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24.1 Mehrdimensionale Integrale


CC-BY-NC-SA 3.0

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ich – habe zählt was Ableitungen – im mehrdimensionalen – sein soll – das gegenüber den Gradienten – der Gradient verallgemeinert – die Idee der Ableitung – der Funktion mehrerer veränderlicher – und jetzt geht's darum was den heißen soll Nierenfunktion – mehrerer veränderlicher zu integrieren – ist mal wieder zurück zu einer veränderlichen – ?? Komma versuchen das fragen – was war eigentlich das integral – für eine Funktion einer veränderlichen – SG die ganze Zeit das mit der Zusage geht die ganze Zeit um bestimmte – Integrale – nicht um unbestimmte – unbestimmtes – integral heißt ja – Stammfunktion – wilden – ableiten rückgängig machen – sowas kann man sich auch angucken – wie kann ich den Gradienten rückgängig machen aber das ist nicht das was typischerweise vorkommt das was typischerweise vorkommt das ist ist das man Volumina – oder schlimmere Sachen – Gesamtmassen – ?? berechnende – Überintegration – bestimmte integral geht es die ganze Zeit um bestimmte Integrale – das klassische bestimmte integral – Funktion einer veränderlichen – heißt – ich möchte die Fläche – unter dem Grafen bestimmen – daher unter dem Grafen die Fläche zwischen dem Grafen und der x-Achse soll ich sagen ich möchte die Fläche zwischen den Grafen exakt zu bestimmen – und zwar so das ich die Teile drüber positiv Rechner und die Teile drunter negativ rechnerseitig – vorgeführt – haben – muss man so machen damit das Integrallineal – wird wenn ich will dass das Integralform – A fachen meiner Frau Beistrich – vor – wenn ich – das nicht alles in der er wenn ich will dass das integral von C fachen meiner Funktion – das Zehnfache – vom integral ist – auch für negative Zahlen C – komme ich nicht drum rum – so zu rechnen – Beistrich also nicht wirklich die Fläche ausrechnen sondern dass sich die Fläche mit Vorzeichen aus – dasselbe Phänomen gibt sie natürlich jetzt bei Funktionen – mehrerer veränderlicher – wenn ich die Funktion zweier veränderlicher – habe und was analoges probiere – jetzt keine Fläche mehr sein sondern ein Volumen – sein – so halbwegs hier – selbst – Y – nun – integriert – wird jetzt – nicht mehr über einen Bereich – hier auf der x-Achse – typischerweise war das ein Intervall – von A bis B – integriert wird über eine Menge – Index Y Ebene – etwas hübscher mal – so – das es plötzlich Manipulationsbereich – eine Menge von Punkten Index Y eben nicht nur – ein Teil der reellen Achse – über dieser Menge – schwebt – meine Funktion – zwei Funktionsgraph – wieder als – fliegender Teppich vorgestellt – aus – Ionfunktion – ist eigentlich nichts anderes als der Graf – und der Graf ist jetzt in dieser – Teppich dazu diesmal klarmachen müsste – diesem Teppich ist – so – warm – und das integral soll nichts anderes sein als das Volumen zwischen der X Y Ebene in dir den Ursprung als das Volumen zwischen Dax Y Ebene – und unserem fliegenden Teppich mit Vorzeichen – in diesem Fall immer mit positivem Vorzeichen Leerzeichen lieber nicht ein was passiert wenn der Flickenteppich durch die Ebene stößt – dann andersrum mit negativem Vorzeichen genau hier – ähm ist ?? Ausrufezeichen deshalb lass ich lieber so also die das Volumen – Zwischensiegels – aus der Hand – also – zwischen Dax Y Ebene – und dieser Fläche das soll das integral sein – einer Funktion von zwei veränderlichen – über die Menge ähm – die oben war das in integral – Beistrich das hinzu schreiben – ein integral von A bis B F von X D X – von A bis B – nun dieses hier – Fläche – mit zwei veränderlichen – wird es ein Roman – verschiedene an das du schreiben schreibst mal so mit Doppel integral – integriere – über – die Fläche ähm – eine Funktion von X Y – TXT Y so Komma dass zum Beispiel schreiben – lernen – die Mathematiker – würden hiervon einzig kein doppeltes Integralschreiben – denke die Ingenieure – neigen eher dazu davon doppeltes integral zu schreiben und klarzumachen – hier wird über zwei Variablen – integriert – das soll so ein – komisches Gerät sein die Fläche zwischen – y-Achse – und der Funktionsfläche – also des Integrationsgebiet – ist Teil des R zwei diese – Menge ähm hier – weiter vorne die Kammer diese Menge ähm – ist eine Menge von – Paaren eine Menge von X Y – das vielleicht zwei eins – sieben acht Wasser Komma drin in eine Pfütze der Pässe blau gemalt wie eine Pfütze in der Ex Y Ebene das ist das Gebiet über das ich integrieren – sie jede Pfütze Index Y Ebene haben – ähm – und dann guck ich mir von der Funktion – dem fliegenden Teppich der kann sicher noch sonst wohin war – der Fingerteppich kann sicher noch sonst wohin erstrecken – ?? von der Funktion guck ich mir nur den Teil an von diesem Gebirge – guck ich mir nur den Teil an der direkt – über der Pfütze liegt – das die vierzig war sie der Schatten ist – ?? geht direkt – gerade – nach oben – ?? die Hüllen sind jeweils verschieden das hier ist der Funktionswert – an dieser Stelle – dieser Höhe ist der Funktionswert an dieser Stelle – dieser Höhe hier – ist der Funktionswert an dieser Stelle – und ?? werden im allgemeinen alle verschieden hoch sein – es sieht aus fast aus wie nah die Gesundheit ist das die beste Vorstellung – ins antike Säule – haben – Mitbringsel – von Akropolis – einem Ausverkauf – aus gewissen Anlässen – nun – stellen Sie sich so eine – sein soll Stumpfforen – ohne und den Fuß aber nur der soll stumpf – hier unten das wäre das Indikationsgebiet – das wäre das Indikationsgebiet – an und was ich bestimme – ist das Volumen – von diesem Stück Stein – hier bin Funktionswert – an dieser Stelle X Y ist das Gesetz eher von Eclipse und der zugehörige Funktionswert – an dieser Stelle – die Stelle ist ja – X Y – in der – horizontalen – je gemessen – dann ist diese Länge – sind ähm ja die Funktion von X Y – mit dem integral der Funktion meine ich das Volumen – von diesem Stück Stein – und es würde negativ – zählen – sein jeder Anteil ?? ist es mir das mal jetzt einfach ?? ich weigere mich dazu mal in diese Fläche hier – irgendwo unter – die X Y Ebene reicht – zählt der Anteil negativ – war das mal lieber nicht eine – große Herausforderung – Punkt – das ist die Idee von integral in – einem integral einer Funktion zweier veränderlicher – eine Funktion dreier veränderlicher – ?? – ist echt habe ich völlig einfach nicht den Platz haben ?? – auch zu malen – je brauche ich zwei veränderlichen – ?? reingehen – und den Funktionswert daraus kommt dann habe ich alle drei Dimensionen aufgebraucht – was soll dann bitte sein – ?? für den Lücken Text drei was soll dann sein – ein integral – über drei veränderlichen – Visa die Mathematiker – wenn typischerweise der nur ein Integralschreiben – integral – über drei veränderliche – TXT Y DZ – ähm ich neige dazu mir das dichte vorzustellen – wenn sie ein Gebiet an dieses Gebiet muss jetzt ein drei dimensionalen liegen – ein Klumpen – ein Luftballon – ein Gebiet im dreidimensionalen – ?? eine Wolke – zu erkennen – das auswendig mit dem dreidimensionalen – hoffentlich – ähm – das soll ähm sein – das Gebiet über das sich integriere – klarmachen dass das räumlich ist mit – ihrem – ähm – das gesamte Ding diese Menge die Menge aller Punkte – der Wolke – oder des Steinklumpen – oder alle Punkte im Tank – die Menge aller dieser Punkt das soll im sein integriere – wenn ich über drei veränderliche integriere – über so ein Gebilde – meine Vorstellung ist was für eine Gesamtmasse – die Gesamtmasse – so eines Klumpen – ist – das integral über die Dichte – wenn sie dessen Dichte an jeder Stelle wissen – an jeder Stelle die Dichte wissen hier ist – äh – zehn Kilogramm pro – Liter und da ist acht Kilogramm pro Liter und als ein Kilogramm pro Liter – und so weiter Politesse müssen geschickt aber das – kann ich mir gut vorstellen was eine Leistung pro Kubikdezimeter – professioneller – hier ist er – seit zwei Kilogramm pro Kubikdezimeter – als Dichte – eine Funktion – jeden Punkt im Raum – Gedichte zuordnet wie dicht ist mein Material – an dieser Stelle an exakt dieser Stelle sie nehmen sich hier ein – Kubikmillimeter – oder besser ein Kubik – eher – was ?? Kubikmikrometer – schneiden sie heraus – erlegen den auf die Waage und bestimmen dessen Dichte – das soll diese Funktion sein für jeden Punkt im Raum möchte ich – Gedichte wissen eine Funktion von drei veränderlichen – meine Vorstellung vom integral – dreier veränderlicher ist dann okay wenn ich das tue – ?? die Gesamtmasse – raus des Ganzen summieren – die Dichte auf für jeden Punkt – im Raum – das kann man sich – zum Fahrkästchen – weiter veranschaulichen – stellen sich vor dieser – Stein – wäre in kleine – Blöcke zerlegt – Ionen Milliarden – aberwitzige – kleine Blöcke wäre der vielleicht zerlegt – diesem Kristallgitter – sich den sozial nicht vor wie bestimmen Sie die Gesamtmasse – sie summieren – das sichtbar sein soll sie summieren – alle Blöcke – summieren die Masse aller Blöcke – war gar nicht da unten hin – ihr sie summieren die Masse aller Blöcke was ist die Masse eines Blocks das ist die Dichte – an der Stelle – mal was – wirklich die Masse eines Blocks ✂ mal das Volumen mal das Volumen findet ritterliche Delta V schreiben mal das Volumen aus ist das Volumen eines Blocks das Volumen eines Blocks ist wie lang klein X Richtung Wismar Gedankenstrich – Richtung Wismar Gedankenstrich – ist – das über alle Blöcke summiert soll die Gesamtmasse werden und ich hoffe das sieht nicht ganz unähnlich aus das integral wird zur Summe – das Volumen eines Blocks – das Produkt der Kantenlänge steht jeden Dax Y DZ – und hier steht die Funktion – damit habe ✂ ich es nicht ✂ gesagt ?? als ausreichend – sondern mir geht's erst mal um zu sagen was es denn sein soll – und dann kann man sich überlegen ?? in ausreichend man weiß was es sein soll – andersrum ist das bisschen ungeschickt wenn ich es sage ist ausreichend mir dann überlege was es denn sein soll – ?? ich fang lieber – erst mit der Bedeutung kann man – also hier das ist die ingenieurmäßige – Vorstellung davon Komma dass die physikermäßige – Vorstellung davon ?? man so ein integral sieht stellt man sich das vor als aus um ihre über alles auf was wir hier in dieser Menge dreidimensional – Gebiet – diesem Gebiet ähm haben sie mir über alles auf und zwar diese Funktion mal dieses – Volumen – der Texte der Epson der derzeit ein unendlich kleines Volumen unendlich viele Sachen davon auf summiert verständlich die Physiker die Ingenieure drunter vor – und dann sieht man okay das hier muss sowas sein wie die Gesamtmasse – wenn sie das hier machen das soll die Fahrt an der Stelle Nummerzeichen sie das hier machen am sehr hier die Grundfläche – zerteilt – X und Y – delta X delta Y was sich hier aufzunehmen – sind eigentlich kleine Säulen – ist das Volumen so einer Säule – das ist die Grundfläche – der X delta Y mal die Höhe ?? FX Y – und das auf summiert – also auch das könnte man sich jetzt so vorstellen dass sie eigentlich ganz viele – kleine Säulen – nebeneinander – nicht die Salzstangen – verschlangen zu Silvester Glas – ähm – wie bestimmen Sie das Gesamtvolumen – der – dieses Objekt das von den Salzstangen gebildet wird sie summieren – alle Salzstangen – auf – wie hoch ist die Sachsen jeweils die Heftes abgebrochen das ist die Höhe der Salzstange mal was ist die Querschnittsstange – das es die Vorstellung dahinter – Punkt jetzt geht's – noch elf Minuten rum wie man es dann tatsächlich ausrechnet kann