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22C.1 Tangentengerade an Einheitskreis


CC-BY-NC-SA 3.0

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wir – nehmen mal die obere Hälfte vom Einheitskreis – sowas – ist die Zahl eins das sei minus eins Tasse Zahl eins – X – an der Stelle X gleich zwei Drittel – wüsste ich gerne die – Gleichung – der Tangenten geraten hier lediglich die Tangenten gerade dran – sie meine Zeichnung ist nicht so wirklich entwickelt – sieht aus wie fünfundvierzig Grad hier – und für die hätte ich gerne eine Gleichung – mit je zwei Wege – mindestens zwei Wege die gleichen dieser Tangentengrade – zu kriegen – ?? – einmal über Vektorrechnung – ihr Stich etwas senkrecht aufeinander – muss ?? gleich noch mal an jetzt erst mal mit – Ableitung – schreiben Sie mal hin was das hier für eine Funktion ist der Einheitskreis – die obere Hälfte des Einheitskreises – als Funktion – könnte das hinschreiben eher von X ist gleich – können Sie das als Funktion schreiben – und mit der Funktion bestimmen sie tatsächlich mal eine Gleichung für die Tangenten gerade – eine Y ist gleich – irgendwas – mal X plus – irgendwas – eine Gleichung für die gerade an dieser Stelle zwei Drittel ✂ der Geliebte Pythagoras – ein Punkt auf dem Einheitskreis – so ein Punkt auf dem Einheitskreis – X für den Punkt das Y für den Punkt – Pythagoras sagt ✂ genau Pythagoras sagt in diese Kathete ins Quadrat plus Kathete ins Quadrat – ist gleich die Hypothenuse – ins Quadrat aber die Bedienungseinheit – Kreisradius – eins ist eins ins Quadrat – und das lösen sie auf – dann haben sie mit Gleichung dafür – kann sie mal von da ✂ mal sehen – also den Pythagoras auflösen – Y Quadrat ist gleich eins – Quadrat minus X Quadrat – jetzt haben sich einige von ihnen in Versuchung führen lassen wie die Wurzel zu ziehen – ?? auf etwas falsche Art auf jeden Fall bin ich immer die Wurzel sind Y ist die Wurzel aus als Quadrat ein zwei ?? ist ein – hübscher ist die Wurzel aus eins kleines X Quadrat so weit noch in Ordnung – plus die Wurzel – ?? positives Y kein negatives Y die obere Hälfte des Einheitskreises – so weit so gut aber jetzt muss ein bisschen vorsichtig sein – Denken Sie fanden folgende Beispielrechnung – wenn sie habe einen – Wurzel eins plus eins – dann ist das nicht dasselbe die die Wurzel eins Plus die Wurzel eins den Wurzel eins plus eins ist Wurzel zwei und dass es irgendwas bei eins Komma vier ?? und Wurzel eins Plus Wurzel einzig eins plus eins ist zwei – Vorsicht Vorsicht wenn sie unter der – Wurzel eine Summe haben ist das nicht die Summe der Wurzeln – beim besten ?? – können sich an diesem Beispiel klarmachen dass das nicht funktioniert – das heißt ich darf hier auch die Wurzel nicht zerlegen darf ich sagen das die Wurzel eins minus die Wurzel aus X Quadrat das geht genauso wenig das bleibt so stehen – die können Sie nichts weiter auflöst – damit habe ich also meine Funktionsgleichung – eher von X ist gleich – die Wurzel aus eins minus X Quadrat – kann meine Ableitung ausrechnen Beistrich von X – Kettenregel – die Funktion einer Funktion – die äußere Funktion ist die Wurzel die innere Funktion ist eins kleines X Quadrat – äußere Ableitung sie leiten die Wurzel ab die Ableitung der Wurzel – ist eins durch zweimal die Wurzel – einzig zweimal die Wurzel – ich setze die innere Funktion wieder ein einziges X Quadrat die äußere Ableitung – einer Funktion eingesetzt – mal – innere Ableitung Einzelsitzungen – ableiten Einsamkeit macht null minus X hundert ableiten macht minus zwei – X – minus X hundert abgeleitet minus zwei Vorsicht scheint es nicht so – ?? ich hier nicht zwei ?? abziehen – möchte mit minus zwei X multiplizieren – das wäre die Funktion und ihrer Ableitung – und jetzt berechne ich die Werte die Funktion an der Stelle zwei Drittel – ist Wurzel eins minus vier neuntel – eins minus vier neuntel neunundneunzig – minus vier neuntel sind fünf neuntel die Wurzel aus fünf neuntel – weitermachen – scheint – immerhin die Wurzel aus fünf neunte – die Wurzel aus fünf Mathe macht als die Wurzel aus fünf durch drei oben und unten die Wurzelziehen – sie können nicht bei der Summe die Wurzeln einzelne Szenen nicht bei der Differenz ?? neunzehn einzelne ziehen – beim Produkt – und beim Quotienten können Sie Wurzeln einzuziehen – mit einem Körnchen Salz bei Vorzeichen – wenn Sie dieses haben die Wurzel aus minus eins mal minus eins der wesentlichen bisschen vorsichtig sein mit dem Wurzelziehen des einzelnen machen – mit ihrem Plus Minus LinkedIn bisschen ärger als wenn sie positive Zahlen haben im Produkt oder positive Zahlen im – Quotienten haben dann dürfen Sie die Wurzeln einzuziehen – ?? Quatsch mich hier so die Funktion und jetzt die Ableitung – die Ableitung an der Stelle zwei Drittel – bisher nur dumm eingesetzt eins durch zweimal die Wurzel eins minus – vier neuntel – vorher – mal – minus – zwei mal zwei – Drittel – die Wurzel aus eins minus vier neuntel Atmara dessen fünf neuntel Tisch steht einst durch zweimal Wurzel – fünf neuntel – mal zwei – mal zwei Drittel mit minus sichert Matthias minus zehn – mal vier Drittel – vier Drittel des minus nach vorne – etwas besser hier ?? die vier und die zwei kann ich kürzen hundert zwei stehen – am – ?? – fünf neuntel aber sowieso schon besser nicht wusste fünf Drittel sehr gut gepennt – minus eins durch ihr vorne steht doch Wurzel fünf – Drittel – und hier steht jetzt mal zwei dritte – Plätze zeigen zu kürzen und sie können den und den Götzen hoffe das sieht man – im Nenner – ein Doppelbruch – im Nenner des Doppelbruchs steht drei – oben und drei unten die beiden kann ich gegeneinander kürzen – und dann bin ich dabei ähm zwei durch – Wurzel fünf mit minus davor – am – ?? gerade die Größenordnungen – schätzen Opfer der ungefähr in der richtigen Richtung liegen die Wurzel aus fünf ist mehr als die Wurzel aus vier etwas mehr als die Wurzel aus vier also zwei Komma noch was durch drei – zwei Komma noch was durch drei – knapp unter eins – das ist nicht unplausibel – und hier zwei durch Wurzel fünf – Wurzel fünf ist – mehr als Wurzel vier – etwas mehr als zwei – ich teile zwei durch etwas mehr als zwei dann knapp unter der eins es ist – minus – etwas knapp unter der eins minus – keine Ahnung null Komma acht null Komma neun irgend sowas – will sagen – diese Steigung – ist flacher als fünfundvierzig Grad es ist weniger – minus null Komma null Komma neun oder irgend sowas ist nicht fünf vierzig kartesisch flacher als fünfundvierzig Grad was auch – bei genauerem Nachdenken kein Wunder ist wo haben Sie für welchen X Wert haben sie genau fünfundvierzig – Grad – genau fünfundvierzig Grad welche X wert ist das für genau fünfundvierzig Grad ✂ fünfundvierzig Grad – fünfundvierzig Grad haben Sie hier die sie das dann total schlecht gezeichnet – bei fünfundvierzig Grad ist dieser Winkel gleich dem Winkel – ich habe ein gleich schändliches Dreieck diese Seite – ist gleich der Seite – und dann sind das beides eins durch Wurzel zwei eins durch Wurzel zwei – können Sie mit der Kreisgleichung nachrechnen einzig Wurzelzweig verlieren ist ein halb – Einzigwurzel zwei verlieren ist ein halb – die Summe der Quadrate ist eins es gibt einen Punkt auf dem Kreis mit den Koordinaten Einzigwurzel zwei einzig Wurzel zwei und als ich Wurzel zwei ist null Komma sieben es ist rechts von zwei drittel – an sich ist die Steigung noch nicht minus fünfundvierzig Grad ?? es noch flacher Obst – das ehrlich mit zu Beginn überlegen sollen wo die Steigung von vierzig Grad – hat insofern sind die beiden Ergebnisse plausibel – lässt – Beistrich die zusammen ich will die Tangenten gerade haben – Y – und X – für die Tangenten gerade jetzt das es total verwirrend wahrscheinlich weil – X und X in diesem Diagramm nur was bedeuten sie gerade sind es die Punkte auf dem Kreis jetzt soll sie Punkte – auf der ?? wird gerade ?? X als Koordinate für die Tangenten gerade Y als Koordinator für die Tangenten gerade – und was ich für die Zusammenhänge – müssen Steigung – mal gibt's – die Steigung des – minus zwei durch Wurzel fünf – das ist die Steigung – jetzt muss ich den richtigen Achsenabschnitt finden – ich kenne die Steigung von meiner Tangenten gerade – aber – ich weiß noch nicht auf welcher Höhe sie stattfindet – zu sagen ?? läuft – ich möchte die Tangenten gerade auf diese Höhe setzen sie soll durch diesen Punkt gehen wenn ich zwei drittel Einsätze – soll der richtige – Wert rauskommen – soll raus kommen – Wurzel fünf Drittel – der kann das jetzt zu Fuß machen ich mach's es einmal zu Fuß – ich möchte das Wurzel fünf Drittel rauskommt – wenn ich zwei drittel Einsätze – so könnte man das zu Fuß machen wenn ich fix zwei drittel Einsätze soll der richtige sein Wert rauskommen – wenn ich zwei drittel Einsätze in die gleiche meiner Tangenten gerade soll – der Funktionswert – richtig raus – ?? eine Möglichkeit ?? lösen sie jetzt auf offensichtlich – ist wie gleich – alles rüber bringen Wurzel fünf – Drittel – plus – vier – durch dreimal Wurzel fünf so könnte man das machen – eine Möglichkeit das zu beschaffen ?? andere Möglichkeit – schafft man Eleganz davor – eleganter – sowas – eleganter ist folgendes – Y ist gleich – minus zwei durch Wurzel – fünf – und jetzt bin ich bisschen raffinierter – dieses B – mäßig teilweise – zu dem X dazu – wenn ich von meinem X zwei Drittel abziehen – wird das hier vorne null wenn ich zwei drittel Einsätze – und Wasser rauskommen wenn ich zwei drittel Einsätze es soll Wurzel fünf Drittel rauskommen – das ist ?? elegantere Art selber zu machen – damit die wichtige Steigungswurzelpilz – minus zwei durch Wurzel fünf ?? die richtige Steigung vor dem X stehen und nicht zwei drittel Einsätze hier zwei Drittel einsetzen – wird das zu Null und es kommt Wurzel fünf Drittel raus was rauskommen soll – es eine elegantere Art statt das B so wie eben auszubrechen – nicht einer mal die Analogie zu dem – Wasser vorhin hatten – das ist die Ableitung – an der Stelle X null – und X null ist zwei Drittel – die Stelle an der ich die Tangenten gerade bilde – sie sehen hier stets – X null – minus zwei Drittel das X null und das ist der Funktionswert – an der Stelle X null – ist die handelsübliche Formel dann automatisch auch – was ist die Ableitung – an der Stelle an der ich die Tangenten gerade bilde mal die weitgehend – raus aus dieser Stelle X minus X null – wörtlich raus aus dieser Stelle los wie hoch ist der Wert der – Rest ?? das Probieren das normal am Einheitskreis dann tatsächlich an zu malen – ?? Einheitspreis – ?? – so – an der Stelle zwei Drittel – billigdenen – Funktionswert – das Funktionswert – an der Stelle zwei Drittel – und – jetzt habe ich irgendwo ein X XL ist nicht fest vorgegeben das war irritierend erlaubt eine Stelle X etwa nicht fest vorgegeben – irgend ein X wird und frage mich okay was ist das Ergebnis – der Tangenten gerade – für dieses X – gucken Sie sich dieses Dreieck an – gucken sich das Dreieck an die Strecke hier oben – was ist die orange Strecke – da oben ✂ genau hier oben haben sie X minus X null oder X minus zwei Drittel – wie weit gehe ich von meinen zwei Drittel der rund dasselbe wie weit die Firma in zwei Drittel nach rechts das ist diese Strecke da – und die Steigung sagt Ihnen – das Verhältnis zwischen dem roten Stück und ignoranten Stück – das ist die Steigung an der Stelle – das heißt das rote Stück ist – Steigung – mal das Orangestück – das rote Stück ist die Steigung – Beistrich von zwei drittel – mal das Orangestück – X minus – zwei drittel – und das packen sie beides zusammen – das blaue – ist in der sie wird negativ gerechnet – ?? Stückchen wird negativ gerechnet ?? negative Steigung – die backen das Blau und das Rot zusammen und dann haben sie das punktiert Grüne – den Y Wert auf der Tangenten gerade ist da steht – bekommt diese Formsteigung – mal wie weit gehe ich raus aus der Stützstelle – ?? plus de Funktionswert an der Schnittstelle – Steigung über dich raus aus der Schnittstelle plus dem Funktion wird eine Schnittstelle – und das würde ich – auch tatsächlich so in dieser Form stehen lassen das es in dieser Form wesentlich besser zu verstehen als ?? diesen weder ausrechnen – der Verweis war nicht mehr genau – wo die einzelnen Bestandteile hergekommen sind – Punkt es ist sinnvoller tatsächlich so stehen zu lassen – X mindestens Stelle mal die – Steigung plus der Wert eine Schnittstelle ✂ das ist nur der Differenzenquotient – umgeformt – stellen sich vor sie bringen – den hier auf die linke Seite – Punkt für sich zugesteckt – ?? ich mal weiter meine es ist nur der Differenzenquotient – umgestrickt – wenn da steht – Y für die Tangenten gerade – also Y Tangente – ist gleich die – Steigung – meiner Originalfunktion – an der Schnittstelle – mal X minus die Stützstelle weidlich aus der Seite plus – der Funktionswert – an der Schnittstelle – und jetzt bringen Sie den Räuber – dann später Y von der Tangente – minus den Funktion wird eine Schnittstelle ist gleich – das hier – Ableitung mal weitgehend raus – und jetzt teilen sie durch den – und dann steht der Y von der Tangenten gerade – minus der Funktionswert – an der Stützstelle durch X minus Stützstelle ist gleich – die Ableitung und das ist der Differenzenquotient – es ist schlicht und ergreifend der Differenzenquotient – hier steht Delta Y – da steht der ?? Access ist der Differenzenquotient – es einfache Umformung des Differenzenquotient – und die mathematische saubere Arzt Indifferenz Musik zu schreiben das man Sachs – der Y Wert ist näherungsweise – in Jahren Ehrung ist der Y wird dieses hier – und exaktere Funktion plus – etwas – was schneller gegen null geht als das Hirn ✂ will ich aber Komma sagen dass man diese Aufgabe auch ganz anders lösen kann – sie können – ohne Ableitung vorgehen einfach nur mit der Idee von senkrecht – was worauf senkrecht steht – wenn ich diese Verbindung habe dann steht diese Verbindung senkrecht – auf der Tangenten gerade – ich kann überlegen – welche Steigung – diese Verbindung hat – die kennen – diesen Y wird Hammer gerade ausgerechnet Wurzel fünf Drittel – bekennen diesen X wer damit fing sie davon die Steigung – und jetzt müsste ich – hiervon die Steigung haben – Beistrich dass er dich mein Schreiben die Steigung hiervon kriegen wir als das Verhältnis also Wurzel fünf Drittel ist diese ?? wird durch das – hiervon die Steigung ist – ?? zwölf fünf Drittel – durch – diese zwei Drittel – macht also – Wurzel fünf halbe davon den Link hier ist das die Steigungswurzel – fünf halbe Wurzel fünf ist etwas mehr als zwei durch zwei hiervon die Steigung ist etwas mehr als eins es etwas steiler als fünfundvierzig Grad habe ihm schon gesehen – plausibel aus – mit jetzt hiervon die Steigung haben – wie kriegen Sie hiervon die Steigung ohne dass sie Ableitungen berechnen – die ab die Steigung – einer geraden die senkrecht – ist zu der geraden mit der Steigungswurzel – fünf halbe – kriegen Sie von der violetten Kran die Steigung ohne Ableitungen ✂ einer der negative Kehrwert sie nehmen minus zwei durch Wurzel fünf minus zwei durch Wurzel fünf ?? negative Kehrwert – mit zwei geraden haben die senkrecht aufeinander stehen – ist der ?? ist die Steigung der einen der negative Kehrwert der Steigung der anderen Sinnes gibt Fälle in denen sich hinhaut – wenn die eine gerade ?? zentrales müsste die andere – vertikal sein – minus zwei durch Wurzel fünf ?? einmal gucken – mir – minus zwei durch Wurzel fünf – habe ihm ausgerechnet auf ganz andere Art – ?? sollte man gerade sagen warum das der Fall ist ?? zwei geraden haben die senkrecht aufeinander stehen warum ist dann das der Fall dass sich die ?? die – Steigungen so – geschenkt kriegen – warum – sich die Situation angucken – ich gehe um eins zur Seite ich gehe um ähm nach oben – rechter Winkel – letztmalig hier ein Steigungsdreieck – ein – wie kann ich hier ein Steigungsdreieck – einmal an der gerade die senkrecht – zu der ersten läuft ✂ genau sie gehen ähm nach rechts und ein nach unten das heißt hier sehen Sie die Steigung – minus eins durch ähm – ihr haben sie die Steigung ähm – hier haben Sie die Steigung – ?? – ich gehe auf die Strecke ähm – minus eins – minus eins durch ähm negative Kehrwert – so erklärt sich das auch