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10A.5 Poisson-Verteilung hergeleitet mit Binomialkoeffizient, Exponentialfunktion


CC-BY-NC-SA 3.0

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folgendeAufgabeich habe tausendwinzige Fischein einem Aquarium?? soll sagen von einem in einem Wasser zu mir ?? Aquariumin einem Wasser von tausend Kubikmeterndie schwimmenohne sich gegenseitig zu stören ist der Gedanke die bilden keinen Schwarm für mich alle miteinander her sondern der Gedanke setzt jeder von diesen Fischendertotale Individualistist und sich selbst einen Platz irgendwo sucht in diesem Wasserdie Frage ist nun wenn ich aus diesem Wassereinen Kubikmeterrausgreifedes ?? großals Kubikmeterich greife einen Kubikmeterraus und die Frage groß ist die Wahrscheinlichkeitdes in diesem KubikmeterkeinFisch gerade ist wie groß ist die Wahrscheinlichkeitist die Wahrscheinlichkeitdass in diesem einen ausgewählten Kubikmeter das kann zum Beispiel Sonnennetzeeiner Side reingeworfenhaben das kann ein Kubikmeter fastwie groß ist die Wahrscheinlichkeitdass ihnendieähmeinem Uppsala einemMeter gerade kein Fischsoll natürlichdas Netz so einwerfendass die Fische auch einstimmen können wenn sie das tatsächlich tun??der ?? ist ein Kubikmeterirgendwie abgezirkeltwaraber so das die Fische der Trotzdem rein schwimmen können dass es meine Frage ich habe tausend Fischepunktförmigwinzigwarendie nicht aufeinanderachtensondern sich quer verteilen in diesem Wasser von tausend Kubikmeterndie Frage ist wenn ich da jetzt einen Kubikmeter raus greife irgend ein Kubikmeter aber den festund jetzt nachguckenob der aktuell kein Fisch drin wie groß ist die Wahrscheinlichkeitdass da aktuellkein Fisch drin istfolgendesder erste Schritt malder ersteFischdarf nicht in diesem Kubikmeteraber dafür neun hundert neunundneunzigandere Kubikmeterdas heißt wenn sie so zählen nach Kubikmeter der erste Fisch neun hundert neunundneunzigMöglichkeitender nächste Fischhat ja dieselben neunundneunzigKubikmeter zur Auswahl nur den einen nicht nur nicht sein darfund dass es unabhängig vom ersten Fischund der dritte Fischer schon wieder die neun hundert neunundneunzig unabhängig von den ersten beiden die Sonne alle nicht gegenseitig stören und so weiterwenn sie davon tausend ineinander schreiben haben sie insgesamthundert neunundneunzig hochtausend Möglichkeitendas ist die Zahl der günstigen Fälle man darf das als ehrliches Rechnen mit günstigen durch allewird immer mehr dazu das geht nicht immer das man so billig rechnetdie Zahl der günstigen Fälle durch die Zahl aller Fälle aber hier darf man das anund muss stehen die Zahl aller Möglichkeitendas wärenjeder Fischer tausend Möglichkeiten sind tausend??tausend ??das kommt darausjetzt versuchen Sie das mal irgendwie mit der Exponentialfunktionder natürlichen Exponentialfunktionzu schreiben was hat das mit Ehebruch irgendwastunKomma was wieder zu erkennensoll die Nummer vorschreiben die Wahrscheinlichkeitdie gesuchte WahrscheinlichkeitGuideistähm?? soll Komma sagendass da kein Fisch ist Vorsichtdas ?? ein hundert dreizehn sondern es soll in den Kubikmeter kein Feldsteinwarder erste Schritt hier ist zusammenzufassenPunkt man am Beispiel wenn sowas haben wiedrei hochfünf durch vier hoch fünfhaben sie dreimal drei mal drei mal drei mal dreidurch vier mal vier mal vier mal vier dass es im Endeffektdrei viertelfünfmal miteinander geschrieben dreiviertel hoch fünfdaseines der vielen Potenzrechengesetzenhier das hätte ich dann gerne dreiviertel hoch fünf die Potenz können sie dannrausziehen aus dem hoch wenn's denn dieselbewie unten das heißt hier steht erst malneun hundert neunundneunzigdurchtausend hochtausendund da müssten sie vorsichtig irgend wieirgendwie in Anführungszeichen die externe Zahlfunktion wieder erkennenwas hat das mit der Kommentarfunktionzu tunist doch nur sechs Mensafunktionsagenje hocheine Zahl XKrieg war das letztmals schon mal erzähltder Trick istman rechne mal folgendesum Eriks zu definierenwenn ich nehme mal die tausendsteWurzelin die tausendste Potenz bis kleines X Böses passiertdurch tausend mal tausend im Exponententausend ?? zwei tausend sechs Potenzaber ihr kommt jetztder Cloudass man sagt die äh Funktion soll in fünf vierzig Grad durch die Achse gehenfür Zahlen nicht bei Nullsoll die Funktion einfach eins plus diese Zahl sei das machen die fünf vierzig Grad aus dieses hier X durch tausend in Lexika zu großes S nicht bei Nulldann soll das in guter Näherung sein eins plusX durchtausenddas ist hier die tangential gerade die soll ihm gestaltet eins haben mal eins die Steigung einsda kommt das in Spielen ziehen sie aber das ist jaalsoeins plus X durch tausendhochtausendist ungefähr Erikswenn X nicht allzu weit von der Null Weg istam ?? das ist die grundlegende Formel für die Expressaffen zu man kann diesesbin nun hier auseinandernehmenmit dem BinomialkoeffizientSondergerichtmanns übliche Formel mit eins Plus X plus X Quadrat halbe plus X hoch dreiWechsel und so weiter das habe ich auch in den Video vorgeführtdie Form interessiert mich gerade nicht diese Formel interessiert mich versuchen sie das wiederzufindeneineneinen ganzdummer Umformungstrickliegt zwischen hundert neunundneunzig Tausendstelich Ziel von eins ein tausend ?? Clubeins ist tausend Tausendstelwenn sie von tausend Tausendstel ein Tausendstel Absinth Amtsinhaber neunundneunzigtausend ?? wähleX gleich minus eins ist ?? hier wenn ich ist gleich minus eins wäre stehen rund neunundneunzigTausendstelhoch tausendE hoch minus einsMeters werdenneunundneunzig Tausendstelhoch tausend das ist ungefähr E hoch minus einswie großes E ?? minus eins grobist ungefähr zwei Komma sieben versinken bildender Wert von ungefähr drei ein Drittel also das ist ungefähr ein Drittel diese Wahrscheinlichkeit ist ungefährein Drittel absurderweisedas heißt dass es gar nicht mal so unwahrscheinlich das ein Kubikmeter die sind den sich vor ausgesucht haben leer bleibtwas man nebenbeidas man nebenbei daran lernt istdas man zu einemWahrscheinlichkeitsexperimentdie Zahl eh bestimmen kannsie zählen einfachin wie vielen Versuchenein Kubikmeter frei bleibt und können auf diese Weise den Kehrwert der Zahl T bestimmenes gibt ähnliche Experimentewo man dann die Zahl Pi bestimmen kannund andere Konstanten das Essen Experiment zu Verwechslungenimmer die Zeit eh bestimmt natürlich ein extrem unpraktischesähmist besonders mit den Fischen wird nicht richtig gut funktionierenGottes besser mit Regentropfenprobierenund andererähm radioaktiver Zerfall fusioniert auch sehr ähnlichda kommt das dann vorein Drittel bei ihr ungefähr zwei Komma sieben ist also ungefähr drei ist und wo minus eins der Tiere davondirekt von einer Zahl die ungefähr drei ist ein drittelWahrscheinlichkeit muss man ja auch selten hoch genau wissen es groß sich nicht wenn sie ?? WahrscheinlichkeitaufX Stellen nach dem Komma haben es ist ?? Wahrscheinlichkeiteher ein Mittel ausganz vielen vielen Messungen ?? möchte wahrscheinlich Gartenmeister Wissens über fünfzig Prozentist es über zehn Prozent ?? über ein Prozent dieses über null Komma eins Prozent aber niemals den genauen Wert auf XL nach dem Komma das lohnt sich meist mit Wahrscheinlichkeitenähmdanach immer noch mein bisschen weitersind das aus dem Experiment die Zahl eh rauskommt beziehungsweise ihr Kehrwertsind weiter jetzt immer mal drei tausend Fischeselbe Ideesuper kleine Fischediekeine Schwärme bildendrei tausend Fische ähm weiterhin tausend Kubikmeteralso dreimal so viel Fische wie vorheraber eine andere Frage wie groß ist die Wahrscheinlichkeitdass in einem gegebenen Kubikmetergenau vier Fische sind genau vier fünf drei genau vier sind wie groß ist die WahrscheinlichkeitFreiensteindas in einem gegebenen KubikmeterMeter genau ich unterstreicht das hier mal genau der mathematische Begriff um zu sagennicht mehr nicht weniger sondern eben genaunicht mindestens und ich höchstensäh vier Fische sinddie Rechnungen etwas komplizierternicht deutlich kompliziertervon den drei tausend Fischenvon den drei tausend Fischen müssen sich vier freiwillig melden die in den ein Kubikmeter gehendas gibt mir schon mal so zu viel Möglichkeitenfür Möglichkeiten gibt es das sich von drei tausend Fischen hier freiwillig meldendannso zu viel Möglichkeitenfür jede Wahl von diesen vierenmüssen die übrigen zwei tausend hundert sechs neunzig Fische sich in den übrigenhundert neunundneunzig Kubikmetern verteilendas seine günstigen Möglichkeitenda noch mal in die Richtung denkenokay sie sehen Kombinatorikfür solche Aufgabenwird dann plötzlich doch haarsträubendnoch schlimmer sowieso ist amwählenich suche es mal vier Fischefür den einen Kubikmeteraus den drei tausendinsgesamtmöchte ich vier Fische die sich der oben in den ein Kubikmeteraufhaltenund wenn sich dann vier gemeldet haben dafür den einen Kubikmeter muss ich dafür sorgen dass sich die übrigenzwei tausend neun hundert sechsundneunzigin die übrigen neun hundert neunundneunzig Kubikmeter verteilenan das es gerade hier dann von der Boden so schiefgegangender fünfte Fisch vier Fische in der oben in der fünfte Fisch hat neun hundert neunundneunzig Möglichkeitender sechste Fischer hundert neunundneunzig Möglichkeitenunabhängig davon der siebte Fischer neunundneunzigMöglichkeiten sehen was passiert ?? das kann nur werden neun hundert neunundneunzig hoch irgendwas nicht underscore nicht irgendwas hoch neunundneunzigdes RVneunundneunzigeinfielen ersten Mal für den zweiten und so weiter die werden alle modifiziert also Muster zum Schluss werden neunundneunzighoch irgendwasund natürlich hoch zwei tausend neun hundert sechsundneunzigfür die verbleibenden Fische vier fischegehenderoben bin und die verbleibendenFischehaben neunundneunzigMöglichkeiten jeder für sich modifizierenMöglichkeitenund das ganze durch die Zahl aller Möglichkeiten zu beschreiben P ?? wahrscheinlich keine wahrscheinlich kalt ist dass ich die Zahl aller Möglichkeitenjeder Fisch hat tausend Kubikmeter zur Auswahlund es gibt drei tausend Fische so sieht das aus tausend mal tausend mal tausend mal tausendtausend Kubikmeter der erste zur Auswahl wende er sich ein ausgesuchterZug sich der zweite einen aus noch mal Tausende dritte sucht sich einPolitiker zu tausend muss unten stehennicht drei tausend hoch tausend ?? so um tausend unten das es gerade an einigen Stellenschiefgegangen?? residiert eine Nummer ungeschickter aus als eben Komma ganzen bisschenzerlegen ?? drei tausend über vierich möchte vier Fische aussuchen aus den drei tausend für den ersten Fischer mit drei tausend Möglichkeiten für den zweiten Fischer mit zwei tausend hundertund neunzig Möglichkeiten für den dritten ?? zwei tausend neun hundert achtundneunzigfür den vierten ?? zwei tausend neun hundert siebenundneunzigdie vier Fische aussucheob sie sagen es nicht du bist der erste gewisse zweit und so weiter mäßige Reihenfolge egal deshalb durch vier Fakultät die Anzahl der Reihenfolgenmöchte vier Fische aussuchenohne die Reihenfolgezu beachten dass es hier die ??der Binomialkoeffizientund hier hinten kann man es noch in bisschen hübscher machensehen ich kann dieseneun hundert neunundneunzigihr teilweiseFacharzt neun hundert neunundneunzig durch tausend hoch zwei tausend neun hundertsechsundneunzigdann habe ich den erledigt aber hier unten habe ich die tausend ?? ganz erledigtwas muss da noch dazwischeneinzig tausend viertat einst tausend vier das angucken wie Faktoren tausend habe ich jetzt im Nenner stehen vier Faktorenzwei tausend neunzig neunzig Faktoren zusammen drei tausend Faktoren untenund oben Mai zwei tausend und sechs neunzig Faktorenhundert neunundneunzigergibt alleserledigtdrei tausend über viervier auswählen durch vier Fakultäthundert sechsundneunzigzwei tausend hundert sechs neunzig Faktoren haben wirtausenddavon aber vier Faktoren unnormal zwei tausend hundert sechs neunzig Faktoren zusammen drei tausend Faktoralles erledigthabenbevor sie weiter arbeiten lasse Marchegard noch malbisschen Aufräumarbeiteneinst durch vier Fakultätund jetzt das anguckendrei tausenddurch tausendzwei tausend einundneunzig durch tausend zwei hundert neunzig tausend zwei tausend und sieben und sich durch tausend?? wie schreibe ich das mit einem nicht ganz so breiten Daumengleich sondern in guter Näherung ungefährkompliziert drei hoch vierdrei tausend durch tausendmal knapp drei tausend durch tausendmalebenfalls knapp zwei tausend durch tausend Mark ab zwei tausend durch tausenddrei noch vierdrei tausend ?? tausend drei bekommt noch mal drei mal drei mal dreies ist etwas weniger aber nicht nennenswert weniger als die nur vier Faktoren des Okay Bindestrich Prinzipien machen jetzt kritischdas sind knapp drei tausend Faktoren muss man aufpassen aber vier Faktorenbis in das Weglasseneiner Aktion damit habe ich den ersten Teilerledigt und hier hinten steht jetzt maldann dürfen sie wieder in Aktion treten neun hundert neunundneunzigdurch tausendhoch zwei tausendneun hundertsechsundneunzigwie kann ich diesen hinteren Teilmit der Ehefunktioninterpretierengerundetwas wireben hatten war neunundneunzigTausendstel hoch tausend?? was in ihrwarenneunundneunzigsteTausendstel hoch tausend das war eh hoch minus einswenn sich das anguckenmeiner neunundneunzigTausendstelhoch tausendvier steht ja schlicht und ergreifenddie dritte Potenz davondrei tausend Pi mal Daumenneunundneunzig Tausendstel hoch drei tausend ?? die dritte Potenz von dem was wir eben hatten eben hatten wireinst durch E dann ist das hier einzig die hoch drei E hoch minus drei man kann jetzt schon so direkt sagen ?? das muss ziemlich dicht sein ein hoch minus dreigleich noch mal anders man drauf kommen kann dass das etwa Eodienstreisen??ich schreibe das hier als eins minus ein Tausendstelhoch zwei tausend neun hundert sechsundneunzigund forme das dann so um eins minusden erweitere ich mit zwei Komma neun neun sechs zwei Komma neun neun sechs durch zwei tausend neun hundert sechsundneunzighoch zwei tausend neun hundertsechsundneunzigden Bruch malzwei Komma neun neun sechs oben wie unten oben steht zwei Komma neun neun sechs und steht zwei tausend hundert sechsundneunzigjetzt habe ich wiederdie Situationin der die Funktion zuschlägt??einsplusminusirgendwas durch eine große Zahl in Klammern hoch eine große Zahlder hiereins plus was durch eine große Zahl hoch dieselbe große Zahlist ungefähr wie hochdiese Zahl hier oben was wir jetzt schon wissen eh hochminus zwei Komma neun neun sechsund ?? schon beim Kunden sind jedoch minus zwei Komma neun neun sechs ist anscheinend sind unsinnig wenn ich anfange zu hundert ?? Beistrich die hoch minus dreidas kommt dabei rausalso habe ich zum Schluss das ganze hier ist wie wie hoch ist die Wahrscheinlichkeitdassvier von diesen drei tausend Fischenherumschwimmenund keine weiteren und nicht wenigerer einst durch vier Fakultätmal dreivier mal die hoch minus drei in sehr guter Ernährungund Ernährung wird umso besserje mehr Kubikmeter ich habebeim gleichenRahmenseite sein bei der gleichen Fischdichtesehr ?? lassen die Fischdichtekonstant und nehmen immer mehr Kubikmeter dazuentwickelt Zahl ?? immer größerwar die Zahl der Fische auch immer größer wirdund diese Ernährungwird im ländlichen dann exaktdas Ding nennt sich die Postenverteilungoder schon erledigtwenn französisch Können könnte das gut merken was ?? nämlich Fischbemerke ich mir dasist aber erfunden von Herrn Pastor hat nicht mit Fischen zu tun sondern ist es einfach eineabsurdeZufälligkeitin der Sprache jetzthabenschon angedeutet was gilt zum Beispiel für den radioaktiven Zerfall für Regentropfenseltene Krankheitenähman allen Ecken und Enden wenn irgendwo sondern fast und Schrotschussauf ein Gebiet gemacht wird kommt die Wasserverteilungvorallemdas noch sagen was diese drei istdie vier es klar nicht die Rolle der vier ist klar vier Fischein meinem Kubikmeter was ist die Rolle der dreidie drei hier in diesem Spiel nennt sich gerne Lambdadas ist der Erwartungswertdrei tausend Fische auf tausend Kubikmeterwenn sie sehr oft Fischen haben sie in einem Kubikmeter drei Fische drin das ist der Erwartungswertneun der Mittelwert drei tausend Fische auf tausend Kubikmeterhier der Erwartungswertanscheint eine wichtige Größe für die Wasserverteilungkommt dann nur noch in der Formel vor und heißen einfachLander als anderes aus der Formel draußenvier Fische hätte ich gerne dass sie die vier da steht die vierder Erwartungswertdie mit der Sachefischen steht hierund das war's dann so einfach wird das wenn man einunendlich großes Wassermit unendlich vielen Fischen hatähmdann wird diese hässliche Formen ?? hier diese hässliche Formel vereinfacht sich dann netterweise ??und das sieht man auch die Rolle von dieser äh Funktioneben hatten wir tausend Fische auf tausend Kubikmetererwartet wird es also eins im Mittel ein Fisch pro Kubikmeter eh hoch minus eins das hatten wir ebeneinst durch null Fakultätich wolltekein Fisch habenund eins hochnullund das kommt raus Einzigebersimmer ausgeprägter?? des Kabel TV Männern zu verallgemeinern ist wenn ich nicht vier Fische haben achtundneunzig Fische wenn der Mittelwert nicht reißt Erwartungswert nicht drei sondern hundert oder null Komma einsdas geht genauso durch