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01B.2 Vektorraum der Polynome; Basis


CC-BY-NC-SA 3.0

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ich – hab schon angedroht Vektoren können auch bis in abstrakter werden die Gruppen jetzt mal – ein paar abstrakte Vektoren an – unserer folgenden Menge an Funktionen – und Funktionen – alle Polynom – maximal – vierten Grades – maximal vierten – was wäre ein Beispiel – was ist ein Polynom vierten Grades – Beispiel ✂ genauso – zum Beispiel zu vier plus X hoch drei – groß X hoch zwei – oder mein Favorit – zu vier minus zweiundvierzig – ich schreibe ausdrücklich alle Polynom – maximal – vierten Grad ich möchte auch sowas haben wir X hoch drei plus dreizehn und ich möchte auch sowas haben die X minus – zwei – und möchte auch was haben – die – Pi – klein X vor – einem – null Grad ziemlich aus was haben wir das Polynom – das die ganze Zeit null ist das Nullpolynom – all die zusammengenommen – alle die sich da vorstellen können so Sophie Marie zu vier Personen immer zu reibungslos plus plus plus eine konstante – Frage – das ist ein Vektorraum – wie viele Dimensionen hat dieser Vektorraum – über den sich Margaret wie viele Dimensionen – hat diese Menge als Vektor ✂ wie viele – wie viele Basisvektoren – brauche ich um alle von denen zu bilden wesentliche Geschichte wird um Dimension geht – hat zwei Dimensionen – gegeben zum Beispiel – mal die zwei Vektoren auf und können alle Vektoren – mit den beiden Malen typischerweise – wie viele – Basisvektoren – brauche ich hier wie viel Elemente muss eine Basis haben was überlegen – ?? ✂ ich schreib meine Mitwisser zu erkennen ist so ein Polynom hinsah mal dreimal – so vier minus sieben mal – drei Fußwurzel – zweimal ins Quadrat – minus – ein halb mal X plus Pi – das wäre so ein Polynom maximal vierten Grades – beschreibt mal – zum Vergleich dazu was man mit Vektoren machen könnte – mit mit Detektoren wie sie sie kennen aus der Physik – sieben mal – eins zwei drei minus – fünf mal – vier fünf sechs – plus – zweiundvierzig – mal null minus eins zwei – hoffe das sie jetzt Analogien – erkennen können zwischen den üblichen feinmäßigen – Vektoren und so ein Polynom – wie viele Dimensionen – hat die Menge – der Raum dann von solchen Polynom maximal – vierten Grades – und vier ✂ hinaus also dieses X so viel dass sie doch so aus wie der hier diesen zu reisen zu aus wie der hier und so weiter – die Polynom hier diese – Mono – die sind auch sehr handlich aus eine Basis – wahrscheinlich – ?? Vielfache davon zu bilden – und die kann ich addieren und subtrahieren – also in dem Raum sind meine Vektoren – Polynompolynom – bekanntlich addieren ich kann sie mit Zahlen multiplizieren – und als Basis eignet sich offensichtlich – folgendes – Basis – zu ?? folgende Menge – verbesserter Mathematik ganze sauber hinlegen müssen mit Abbildung schreibe ich als Anomalie zu vier – X hoch drei – X hoch zwei X Sucheinstieg zu null fünf es ist fünf dimensional – in sich auch bilden können – wenn sie diese Polynom nehmen – und mischen – in beliebigen Anteilen – kriegen sie alle Polynom die so aussieht maximal vierten Grades wenn sie als dritten Rat brauchen im Sinne Nullmatrix – hoch vier – das ist analog zu der Normalfall – Vektoren ich weiß das das abstrakt und überraschend ist aber es ist extrem hilfreich – er ob man Signalverarbeitung – macht und ?? Relativitätstheorie – was auch immer diese Idee – von der Verallgemeinerung – des Vektorbegriffes – total hilfreich in der Mathematik – Polynom sind dann plötzlich sowas wie Vektoren – Komma einen Schritt zurück wenn sie zwei Polynom – haben – X Quadrat plus – dreizehn – X – als eine Polynom und das andere Polynom von mir aus X hoch drei – minus zwei X Quadrat – plus X – Polynom – dann können Sie die addieren kriegen wieder ein Polynom – X hoch drei – plus X Quadrat – Punkt – bald sind es unebene schreiben soll – wo sich X hoch drei Königshaus – X vertrat minus zwei X Fahrrad macht also minus X Quadrat plus dreizehn X plus X siebtes vierzehn X wieder ein Polynom kann die Summe zwei Polynom will und ich kann natürlich auch das Vielfache eines Polynom bilden – drei mal das Polynom X Quadrat plus dreizehn X ist wieder ein Polynom nämlich – banal Dreiecksvertrag – plus neununddreißig – X – das Vielfache eines Polynom – zwei Polynom hat ihr das doch genau was von Vektoren ?? Vektoren möchte ich – modifizieren – kann mit Zahlen – und – mit den üblichen Rechenwegen und natürlich gelten für die Polynom auch die üblichen Rechenregeln an der Stelle sehr – trivial wie man in der Mathematik sagt da geht nichts schief da gar nichts schief geht an dieser Stelle also sind in der Mathematik – Polynom ?? – Vektoren – stellen sich aber bitte die nicht als File vor das geht schief Komma je häufiger probiert das geht schief – dann stellen sich diese Vektoren Ausrufezeichen nicht als Weile vor sondern eben eine abstrakte Geschichte Additionsclub – Publikation bezahlt wird – und diese ganzen Zerlegungsgeschichten – klappen eben auch – ich kann mir überlegen was denn eine Basis ist eine Basis für alle Polynom ?? bis zum vierten gerade zum Beispiel – diese Polynom fünf Stück – an was muss ich mir eine noch für die Basis überlegen warum ist das wirklich eine Basis einerseits – ist offensichtlich – ich kann alle Polynom – bis zum vierten Grad aus den vier Gebilden – offensichtlich nicht schief gehen können – ?? was muss ich mir noch überlegen für Basis ✂ ja also die erste Eigenschaft ist ich muss alle daraus bilden können alle Vektoren ausbilden können offensichtlich – wischen die männlichen Anteilen sind alle Polynom bis maximal vierten Grad – zweite Eigenschaft das muss eindeutig – sein – es muss nicht mehrere Möglichkeiten geben oder anders formuliert keiner von diesen fünfundachtzig – über sein – wenn sie feststellen – dass auch – die erreichen – das es nur vierdimensional – missverstehen das auch nur die drei reichen dann wäre es nur dreidimensional – aber nein es ist nicht der Fall ich brauche alle fünf – keiner ist übrig – und wenn sich das vorstellen natürlich ist keiner übrig wenn sie ein hiervon weglassen dann plötzlich keinen konstanten Anteil mehr das Video nicht funktioniert oder wenn sie den Weg lassen am Verzicht einen Jahr Antenne offensichtlich – kann ich keinen davon weglassen – deshalb es ist – fünf dimensional – und nicht – vierdimensional – und nicht drei zwei eins dimensional – waren dem rauchenden Basen – um besser rechnen zu können ich suche mir eine vernünftige Basis um eine Vektorenansicht – zu machen – Punkt das sehen Sie in der Physik – irgendwelche – gesogen – zu Zeiten der Erde an – bin ich hier Sitze – in Bielefeld – und möchte – vernünftig rechnen werde sinnvollerweise – eine Basis – dies so aussieht ein Vektor zeigt aus der er daraus senkrecht – ein Vektor zeigt – entlang eines breiten Kreises in welche Richtung jetzt auch immer aus westwärts und ein – Vektor zeigt entlang eines engen Kreises – so billig sinnvollerweise – eine Basis wählen Punkt ich werde nicht die Basis – so wählen obwohl ich das tun könnte aber das bisschen Geschick zu rechnen – da hat man dann mit Basen zu tun man wählt die Basis so – das man vernünftig rechnen kann und Sophie Madison sowie Martin sonst immer den Vektor – das ganze einfach ?? wird – so kommen die Basen der Praxis vor – allem – offensichtlich ist das hier eine sehr praktische Basis für die Polynom ich hätte auch eine andere – nehmen können – das war noch mal gerade gehen sie noch andere Basis an das wäre eine andere Basis – gibt unendlich viele – das ist immer gerade alleine machen – schreiben Sie meine andere Basis sind für denselben – Vektorraum ✂ nochmals Analogie – mit Feilen – die übliche Basis für den R drei wäre diese hier eins null null – null eins null – null null eins denen sich die Standardbasis – das ist die Basis die sie kennen und lieben sozusagen – die – Vektoren in X zurzeit Richtung – mit Länge eins – an – aber – ich kann auch andere Basis neben dem bei eins zwei drei – vier fünf sechs – ?? Komma wo sich seine dritten – ähm – eins zwei eins – da müssen jetzt nachdenken das nicht zufällig einen erwischt – der ungeschickt ist – es müßig mir nämlich was überlegen wenn ich jeden dritten hin schreibe – was muss ich ?? für den dritten überlegen – kann ?? nicht beliebig was hinschreiben – was das Bass Element was musste erfüllen ✂ ?? muss neue Informationen haben darf nicht in der Ebene von diesen beiden liegen was zum Beispiel falsch wäre wenn sie nehmen fünf sieben neun – Name schon verloren – eins bis vier fünf zwei plus fünf sieben drei plus – sechs ist neun das würde schon mal nicht hinhauen ich brauch einen der in der ?? nicht Präsident nicht in der Ebene liegt eine fünf sieben – zehn – wird die böse Art der Licht nicht in der Ebene der nicht öffentlichen Verkehr dazu das würde auch funktionieren also wenn sie eine Basis haben sie locker – ?? wie viele andere hinschreiben – den Trick kann man natürlich auch verwenden – ?? als Vorschlag angeben wir nehmen einmal eine Zahl das ist natürlich ganz einfach – X hoch vier zweiundvierzig – X hoch drei – X Quadrat X noch eins X doch nur eine neue Basis na toll – ähm das er nur auf einer siebenundsechzig – ?? – oder den sicher nicht X Quadrat nehmen Sie hier X vertrat – minus dreizehn X plus Pi – für den – dann geht es auch immer noch – die liefern jeweils sozusagen – neue Information – wie man sowas natürlich nachrechnen kann wie man aber später – aber es vergisst Gedanke dass das auch eine Basis ist ein anderer ✂ brisante Frage was ist wenn ich X X – X – X und eins nehme – Vorsicht – das die Frage kommt Vorsicht Vorsicht Nein – am – ich darf diese Echse ja nur mit Zahlen multiplizieren – ich darf sie nicht – multiplizieren – ich darf auch diese beiden Vektoren nicht multipliziert – an – der sich vorher im dreidimensionalen – ?? minimiert diese dann wählen Sie nicht das Produkt von diesen Basisvektor – und das ist eine ganz andere Schiene wir haben sowas wie Skalarprodukt – Versionen – natürlicher – Einbettung heraus als erster will ich nicht das Produkt von Vektoren – spielte immer nur das Produktzahl – mal Vektorzahl – mal Vektor – kein Produkt von Vektoren – insofern geht das hier nicht – sie dürfen mir diese Vektoren nicht miteinander multiplizieren – erst mal offensichtlich kann man bei Polynom – sowas tun aber das ist nicht das Produkt im Sinne der Vektorrechnung des Produktes in der Vektorrechnung ist das sie zwei ?? für die ?? Flächen – oder dreizehn mal den nehmen – das hilft uns aber nicht jährlich viermal denselben hingeschrieben sie dürfen auch nicht modifizieren – also immer nur mit Zahlen modifizieren das ist die Modifikation – bei Vektoren – alles andere ist alles andere Skalarprodukt – Vektorprodukt – und das Produkt von Polynomen – auch das sind – Produkte aber keine Produkte von Vektorenvektoren – modifiziert das man nur mit Zahlen – alles andere ist alles andere es gibt verschiedene Arten der Modifikation – so sollte das noch mal sagen – zusammenfassend auch vor der Metaphysik schon ganz wie gesehen – was das angeht – in – das Produkt was Vektoren – erst mal können ist dieses hier das Produkt mit Zahlen – darum geht das – nach – es geht erst mal nicht um andere Produkte zum Beispiel – das Skalarprodukt – das ist eine andere Sorte ein Produkt oder das Vektorprodukt – auch das ist eine andere Sorte ein Produkt – um die geht erst mal nicht oder das Produkt zweier Polynom – und die geht erst mal nicht – wenn von Vektoren die Rede ist jetzt dieses Produkt erst mal – das andere IS Sonderausstattung – ist gibt einige Vektorräume – die ein Skalarprodukt – haben – es gibt noch weniger Vektorräume die ein Vektorprodukt haben – oder Vektorräume die ein Produkt dieser Art haben – dass es Sonderausstattung – andere Sorten an Produkten ?? nicht durcheinanderbringen – das es erst mal das Produkt um das es geht bei Vektormahlzeiten – sowie Kaffee noch die Frage Einheit – die ganze Einheit Leertaste sehr gut – aber wenn sie physikalische Vektorräume haben mit Einheiten – dann haben alle Vektoren – die selben Einheiten – eine Art wie man das machen kann – dieser ?? entstehen kann man zum Beispiel zwei Kilogramm ein Kilogramm drei Kilogramm des – Physikern – der ständig vor Thermometer – ein Meter – zwei Meter ein Meter drei Meter drei Meter eine – weitere über ein Meter dran schreiben – so was sie sie dann in der Physik überall Meter nicht vierzig Quadratmeter – ?? ähnliche Geschichten – in einem Vektorraum – in denselben Vektorraum sind es dann lauter – Meter Vektoren und nichts anderes – dann – was man theoretisch machen kann – das – setzen die Physiker nicht so gerne – aber es geht rein theoretisch dass sie die Truppen in den Mietern haben die Epson Komponente in Kilogramm – und die Z Komponente – von mir aus Schuldner oder so noch Schreck dazu kommen – Semikolon – am – rein theoretisch würde sowas gehen in der Mathematik – aber – das habe ich ihn jetzt nicht gezeigt Komma – so wird sie in der Physik – typischerweise – Vektoren immer grundsätzlich alle – alle Komponenten – alle Vektoren eines Vektorraums mit denselben – physikalischen Einheiten dahinter – das ändert sich – sobald man hier – sobald man ihr dieses begrenzen anfängt – am – das ?? ganz schlecht man dabei den Zusammenhang in der Physik wo sind sie der Physik das erste Mal – das Skalarprodukt – wo haben Sie das erste Mal gesehen welche Rechnung ✂ bei der Arbeit – Kraft Vektor mal weg Vektor – sollte die Arbeit sein geleistet oder eingesteckt wie auch immer über das ich den Physiker – dann – da taucht das erste Mal das – Skalarprodukt in der Physik auf den haben Sie natürlich – den einen Weg durch den Newton – und den anderen Vektor haben sie in Metern und das Ergebnis haben sie im Jugendschul – an – das im mathematischen Sinne dann nicht mehr ganz dieselben Vektorräume – da geht's dann durcheinander plötzlich mit dem Skalarprodukt – das Vektorprodukt – sehen Sie bei Drehbewegungen gerne – ?? oder Flächenberechnungen – ?? ich werde sie mir wahrscheinlich – dieser Veranstaltung hier mit frechen Rechnungen servieren – wenn sie das veranstalten – welche Einheit schreibe ich beim Ergebnis sind ✂ ja genauso kriegen ?? tatsächlich hier Vektorkomponenten – in Quadratmetern – ich starte mit Sohn sowie Meter für Meter und wirklich Quadratmeter – ein Vektor – dessen Komponenten die Einheit Quadratmeter – haben – ähm – das sie total komisch aus ist es auch Komma funktioniert – das ist der nächste Schritt erst mal haben die Vektoren alle dieselben Einheiten – in allen Komponenten – und sobald dann diese anderen Produkte kommen – wird das ganze etwas fieser – aber eigentlich nichts überraschendes – dafür ?? Quadratmeter – überraschen Komma wenn dies einsetzen ausrechnen sogleich müssen Quadratmeter sein wird es in die Formel ein – Zentimeter mal Meter