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03F.2 Drehungsmatrix geometrisch und mittels komplexer Zahlen


CC-BY-NC-SA 3.0

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jetzt Komma mit Matrizen ja ?? geometrischeKonfirmationbeschreiben eine Art die erste Art wahrscheinlich immer Matrizen sinnvoll anwenden kann ich beschreiben zum Beispiel Drehungendas müsste jetzt funktionieren nachdem sich die alten Sachen angeguckt haben geben Sie eine zweimal zwei Matrix andie Drehung des er zwei um zwanzig GradimUhrzeigersinnschreibe ich nicht Ausrufezeichen esum den Ursprung beschreibt?? auch nicht aus roh und den Ursprung beschreibtwofürso die Macht nennen sich an die Formen aber vorsichtigim Uhrzeigersinn das war fies von mir mathematischpositiv ist gegen den Uhrzeigersinndieses jetzt aber im Uhrzeigersinnversickern einfach die Formelsammlung aufschlagenoder was ich gut fand die meisten ?? erinnert und die Formelsammlungsagt die Formelsammlunggesagt Leider steht Kosinus vom Winkelminus Sinus vom WinkelSinus vom Winkel Kosinus vom Winkelaber jetzt minus zwanzig Grad bei der Winkel der hier stehtist ?? mathematisch positivegroße Muster minus zwanzig Grad Leertaste Semikolon zwanzig Grad das ändert sich nicht der Sinus von minus zwanzig Grad ist mit dem Minuseiner Vorzeichenionsteht im minus ist so das ändert sich dadurch das ich im Uhrzeigersinnarbeitesetzen die negativen Winkel eine übliche Formelabernormal haben die denn herkommen ist wichtiger dass sie wissen wo die herkommtdiese Formel als dass sie sofort etwas hinschreiben könnendas war vorab noch mal vor der echten Geometriegroßen zwanzig Gradist ja nicht weit weg von Kosinus null Grad minus zwanzig Grad es passt nicht weit weg von Sinus null Grad hier steht dann im Endeffekt einsnull null eins zwei Business von zwanzig Grad noch ziemlichnahe bei Null ist in der großes U zwanzig Grad doch ziemlich nach eins eins null null eins ungefähr die Einheitsmatrixsind ?? und zwanzig Grad macht noch nicht so viel danken sie auch sind das die Spaltenso herum wichtig sind es darf nicht die rechte Spalte links stehen und die linke Spalte rechts stehen sowie die beiden der jetzt stehen die beiden Spaltensteht ungefähr die eines Fahrzeug eins null null einsdie beiden Spalten austauschendie der nicht der Einheitsmatrixdas würde knirschen also die beiden Spalten unbedingt in dieser ReihenfolgeKomma dass Gott doch mal die Einheitsmatrixist ja die Matrixmit der sie modifizieren können ohne dass was passiert wenn sie die Einheitsmatrixmit einem Multiplizierenkriegen sie obeneinmal drei plus null mal viereinmal drei plus null ?? vier ist drei untenNummer drei plus einmal vier ist vier die Einheitsmatrixist die Matrixdie die Rolle der eins hat wenn sie mit der einer Smarties modifizierenbekommen Sie das raus was daneben steht ist es für die eins einmal sieben ist gleich sieben einmal sieben ist gleich sieben sozusagenFestival hatte Rollen ?? heißt diese Matrix ist nicht an der Einheitsmatrixwenn sie beim Spalten vertauscht hätten wenn sie nicht dicht bei der Einheitsmatrixdas wäre komischdas kann man schon auf Anhieb sagen oder gucken sondernund in das jetzt her kommt die Drehung beschreibenheißt ja ich multiplizieremeine Matrixalso ich multipliziere meine Matrixmit einem Ortsvektoreines Punkt und was rauskommt ist der Ortsvektor des gedrehten Punkt was ist damit gemeint die Drehungdurch die Matrix zu schreiben ?? wirklich soweiterhindie Frage ist welche vier festen Zahl stehenderFormelsammlung mäßig wissenschaftliche vier festen Zahlen stehenBeistrich dass sie mit kriegen warum da genau diese Zahl steht und keine anderen also hier stehen vier feste Zahn der Matrixgedankeist okay danach Ortsvektor irgendeines Punkt einsetzenproduziereMatrix mal Ortsvektor so herumzweimal zweimit zwei mal eins so herum nicht andersherum?? wieder ein Vektor raus und erweckte mich rauskriegeder Sonderweg zunächst getreten Punkt sein so beschreiben wir die Drehungenjetztnicht an sich Frau um genau diese Zahlen da drin stehen sie können ja insbesonderemal den Ortsvektoreins null einsetzenmal unsere Matrixich gibt den Einträgen jedoch meinem Abi CDwas ist der Matrix das Wissen ?? noch nicht aber der eins null einsetzeneinsder x-AchseYD eins auf der y-Achseich setze jetzt den Ortsvektordieses Punkt einsie gerade mal sagen was rauskommen muss geometrischer ?? was rauskommen muss es wissen wer auf zwanzig Grad im Uhrzeigersinn Vorsicht wird natürlich auch ?? sein zu zwanzig Grad weiter als die eins zwanzig Grad weiter ich wüsste gerne die Koordinatenvon dem Punkt die müssen ?? herauskommen setze eins null ausdrücklich verwiesen Punkt einMatrix von X dann modifiziert und ich möchte rausbekommen den Ortsvektorvon dem um zwanzig Grad getreten Punkt was Muster stehen symmetrisch Zeichen hinkomme ich jetzt auf dem SymposiumeinrotrechtswidrigesDreieckdie Routinenhosein diesem rechtwinkligen Dreieck hat die Länge eins wir haben ja diesen Vektor mit der Länge eins gedreht und zwanzig Grad im Uhrzeigersinn ?? nur noch die länger als versorgt über die Busse die länger als es heute Mitkurses und Sinusarbeitender Kosinusistan Kathete durch Hypothekenrosealso X Werts durch einsdie X KomponenteKomma ?? Ortsvektor muss der Kurse muss sein derSinusist die gegen Kathete durch Tuberkuloselängeeins also ist die Gegend Katheteals jetzt nach unten geht minus der Sinusdas wird also drinnen stehen den Kurses Punkt als Exkomponenteund den minusSinus als Ysich Fälle von dem getreten Punkt das Lot auf die x-Achse die verbinden sich nichtimmer großhier ist der Ar als nur leider ist der Ursprung der gedrehte Punkt soetwas übertriebenso fällig das Lotdann ist diese Strecke weiterhin ein zwei die Strecke war einstens auch diese Strecke vom Drehen her als?? habe ich hier den Kosinus unter minus Sinusförmignach unten gierig nach oben gehen was ich weiß was rauskommt wenn ich diese Matrix mit eins null multipliziereKosinusminus minus zwanzig Grad aus auskommen müssen ?? als nur modifizierenKomma sind Sie auf der rechten Seite steht kann sie ausrechnenwas steht auf der rechten SeiteVektoreine zweimal zwei Matrixmal einen zweimal als Vektor schon zweimal als Rektor raus den oberen Eintrag bekommen Sie in dem sie rechnenaber mal einsB mal null zusammen addiert Amal eins Plus Beamer nunA den unteren Eintrag bekommen Sie in dem sie rechnen zehnmal eins Plus Thema null zehn mal eins Plus nun und steht zehnwas ich jetzt gelernt habe istAistder großen zwanzig Grad sowas auch in der Formelund Cist minus minus zwanzig GradC bis minus zwanzig Grad sowas auch in der Formel dass Martin normalnicht für den X ?? Basisvektorsondern für den Y ?? Basisvektormit null eins und Clarence ist die zweite Spalte ausgeschenktso kommen Sie auf diese Formeldazu und so weiterkeine vollständige Begründung so käme man auf diese Formelsetzte zwei besondere Auswertungen ein eins null und null eins und programmiergeometrischan was rauskommen muss diesem Kursus sich aber die müssen sich zu verteidigenKurses muss man jetzt hätte ich doch begründen dass alle anderen auch funktionierenwenn sie an Ortsvektor einsetzennichtals null ist und nicht nur einziges warum geht's dann auch bestimmt die Matrix so dass das hier funktioniert mit null eins und als nun aber es gilt eine lustigerweiseallgemeinumgeht für alle Vektoren ins für null eins und eins null geht Punkt Leertaste hierfüralle Vektoren plötzlichder Verteilung ausführlicherdass wir jetzt hat sie zu bekommen großes A und C so sind in der Formelsammlungschreibt dazu einfach entsprechendfür warB und Din dem man nicht als null nimmt sondern null eins nimmt und es kommen durch auch das Haus vom Sonderausgabenselbst überlegenkein großes Dramaaber die Frage ist warum geht es dann für alle Vektoren ?? ich weiß das ich jetzt als Ortsvektorals null und null eins einsetzen kann und es kommt das richtige schön aber ich möchte hier einen beliebigen Vektor einsetzendie Matrix von Extramodifizierungdes ?? das richtige raus kommen zwanzig Grad gedreht Lustigerweise geht das jetzt automatischmalausführlicherhabenwarumschafft also warum dann für jeden Vektorfür jedesX Y aus dem er zweiwenn ich diese Matrix nehme A B C Dmal meinen VektorX Yist der Ortsvektorschreibt jetzt wieder so harten Wörtern in DStreten PunktX Ynehmen sich ein Punkt X Yden Ortsvektor dazu modifizierenlinks die Matrix an Fingern und daraus die Behauptungauch das funktioniert der Wechsel den sie rauskriegenist der Ortsvektordes gedrehten Punkt sie haben zwanzig Grad weiter gedrehtund Jahres ?? schon gesagt der Trick ist jetzt diesen beliebigen Vektor hier auf der rechten Seite den zu zerlegen den kann ich ?? schreiben als es ist X malder Vektor eins null plus Y mal der Vektor null eins es völlig banalmit dem Vasen aber schon schlimmere Sachen gemacht als null null einseine Basis des R zwei ich kann diesen Vektor in jedem Fall zerlegen in irgend ein Vielfaches Mal als null plus ein Vielfaches von null eins und wir sind sofort welche Viva X mal als nur der Mitte um sechs steht öfter mal null eins damit und das Y steht den Weg zu ihr habe ich jetzt erledigt ich hab irgendein Vektor X Yzerlegtin X mal eins null und Y mal null eins na tollmittelskommen welchen Regeln Zwischenringen für Matrizen und Vektoren was dürfen sie nun tunMatrix war die Summe zweier Vektorenwiedie Mädchen des Kurses den wir eben große Klammer auf groß Klammer zuund ich produziere jetzt von rechts mit eins null ?? Xplus Ynull einsin die Welt gut und gerechtes was muss man tun dürfen jetztsie dürfen ?? ausmultiplizierenMatrix mal Matrix erkannte die Reihenfolge üblicherweise nicht vertauschenaufpassenbeim Produkt der Matrizen vereinen geht nicht jedes Produkt jede Matrix bei jedem Matrix aber sie dürfen immerhinso nett ist die Welt dann noch sie dürfen ausmultiplizierenwenn sie eine Matrixproduzierenmit einer Summe von Vektorendürfen Sie stattdessen auch Einzel modifizierenalso diese Matrix bei den Vektor X mal eins null ist die Matrixwar den Vektor X mal eins soll ich hatte zwar ausführlichKomma mit Klammern drumplus die MatrixBnie mal den Vektor Y mal null eins dürfen ausmultiplizierenkann sich leicht über die thermische Rechenoperationangeguckt wie rechtlich sowas aus mit Maden und Lustlosigkeitüberlegen in der Tat es fusioniert das man dann ausklammertund jetzt geht's noch weiter ich multipliziere die Matrixmit dem X fachen eines Vektormachen Sie da die Matrix mal x-fache eines Vektorwäre deutscherviele Wege ich möchte die Matrixrein haben und es nicht raus haben die Matrix mal das so zu vielfacher von den Vektorkonzertessoundsovielfacheder Matrix PlattentektonikbedürfnisX nach vorne ziehen wenn es sie ganz normale Zahlen wären wenn sie nicht drüber nachdenkenstellen sich vor der Stundedrei ähm malX malfünfwäre keine Fragedass das dasselbe ist wie X mal drei mal fünfnicht drüber nachdenken aber ?? stehen Matrizenvektorennetterweise auch das Blatt erhalten zu dürfenausmultiplizierenMatrix mal eine Summe dürfen Sie ausmultiplizierendie zweite Fresse natürlich genausoMatrix mal ein VielfachesBedürfnisse Vielfachevor die Matrix ziehen kann folgenden Techniken für die Matrix überlegendas hinschreiben A malX plus B malen und so weiter und so weiter Klage des XT vorziehenund die Enten kleines Ypsilonvorziehendienull einsich erwähne zumindest mathematischen Fachbegriff GenialitätsolcheSummation hat heißen learning Jahr eine Summeaussehenein Vielfacheskann ich aussehendes Netz ich bin jaallgemeinder linearen Algebra deshalb auch die lineare Algebra die lineare Algebra beschäftigt sich mit Strukturendie man addieren und bezahlen effizienter sieht es wieder die VektorraumoperationenMatrix mal die Summe zweier Vektorendarf ich auseinanderziehen?? Matrix mal ein Vielfacheseines Sektors der andere Vektoroperationensammeln Vektor darf ich ja was auseinanderziehen ich darf das vielfache rausholen aus der Matrixmatrizenvertragen sich in diesem Sinne mit den Vektor ?? Operation Vektoradditionund Modifikation bezahlenwie man es von Zahn erwarten würde sowas ja so rauskommt einen beliebigen Vektor Y eingesetzter Umstände mal ein beliebigen Vektor sind schon eingesetztder Matrix eine qualifizierte Stelle festigt aus X mal die Matrix auf eins null angewendet und Y die Matrix auf null eins angewendetversuchter Sommer etwas klarer zu zeichnen musspassierenich nehme einen beliebigenVektorX Ystimmt's ?? lege ich jetzt in ein Vielfachesvon eins nullund null einswir haben sie das x-facheerweckte hier das ist das sechsfache von eins nullund dieser Wechsel hierdass wir das Y fache von null einsdass es meine ZerlegungX Ydem beliebigen Vektor zerlege ich in ein etwas reizvoller und sonntags von null einsund ?? Zimmermann die Matrix anwendet auf das X Y dass man zerlegen kann sie können die Matrix anwenden auf eins null die Matrix am null eins und setzen dann wieder so zusammen das x-fachevon dem das siebzehn -fache von dem aber wenn sie das tun kriegen Sie den gedrehten Weg schon aus sie Matrix anwenden auf eins null ?? drehen sie als null das Amberger zugebautdas funktioniert immer sowas angewendet?? liefert den richtigen gedrehten Vektordie Matrix auf null eins angewendet liefert den wichtigen geführten Vektorsoweit alles in Ordnung ist nehme das x-fachevon dem wichtigen gedrehten Vektor ?? und dem davon über das sechsfachein den des Y fachean wichtig Gegenvektornull einsso vielalternativerdie beidengehen wir und kriegen den gedrehten ?? aus sieben Dreh diese ganze Konstruktionoptimiert istdiese Sommersituationund im Sommer null eins Ideen des gesamten Produktion defekt und setzengedrehten X Yaus entsprechend gedrehten Vektor zusammen muss Allgemeinfunktionäres gibt einen ganz anderen Weg dahin nichtdirekt ?? heute schon über die konvexen Zahlen werden bei konvexen Zahlen schondie Drehungen wie beschreibbaren Drehungen durch komplexe Zahlen in dem ?? mit ihm hoch niemals einen Winkel multipliziertdarüber würde man auch in kann schon mal Drehungum zwanzig Gradim ?? wiederalle Vorzeichen Gedanken machen müssen im Uhrzeigersinnum O den Ursprungin komplexen Zahlendas hatten wir ja sogar schonalso ich hab eine komplexe Zahldie multipliziereichmit Ehe hochüber den Ausgleich Nummer ihm mal irgendwasdes Conti gedrehte Zahl rausich arbeitet gedrehtin hundert ersten Semesterbei Foyerim Laufe dieses Semesters kommt das Sommer deftig vorwas muss ich den wohl produzieren sie eine konvexe Zahl unseren zwanzig Grad im Uhrzeigersinnzu drehendurch etwas hinschreiben ?? minus zwanzig Grad E hochminusniemals zwanzig Grad was natürlich mathematischschlimm aussieht die Elektrotechnik schreiben manchmal sowas ?? mit J und Grad mathematisch rein bei der sich zwanzig Grad hin das sieht sehr komisch aus was schreibe ich in der Konserven zuzwanzig Gradzur Berechnung Freiland ungenau als ?? zwei Pi durch hundert sechzig Grad oder mal die durch hundert und achtzig Grad Klammer zu viel Tempel stehen Rechner auf Radiantist auch gutdas wäre die mathematischeSchreibweise dann eh hoch und jetzt haben sie einen ?? eine Radiant sei ihm mal eine Radiant Zahl im Exponentendas wäre okay?? doch normal die Modifikation kompletter Zahlen wiederholen wenn sie zwei komplexe Zahlen modifiziereneine komplexe Zahl Z eins eine komplexe Zahl Z zweiist der Rechtsanwaltder Mehrzahl in der ganzen Zahlenebenegegen das geometrischeGebilde das Produkt zweier komplexer ZahlenSlowenien die beiden Winkel addieren die beiden Winkelsowas werden wir bilden die Summe der Winkelsummeder Winkelund wir modifizierendie Längen ?? Z eins Mahlzeitzwei die Länge von Z eins Mahlzeit zwei ist das Produktder Längenganz elementarunterschlägt hierzuder Winkel von Ego minus I zwanzig ?? durch und achtzig Watt der Winkel von dem ist minus zwanzig Grad gelänge von dem ist einsE Hochevi hat die Länge eins und den Winkel phisogar der Witzdas kommt dieses Semesterdann demnächst jede Woche fünfmal an an verschieden Stellen bei Versager kommt es dann und bei Foyer kommt es dannTheorie wie die komplexe Zahl irgendwie fies aktueller Winkel im Rheinlandin der Mathematik nicht gerade diese zarte Länge eins und den Winkel phidas heißt diese Zahlen hier hat die Länge also die Miete minus zwanzig Grad wenn sie jetzt diese Zahl modifizieren mit einer komplexen Zahl Punkt die Konsumtion an Summe der Winkelsollte ?? die zwanzig Grad abgezogenvon dem Winkel der Zahl Z aber die Länge bleibt gleich das Produkteh hochminus und so weiter Martindie Länge davon ist einmaldie Dinge vom Original Dany hochminus und so weiter Komma die länger als das ?? funktioniert seine Drehung mit konvexen zarten Come-backs Zahlen zu drehen modifizieren sie einfach mit wie hoch ihm mal einen Winkel jetzt minus zwanzig Grad undAugenmaßjetzt überlegen Sie sich gerade malden zweiten Weg zu der Matrix zu kommenKomma das weiß für die komplexen Zahlenwie kommt man jetztsind wirwie kommt man jetzt zu dieser Matrix mit Kosinusund SinusEigenschaft komplexe Zahlenausgerechnet mittelalterlicheMagneteZdas nimmt einfach X plus Animal Yich gehe um X nach rechts oder Büchsen nach oben verbietet es sich als Vektor in X Y so schreibt sich als Vektor Sonne schreibst ?? X plus I mal Ydas ist sozusagen der Punkt mit X KoordinateX und Y Koordinate Y jetzt aber in konvexen Zahlen hin gebasteltals Realteilund Imaginärteilwas sie rauskommt schneller ?? MAGIX Strichplus MinimalY strichSie erinnern sich was eh hoch und so weiter ist und rechne mal aus was bei dem Produkt hätte basiert auf der rechten Seite bestimmen Schrägstrich Y Strich verwenden Sie was Sie über E hoch ihm mal irgendwas wissen?? SchrägstrichBeistrich ausso Euler ersichtlich erinnertunbedingt ?? wie das noch mal anguckeneh hoch wie dieeine Zahl mit Länge eins Winkel phiauch Hypothenuse mit der Länge eins vier Wochen sind Winkel phiund sind sofort okay Realteil der großen Nuss Imaginärteilsder Sinushier steht Kosinusvom Winkelminus zwanzig Gradgroßes S?? wieder okay den linken Radmassen zu schreiben plus die mal den Sinusvon minus zwanzig Gradoder sie nehmen das Minus davorkomme auch haben sie nehmen das Minus beim Sinus davor großes Mittzwanziger des Kurses plus zwanzig Grad ändert sich nicht als es der Kosinus zwanzig Grad minus imGradschreibt das noch mal ausführlich ?? wir haben also X Strich plus Klima Y strichdie komplette Seite rauskommtdie ist Produktvon Euler hier Kosinus zwanzig Gradminus niemalsMinus von zwanzig Gradund Exposé Ymeine Originalekomplexe Zahl die Kammer nicht vergessen sonst wird es fürchterlich falsch werden eine komplexe Zahl an eine andere komplexe Zahl jeweils zusammengepacktin einer Klammerbeziehen wir aus erhalte einmal RealzeitKosinus zwanzig Gradmal X ist einer dann kommt Kursus zwanzig Grad mal die Y plusI mal Kosinuszwanzig Grad Yjetzt hier vorne der zweite minus zwanzig Grad mal XminusIminus zwanzig Grad mal Xminus zwanzig Grad mal X und der letzte im Bunde minus immer der Sinus malAnimal Yminus diemal in ?? gibteins minus wie man gibt als ehemalige minus eins minus immer lieblos als das I fällt aus ihrem letzten Sommer gezimmerten wegplusdenen Sinus ?? YSinus zwanzig Grad?? Yund jetzt kann man das einfach zerlegenX war der Realteil und seine Imaginärteilzweite Elle zahlenich zerlegte das einfach was erfahre ich über den RealteilSchrägstrichTeilwas erfahre ich über den Bearbeiter Schrägstrich Kosinus zwanzig Grad Mann X gehört zum Vitalund Sinus zwanzig Grad Mann Y gehört zum Realteil das muss gleich sein X Rechtsaltermuss gleich sein Ex Strich ist also Kosinusmal explosives?? Y Komma GarderobenspiegelWasser mit unserem Matrixim wir hier X Y dahinter setzenbekriegenSchrägstrich Haus Kosinus mal X plus Sinus mal Ywie sich das gehörtvon unten noch den Imaginärteileinmal anguckendas ?? Trennstrich te Sieger der nicht zum Imaginärteil?? I steht alles reell was mit ihm stehtBeistrich ist Imaginärteilist bei der sich rechts Abbas ist der Imaginärteildas ist der große muss man Y minusder Sinus mal X Y Strich ist großes Ypsilonminus ins Matrixoben nachgucken?? für die Matrix hingeschriebenwas kommt als ?? Trennstrich Haus untere Zeileminus jedes Mal X großes Ypsilonim Sinnes man X großes Ypsilonkriegt man die Matrix auchwenn sie letztes Semester bei den konvexen Zahlen aufgepasst haben könnte die Matrix auch sofort hinschreibenist vielleicht ein ungewöhnlicher Wegwollte nur mal zeigen dass das alles wunderschönzusammen