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16.3 komplexe Fourier-Reihe


CC-BY-NC-SA 3.0

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jetzt – hatte ich es erzählt über die Basisfunktionen – die man benutzt – für die Foyerreihe – das man diese schrägen Geschichten – Komma – als Vorspann EU – zwo Pi die – N mal T – und N ist eine – ganze Zahl für jede ganze Zahl eine andere Funktion ?? hoch zu bieinmal – Theo Sophie null malte – eo – zwo Pi mal – minus dreizehn mal zehn – unendlich viele Funktionen die benutzt man als – Basisfunktion – die Klappen für solch eine nochmals Platten – zu kurz gekommen nicht das Plotter äh Buch zwo Pi dreimal – T – das ist eine Funktion – der Periode – eins – eins – gleiche Skalen Komma – ganz sinnvoll – ist die Zeitachse – so – auf derzeit eins – wird der Realteilung – der Imaginärteil – hiervon – mal – durch die jeweilige Periode gehen – was ist der Realteil – von dem Video zu I – drei T ✂ als in der Tat hier steht ein Winkel zwei Pi drei T mal IE hoch ihm mal einen Winkel – gibt den Kosinus – von Winkel plus jemals Sinus von ?? denke das hier Euler ist der Kosinus – von zwei Pi – ?? Kosinus von zwei – Pi mal drei C – plus die mal der Sinus vom selben – Berater der Kosinus – Leertaste Sinus – beide laufen dreimal rum das heißt wenn sie den Realteil – untersuchen – dreimal der Kosinus Punkt – Abstract – Moses Punkt es geht durch so weiter in dem Tempo – und wenn sie sich den – Imaginärteil – angucken – und dass sie vorgemerkt – nur der Sinus – also hier mit dem Sinus – drei warum – auf der ?? Zeit eins – und das weiter – Ewigkeiten vorher Ewigkeit nachher – so könnte man das auf Malen können sagen das ist der eigentliche Einzel Imaginärteil – zusammen gemischt – ich stimme das gerne so vor als ob der was in die Zeitachse spielt bald – räumlich Malen – sind inzwischen auch gemalt – was noch einmal in mein – wenn sie das sie räumlich malen reelle Achse des Berger – PR laxe imaginäre – Achse – und dann einmal – dann – fängt es hier bei der Zahl eins an – ?? – wird allmählich imaginär – die – dann wird es minus – eins dann wird es minus viertes fängt hier an – hier ist es die – hier wird es minus eins zivilisierte – Spiral das hier so – rum – so stell ich mir das gerne vor – Gewalt um die Zeitachse rum – dreimal – pro Zeiteinheit – ein Korkenzier – das es vielleicht eine erste Idee was diese schrägen Funktionen – veranstalten – wegen ständig auf dem Einheitskreis – im komplexen – und der Winkel läuft einfach mit konstanter Geschwindigkeit durch hier bei drei – ebenso – dass sie drei komplette Umdrehung haben zum Zeitintervall – eins – alle diese schmeißen zusammen – und sagt okay – damit kriege ich jetzt wirklich jede Funktion – die die Periode eins hat nicht jeden Vergleich – aber praktisch jede Funktion mit der Periode eins – zusammengesetzt – an – das wäre die Hoffnung ?? ich lagere die – dieses E hoch zwei – Pi I N T sehr die barocke Zierfunktion – für alle ganzen Zahlen – überlagern sich mit passenden – Anteilen – dienen nichts EN – Versagen Verlage wirklich alle von minus unendlich bis plus unendlich – wieder mal eine Reihe – das ist die Foyerreihe – wird über endlich viele Sachen summiert – eine Reihe – zwei dieser – ist gerade und habe Konserven subventioniert – dieses sehen – sorgt dafür – dass die – Besessenen die Amplitude – soll zeichnen die Amplitude dieser Korkenzier – angepasst wird – die Szene noch im komplexen Anteil hat ?? den kommt sie aber auch – gesehen – das die Phase – sich ändert all diese CDs hier kontrollieren sowohl die Amplitude – wie auch die Phase – für jeden einzelnen – diese Dinger hier heißen die komplexen – Foyerkoeffizientenkoeffizienten – weil sie – vor diese ominöse Funktion jeweils stehen – als Faktoren – die – Koeffizienten – die Frage ist – kann ich die ausrechnen – Jahr – zu kommen ?? gleich – an – ihrem Anfang erzählt – dass die Grundidee von Foyer war das man alles in Sinusschwingungen – zerlegen kann wenn sie das hier sehen – ist das schon sehr weit weg davon was hat das hiermit Sinusschwingungen – zu tun das hatte er sowas mit – Drehbewegung zu tun Komma wenn im komplexen – netterweise steht ja hinten Sinus und Kosinus drinnen – an kriecht tatsächlich auf Sinus – und Kosinus wieder raus man will aus dieser Form und das wollt ich einmal vorführen feucht zeigen wie man jetzt diese Koeffizienten tatsächlich ausrechnen kann Anteil und Phasenverschiebung – ausrechnen kann – und zwar aus mal ein Kosinus mit Frequenz zweiundvierzig – Amplitude Ai – Kosinus – mit Frequenz – zweiundvierzig – und Amplitude – einst den – Frauen – als Kosinus – von zwei – mal – zweiundvierzig – T – Beistrich – wenn zwei Pi mal Frequenz Wartezeit – Amplitude – steht einmal – Amplitude eins – man den jetzt rückwärts baut – macht – den Rücktransport – mit der Euler Formel – ein folgendes – in sie nehmen ihn hoch zwei Pi mal zweiundvierzig – C – und E hoch minus – zwei Pi mal zweiundvierzig – T – das ganze Addieren durch zwei teilen – dann Hauzen – habe ich den als – Summe von zweier – dieser komischen Funktionen geschrieben – die mit plus zweiundvierzig – die mit minus zweiundvierzig – denn – hier steht – Kosinus – plus die Sinus – bei den minus oben – ist der Winkel ins Negative gedreht hier oben ist der Winkel durch negative ersetzt der Kosinus – bleibt was erwarben sie den Winkel das negative setzen der Sinus ändert aber sein Vorzeichen – hier steht also Kosinus minus I Sinus – und zwei Pi zweiundvierzig T – Kosinus plus Kosinus durch zwei ist der Kosinus – jemals Sinus – minus I mal Sinuspflicht raus erheblich Graus – bleiben zweimal Kosinus halbes der Kosinus – also wenn ich die – positive Frequenz hinnehmen und das negative – was ?? negative Frequenz an unsere – Sonnenhilfsmittel – hier um das zurecht zu biegen – wenn die beiden richtig mischen Kriegen sind Kosinus als – tatsächlichen Konsens darstellen – ?? – zwanzig alles in den in Kosinus – Sinus Konsorten zerlegt aber zumindest sind sie naja das ist nicht so weit weg von Kosinus – und ursprünglichen Idee – etwas ihres Vermögens zu bauen – das heißt den Kosinus – kann ich bauen – wenn ich hier nur zweite ?? mitnehmen – die mit zweiundvierzig – und den minus zweiundvierzig – ich brauche E hoch zwei Pi zweiundvierzig – T – und ich brauche die hoch – minus zwei Pi zweiundvierzig – T ich nehme den zweiundvierzig – den mit minus zweiundvierzig – ?? und die geistesabwesend – zwei vierzig – der Koeffizienten sein halb sein – der Produzent – minus zweiundvierzig – muss auch ein halb sein alle anderen – anderen C irgendwas – setzt sich gleich null ?? bestehen gebildet – Punkt – so – wenn ich den großen Bögen kann es kein Wunder dass sie auf den Sinus damit bilden kann – neun – Sinus der zweiundvierzig – fachen – Frequenz – und Amplitude eins – nicht in Abitur eins bauen kann in den Orbit Amplitude fünfzehn Bauern – im einfach jeden PCs – bei fünfzehn – sind nicht – selber dringlich nehmen wieder E hoch zwei – Pi I mal zweiundvierzig – T ✂ und E hoch minus zwei Pi mal zweiundvierzig – T – wie – bring ich die zusammen das der Sinus über bleibt – wie erklärt sich den Rest – hat sie auf jeden Fall ein Minus – damit der Kosinus – rausfliegt – als ein gerades Minus – das sich der Kosinus raus und ich habe – ihm mal Sinus minusminus – jemals Sinus – also zweimal – jemals Sinus mütterlich noch durch zwei – als auch – auf diese Weise kriege ich den Sinus das heißt – wenn ich den mit der Fourierreihe – bilden wir hier bildende brauche ich wieder – die Nummer zwoundvierzig – Nummer minus zwoundvierzig den Rest nicht – und die Koeffizienten – anders – die Nummer zweiundvierzig – steht mit eins durch zwei die – einzig zwei I das macht ihn minus die halbe – Sinn wenn Sie – wissen hier oben mit I erweitern Sie hier um die erweitern – weil die – ?? nie – rumsteht eins und steht – zwei D – die minus zweiundvierzig – nach zehn minus zwoundvierzig ist das – negative davon – und alle anderen – C sonst viel – sind gleich – null damit habe ich dann ein Sinus der zwei vierzig fachen Frequenz – als man sie zumindest das man aus dieser Reihe – Sinus und Kosinus blieben der ganzzahligen Frequenzen wieder ausgerichtet – auch weiß jetzt nicht direkt in Sinus und Kosinus zerlegt hat den Trick fürchte hervor – Beistrich auch in Sinus und Kosinus zerlegen kann – zerlegen – in dieser Funktion – hier ist mathematisch deutlich eleganter – das habe ich letztes Mal schon angedeutet ?? das deutlich eleganter ist die hier verhalten sich wie die Standardbasisvektoren – wie die Kandidaten hier eins null null null eins null – null null eins – so verhalten sich diese hier – die stehen alle senkrecht aufeinander diese hier stehen senkrecht aufeinander mit diesem sehr komischen Skalarprodukt – die sie ja – jeder die Länge eins dieses Ding hat jedes die Länge eins – in diesem komischen Sinne – das ist viel eleganter als bei Sinus und Kosinus direkt – und das wird sich jetzt aussieht und sich endlich dahinter sich diese – Koeffizienten hier – ausrechnen – das nennt sich dann die Foyeranalyse – was hier steht ist die Foyersynthese – ich bilde eine Funktion als Überlagerung – dieser – Frage sehr farbigen Funktion – die Fouriersynthese – für die Analyse heißt – ich nehme eine Funktion bestimme die Koeffizienten – hier was muss hierzu stehen komplexen Zahlen – analysiere die Funktion sagte der insbesondere was darüber welche Frequenzen tatsächlich vorkommen – mit welcher Phasenlage vorkommen – und das ist jetzt in dieser Form viel schicker als man echt Sinus Familie Funktion Punkt – wegen dieser Eigenschaft mit Senkrechtlänge – eins das will ich ihm jetzt vor ?? für die Nummer zehn – ich bilde folgendes Skalarprodukt – die Funktionen – der Nummer ähm D hoch zwo Pi I ähm – T – die Funktion der Nummer ähm wird multipliziert – mit meiner Originalfunktion – sowas kann das Skalarprodukt – ja – das war dazu da zwei Funktionen – miteinander zu publizieren und eine komplette Zahl rauszukriegen – an – was für das werden – diese Funktion hier hinten – darauf ich ja dass das ist dieser – freie minus unendlich bis plus unendlich – CN – EU – zwo Pi – NT – sicher dass das die Funktion dein – jetzt steht hier in der – in dem Skalarprodukt – steht so eine Summe – ist zwar unendlich lang es ist eine Reihe – aber dennoch – ist es Skalarprodukt so freundlich dass man diese Summe raus ziehen kann – in der Mathematik erst mal drei Jahre drüber nachdenken – will die Skalarprodukt – ist ein integral – darf ich aus dem integral – solche – unendlich langen Summen solche rein raus ziehen Jahr – endlich wissen Aufpasser – diesem Fall aus tatsächlichen – üblichen Daten sie können diese Summe raus ziehen – und dann steht da das ist die Summe von ein gleich minus unendlich – bis plus unendlich – diese CMS – kann sie raus ziehen – des ?? – wird multipliziert – T wird abgebildet auf die hoch zwo Pi – MT – multipliziert – mit Tee wird abgebildet auf E hoch zwo Pi – NT – als ?? Komma zum Vergleich – erzählen was das mit normalen – Skalarprodukt – stellt sich das mit normalen Skalarprodukt – vor – sie multiplizieren – einen Vektor – drei vier – mit einer Summe – wird mit einer Summe von anderen Vektoren eins zwei plus fünf sechs – fünf sechs – sieben acht – Sie modifizieren – ein Vektor – mit einer Summe – anderer Vektoren – entschieden sie raus das erste Mal den tus erst mal den tus der ersten Mal den – ?? die Summe zerlegen genau das fachliche ich sündige diese Summe – in die noch Konstanten drin stehen und bestritt drei – sieben acht – drei noch jeweils aussehenden siebenundachtzig – Geburtshaus – bei normalen Vektoren zu Scan Manatickets – aber genauso – ganz Skalarprodukt – zerlegen – der eine mal eine Summe von vielfachen – ist die Summe von vielfachen der – Skalarprodukt ✂ was weiß ich aber nun über dieses – Skalarprodukt – hier kommt jetzt die Eigenschaft mit der Länge und mit dem senkrecht rein – ja eine – Nummer ähm mal ein anderer oder denselben im gleich ins – Skalarprodukt – ?? zwischen zweien von diesen Basisfunktionen – wir zweimal dasselbe steht ähm und ähm – Anti des Quadratelänge – Nummer ähm ?? – Nummer ein desselben – berechnet wenn da – ähm gleich in ist das Quadrat der Länge von diesem Ding – Bereitelänge davon war eins – das hier ist eins – werden – müssen – wenn – wenn ähm gleich ähm ist ein Konter eins raus – wenn aber die beiden ungleich sind wenn ich hier zwei verschiedene – multiplizieren – die stehen senkrecht aufeinander mit diesem komischen Skalarprodukt – wirklich null raus null wenn – ähm – ungleich ähm – das ist das – normal – dasselbe wie bei den Standard Basisvektor und vor sie rechnen eins null null – eins null null – einer mal sich selbst den kriegen Sie eins raus das Quadrat seiner Länge – wenn sie einmal ein Unternehmen eins null null mal null null eins sieben null raus stehen senkrecht auf – das selbst dasselbe Phänomen hier nur das ich jetzt unendlich viele davon habe und dass das Wissen doppelte Zahl miteinander geschrieben sind sondern – höllische konvexe Funktionen und das Skalarprodukt – eben die gerade gebildet wird ist aber alles völlig egal – weil ich mir schon überlegt habe – der Ämter bei den Hintern – ist null wenn es zwei verschiedene sind und der ähm Stürmer sich selbst ähm ähm – ist eins – ?? schon überlegt – dasselbe Verhalten die Standard Basisvektor – und das macht es jetzt ✂ einfach – was kommt also hier raus – wenn dieses ähm – gleich den Amis wird es das konkret Beistrich zehn Beistrich dreizehn im Vergleich dreizehn sie probieren alle durch – in gleich minus tausend – ?? ist nicht gleich dreizehn kein Beitrag im gleich minus achtundneunzig – ist nicht dreizehn kein Beitrag nur kommt ?? im gleich – fünfzig – null kommt raus kein Beitrag der einzige Beitrag kommt wenn ähm – ?? dreizehn ist in der Streifen ist ein steter eins C dreizehn – nur wenn dieses ähm – Recht dem Amis – steht ein Einzel dann wohl nur dann passiert was – steht hier CIM – kommt zum Schluss CN heraus – Beistrich dass spannende – Geschichte – weiter Komma bei den normalen – Standard Basisvektor und vorgeführt ?? vor sie nehmen den DZ – in den winzigen – Standard Basisvektor – zu GTZ Standard Basisvektor mal einen Vektor den ich zerlegen will – das ist völlig banal – wenn sie das Skalarprodukt rechnen – regen sie – fünf raus das ist genau der Anteil – mit dem der hier drinnen ist das hier ist fünf mal null null eins plus – anderer Kram – dieses Skalarprodukt – in der Standardbasis – sagt Ihnen sofort den Anteil – mit den dieser – Vektor tatsächlich enthalten ist in dem Vektor genau das passiert hier ?? ich bilde – das Skalarprodukt – das Ding zwanzig zerlegen will im eine Funktion – mit – dem – Basisvektor – als Rektor der Bass funktioniert – und kriege raus – was deren Anteil ist wie bei den normalen – Vektoren das klappt bei Vektoren alle senkrecht auf einander stehen alle die Länge eins haben – aber damit bin ich am Ziel damit habe ich jetzt erreicht – diese Foliekoeffizienten – aus – wenn ich den Ämtern – Fourierkoeffizienten – bestimmen will als das Rechner einfach dieses – Skalarprodukt – und fertig – damit hat man die – Formel des Herrn Foyer – also ich kann sagen meine Funktion – ist – Überlagerung – denn gleich – minus unendlich bis – plus unendlich – CN diese komplexen Fourier Koeffizienten – E hoch zwo Pi – NT – mit jetzt ganz in dem ich angeben – CN ist – CIM ausgerechnet – Gesetz also ähm durch ähm – das hier – da in ein Schreiben – CN ist das Skalarprodukt – von – David abgebildet auf die hoch zwo Pi – in – C – mit meiner Funktion elf – in das ?? erschreckend aus – ?? – aber wir wissen was das bedeutet dieses Skalarprodukt – heißt integriere – von null bis eins – den ersten Komplex korrigieren – wie hoch zwo Pi minus – minus zwo Pi – NT Komplex Connect Yeti durch minus ihr setzt – das den vorne mal – von T – DT so ist es Skalarprodukt definiert – das es die – handelsübliche – Formel für die – Foyer sei die komplexe Folie – möchte eine Funktion Z Frieden – in dieser – Basisfunktionen – dann kriege ich diese Koeffizienten – hier mehr oder minder geschenkt über dieses integral – das ganze im Traum hinschreiben wenn sie wissen was das mit einer Wasser Skalarprodukt – zu tun hatten genauso – funktioniert – das bei den üblichen Vektoren – wenn sie im R drei wissen wollen – das noch mal – wieder hin – drei – wie – wenn sie im R drei wissen wollen wie dieser Vektor hier drei vier fünf zusammengesetzt – worden ist könnte das so ausrechnen – das es C eins – mal – den ersten Standard Basisvektor – Pluszeichen – zwei – mal den zweiten – Standard Basisvektor – plus C dreimal – den dritten Standard Basisvektor – und dieses C eins – ist schlicht und ergreifend das Skalarprodukt – aus den beiden – eins null null – mal drei vier – fünf – C zwei – ist das Skalarprodukt – aus null eins null mal – drei – vier fünf und so weiter Schattenriss – das ist dieselbe Rechnung – man abstrahiert von den aktuellen Vektoren – hat aber dieselben Rechengesetze – und findet plötzlich ganz abstruse Geschichten wie – wilde Funktionen – aus – ?? Diskurses und Sinus zusammengesetzt – worden sind über ganz ähnliche – Rechenregeln – hier bei den normalen Vektoren – sie drei von dem und vier von dem und fünf von dem Rauchen einfach über das Skalarprodukt – das jetzt die drei davon steht das jetzt die vier die davor – und null null eins weiterhin die fünf davor gehört genau dasselbe mache ich hiermit – Funktionen konvexen Zahlen ganz abstrusen Geschichten – gelten sämtlichen Gesetze des Prinzen