ich hier gehe ich mit so einer – Folge an – Messwerten rein – eine Vorgang Messwerten hier kommt irgend eine Folge an Messwerten an nämlich – das Messwerten an Werten an – keine Messwerte mehr an werden an nämlich was aus dem aus dem Signal gewonnen worden ist das Ausgangssignal – ist auch wieder – so eine Folge – von Werten – das weißliche zurück jeden davon mal null Komma eins damit summiert – und hier – verzögere – diesen verzögern – hier verzögere ich – das was aus der Summe rauskommt und ein Sample – hat als Operation die man mit solchen Signalen – lockermachen kann – die große Frage ist was wird passieren – in diesem Fall kann man sich das so überlegen – Sie sich vor sie hätten von dieser Sorte hier fünf Sachen ineinander gemalt verschieden geschachtelt – dass sie schon heikel – mit rationalen Funktionen kann man lustigerweise – solche Systeme dann beschreiben das Verhalten des Systems – des sich durch eine rationale – Funktion beschreiben – als wir jetzt mal – vorsichtig vor wie man dahin kommt – wie komme ich von seinem Schaltbild – zu einer rationalen Funktion des sich erst mal aus wie – Magie – nun – der Weg dahin ist diese – ominöse Z Transformation – und die geht so ?? ich übersetzte – Signale – in rationale Funktion – also – angenommen ich hätte folgendes Signal für den – Lücken Text drei – Absätze – eins minus drei und vier null eins – Punkt – er soll die Zeitachse sein – und die Nummer des Samples – in – Premiers – T – angenommen ich hätte folgende Werte zum Zeitpunkt – null des erstes Sample sei einst – das zweite Sample sein minus ein – nächstes Sample soll's frei sein – das nächste Sample soll minus zwei sein und dann noch mal eins – und – null – angenommen das wäre mein Signal – ?? gibt es einen absurd aussehenden Trick – das in ein – in eine rationale Funktion zu übersetzen – ?? ich lege jetzt das wichtigste Pflege ziemlich liegende Kurve durch oder so nicht dass sie sich das vorstellt eines ist ganz abstrakt – auf total abstrakte – Weise wird dieses Signal in eine Funktion codiert – an – und zwar durch folgendes ich nehme – die eins da wie sie ist das der Wert eins und jetzt nehme ich jeden Mal – setzt – eine Variable namens Z – hoch minus die Nummer des Samples einmal Z hochminus – null – und hier kommt dann minus eins mal Z hoch minus – eins hier kommt – zweimal – Z hoch minus zwei – hier kommt minus zwei – mal Z hoch minus drei – hier kommt einmal Z hoch vier – hier kommt nur mal Centro fünf – und minus vier nur Matzetuch minus fünf null Mark netto minus sechs – durch das ?? codiert also meine Zahlenwerte – hier die steht in diesen Koeffizienten – einmal Z hochminus – null minus einstmals jedoch minus eins der hier zweimal – Z hoch zwei – minus zwei Malz jedoch minus drei so ist das codiert – verstecke meine Zahlenwerte – hier in den Koeffizienten der Zeitung minus soundsoviel – das ist eine rationale Funktion – einzig Centro vier Einzel et cetera und so weiter das kann ich alles zusammenfassen durch ein in ein Polynom durch ein anderes Punkt – das nennt sich dann die Z transformierte – formalen Signal – das hier ist mein Eingangssignal – normal dargestellt – und das was hier steht – jetzt die Z transformierte – eine – rationale – Funktion – aus der ich – das Signal wieder ablesen könnte Außensignal komme ich zur Funktion und außer Funktion kommen auch wieder zurück zum Signal – an – das sieht – haarsträubend aus warum sollte man das tun warum sollte man das so codieren – das schöne ist das jetzt diese – dass alle drei Operationen – die man machen kann allen Operationen – für rationale Funktionen – super simpel sind – was ?? die drei Operation gekommen sie alle schon vor – mal eine Konstante – zwei addieren – und verzögern – alle drei kann ich jetzt mit rationalen Funktionen – ausdrücken – was passiert wenn ich dieses Signal mal drei nehme was passiert dann auf dieser Seite – alles mal drei der erste Wert wäre drei der zweite wird hier wäre minus drei der wäre sechs und so weiter Sie würden diese Funktion mal drei nehmen wenn das Signal mal drei genommen wird – wird auch die Zentren zu mit dem A drei genommen – wenn ich zwei verschiedene Signale habe – ich zwei verschiedene Signale haben und addiere die ✂ leicht überlegen denn der DC transformierten – addiert sie haben die Einzeltransfer – mit Fis ein Signal – die andere fürs andere Signal – mittig jeweils Sohn Sophie Matz jedoch nur sonstige Zettel minus eins die werden auch addiert – Signal addieren hast etwas formierte zu addieren – das Spannende ist – und das überraschende ist das auch der hier die Verzögerung – nun was – ist was ich mit rationalen Funktionen hinschreiben kann – hier denkt meiner verzögern als sind ?? Sorten – soll das jemals eine Funktion werden das verzögern – Sample – plötzlich – wird es – etwas was mit Funktionen ausdrücken kann – wenn ich um eins Sampleverzögerung – ähm Sample in das Typzügen – verzögere – um Enz – Pearl – verzögern – was heißt das für die Z transformierte – Nummer – vier – womit – multipliziere – ich die Z transformierte – wenn ich ums – Entsamples – verzögere das kann ich plötzlich so ausdrücken dass es eine Modifikation – der Zentren zu – normal zurückgehen – was passiert wenn sie um eins Sample verzögern – stellen sich vor sie würden um eins Sample verzögern – das – rote ausgeben – nicht das schwarze ausgeben sondern das rote ausgeben alles um eins Sample verzögert – und so weiter – und so fort ✂ diese minus eins – hier minus eins kommt jetzt beim zweiten Sample hier muss hoch minus zwei stehen – diese ?? was habe ich hier diese eins kommt jetzt nicht mehr beim viertens Sample sondern sie kommt beim fünften Sample – die ihr muss minus – fünf stehen – die eins kommt jetzt beim ersten Sample hier muss jedoch minus eins noch dabei stehen – die zwei jetzt meine Reihenfolge machen soll die zwei kommt jetzt beim dritten Sample hier muss minus drei stehen und die minus zwei kommt es beim vierten eins zwei drei viertens Sample ?? muss minus – vier stehen – womit habe ich also die Zentren zur Mitte – modifiziert ✂ eins durchsetzen – also überall steht der eins Z hoch minus eins mehr – eben stand die eins der alleinige zittert jedoch minus eins – ein Faktorzettel minus eins mir eben in Schwarzstandards – jedoch minus eins entsteht ein rot jedoch minus zwei einfach das jedoch minus eins mehr und so weiter sofort – wenn sie einmal mit jedoch minus eins Multiplizieren – haben sie um eins Sample verzögert – das grundsätzlich ausdrücken mit der Zeit transformierten – deshalb besitze transformierte – so komische Art – von Samples – in rationale Funktionen umzurechnen – und das natürlich en mal hintereinander mache Entsamples verzögern – heißt das für den Lücken Text hier ich modifizieren EZ hoch minus ähm – verzeichnet alle diese drei – grundsätzlichen – Operationen – zwei – Signale addieren ein Signal modifizieren – Signal verzögern – alle die kann ich jetzt – mit dieser Zeit transformierte – Ausdrücken – ziemlich einfach – sogar